Криволинейният интеграл от скаларно поле не зависи от посоката на движение

В последното видео показахме, че ако имаме една крива в равнината ху, и ако я параметризираме по обичайния начин ето така, можем да получим и друга параметризация, която по същество е същата крива, но в обратната посока. Тя започва от тук и стига дотук, t се променя от а до b, за разлика от първата параметризация, където започваме с t равно на а ето тук, и се издига нагоре по този начин. Въпросът, на който искам да отговорим в това видео, е как криволинеен интеграл от скаларното поле от тази крива – това е нашето скаларно поле, което е функция от х и от у – как криволинейният интеграл от скаларното поле от тази крива е свързан с – това е криволинейният интеграл на същото скаларно поле от обратната крива, кривата с обратна посока. Значи въпросът е има ли значение дали се движим в тази посока, или в обратната посока, когато изчисляваме криволинейния интеграл от това скаларно поле? В следващото видео ще разгледаме дали това има значение за векторно поле. Да видим дали можем да намерим логиката за нашия отговор, още преди да докажем този отговор. Ще направя един малък чертеж. Всъщност ще го направя малко по-надолу, понеже смятам, че ще ми трябва повече свободно място. Ще начертая оста у, после оста х, ще начертая и вертикалната ос по този начин, това е оста z. Сега ще начертая едно скаларно поле. Ще го направя като някаква повърхнина – само част от нея. Това е скаларното поле, което е f от (х; у) ето тук. Всяка точка от тази равнина ху можем да свържем с височина, която дефинира повърхнината, т.е. това скаларно поле. Тук долу ще начертая една крива. Нека това да е кривата с. Начинът, по който ще я дефинираме, е – започваме ето тук и се движим в тази посока. Това е кривата с. Знаем от преди няколко урока, че начинът да визуализираме какво означава този криволинеен интеграл, е по същество да се опитаме да намерим площта на завесата, чиято основа е тази крива, а таванът е определен от тази повърхнина, от това скаларно поле. Буквално търсим площта на това извито парче хартия, или стена, или както искаш си го представи. Ето това е това нещо. Сега, когато вземем същия интеграл, но използваме обратната крива, когато вместо в тази посока, сега се движим в обратната посока – не вървим нагоре по кривата, а вървим отгоре надолу. Но идеята е съвсем същата. Все едно не знаем коя крива е с и коя крива е минус с. Можем да дефинираме този път в тази посока като с, а после минус с ще започне ето тук и се връща наобратно. И в двата случая, независимо в каква посока се движим, се опитваме да намерим площта на това огънато парче хартия. Логиката ми подсказва, че и двата интеграла ще ни дадат площта на това извито парче хартия, и тогава те може би са равни един на друг. Все още не сме го доказали, но изглежда, че двата интеграла трябва да са равни помежду си, нали? В този случай нека да кажем, че взимаме... само искам да поясня. Взимаме ds, което е малка промяна на разстоянието – ще го направя с различен цвят. Малка промяна на разстоянието, която умножаваме по височината, за да намерим един вид диференциала на тази площ. След това събираме много такива площи и получаваме общата площ. Тук правя същото нещо. Взимам малко ds – спомни си, ds винаги е положително, по начина, по който параметризираме. Тук също взимаме ds и го умножаваме по височината. Пак искаме да намерим площта. Искам да диференцирам това по отношение на – когато имаме обикновен интеграл от а до b, от f от х, dx, знаем, че когато разменим границите на интегриране, това прави знакът на интеграла отрицателен. Това е равно на минус интеграла с граници от b до а, от f от х, dx. Причината за това е, че ако си представиш, че това е а, а това е b, това е нашето f от х. Когато го вземем по този начин, тогава нашето dx винаги е положително. Когато интегрираме в тази посока, нашето dx винаги е положително, нали? За всяко нарастване дясната граница е по-висока от лявата граница. Така че dx е положително. В този случай, обаче, dx e отрицателно. Височината винаги е същата, тя винаги е f от х, но сега промяната на х е отрицателна промяна на х, когато отиваме от b към а. Ето затова получаваме отрицателен интеграл. Тук и в двата случая посоката на движение се променя, но ds остава положително. Начинът, по който начертах тази повърхнина, тя е над равнината ху, и стойността на f от (х; у) също ще бъде положителна. Така че това ни дава някаква представа, че това ще бъде съвсем същата площ. Но сега нека да го докажем. Ще започна с първата параметризация, точно както в предишното видео. Имаме х равно на х от t и у равно на у от t. t е в интервала от а до b. Знаем, че ще са ни нужни производните им, така че ще ги запиша ето тук. Можем да запишем dx, dt равно на х прим от t, и dy, dt – искам да го напиша по-чисто – dy, dt равно на у прим от t. Дотук няма нищо изключително. Но знаем интегралът по кривата с от f от (х; у) – f е скаларно поле, а не векторно поле – ds е равно на интеграл с граници от t равно на а до t равно на b, интеграл от f от х от t; у от t, по квадратен корен от dx, dt, на квадрат, което е същото като х прим от t, на квадрат, плюс dy, dt на квадрат, което е същото като у прим от t, на квадрат. Всичко това е под знака за корен квадратен, по dt. Този интеграл е точно това при дадената параметризация. Сега да разгледаме варианта с кривата минус с. Ще използвам оранжев цвят. Всъщност версията с минус с ще направя ето тук долу. Версията с минус с – имаме х равно на... спомни си това тук горе, това е от предишното видео. х е равно на а плюс b минус t, извинявам се, допуснах грешка, х равно на х от а плюс b минус t. у е равно на у от а плюс b минус t. t е в интервала от а до b, като това е същото, което правихме в предишното видео. х е равно на х от а плюс b минус t, у е равно на у от а плюс b минус t, същата крива, само че в обратната посока, когато t нараства от а до b. Сега да намерим производните. Ще използвам цвета за производни, може би :) Значи dx, dt. За тази посока ще има малка разлика. Сега ще трябва да използваме правилото за диференциране на сложна функция. Производната на вътрешната функция по отношение на t – тези са просто константи. Производната на минус t по отношение на t е минус 1. Значи минус 1 по производната на външната функция относно вътрешната функция. Това е просто х прим от а плюс b минус t. Можем да преработим това като минус х прим от а плюс b минус t. dy, dt намираме по същата логика. Производната на вътрешната функция е минус 1 по отношение на t, нали? Производната на минус t е просто минус 1. По производната на външната функция по отношение на вътрешната функция. Значи у прим от а плюс b минус t, това е равно на минус у прим от а плюс b минус t. Като имаме всичко това, на какво ще е равен интегралът от минус с, от скаларното поле f от ху, ds? На какво ще е равен този интеграл? Това е интеграл от – може би забелязваш същия модел. границите са от t равно на а до t равно на b, интеграл от f от х. Но сега х вече не е х от t. Сега х е х от а плюс b минус t. Това е доста дълго за писане, но иначе тук няма нещо специално. Надявам се, че това не е твърде объркващо за теб. И отново – у не е у от t. у е у от а плюс b минус t. След това умножаваме по корен квадратен – ще сменя цвета – по корен квадратен от dx, dt, на квадрат. Колко е dx, dt на квадрат? dx, dt е просто това на квадрат, (посочва на екрана) или това на квадрат. Това тук, ако имаме минус нещо на квадрат, това е равно на същото нещо на квадрат, нали? Това е равно на минус х прим от а плюс b минус t, на квадрат, което е същото като просто х прим от а плюс b минус t, на квадрат, нали? Игнорираме този минус, когато повдигаме на квадрат. Това ще бъде равно на х прим от а плюс b минус t, на квадрат, цялата получена функция на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат. По същата логика тук пренебрегваме знака минус, когато повдигаме на квадрат. у прим от а плюс b минус t, на квадрат. Ще удължа знака за корен. След всичко това имаме dt. Това е криволинейният интеграл от кривата с, а това е криволинейният интеграл от кривата минус с. Те засега не изглеждат еднакви. Този изглежда по-сложен от този. Да видим можем ли да го опростим малко. Можем да го опростим, може би, като направим заместване. Ще избера хубав цвят за заместването – нека u да е равно на а плюс b минус t. Първо трябва да определим какви са границите на нашия интеграл, всъщност нека просто определим колко е du. du, dt, производната на u по отношение на t е равна на минус 1, или можем да кажем, че du – ако умножим двете страни по диференциала dt, това е равно на минус dt. Сега да определим границите на интегриране. Когато t е равно на а, на колко е равно u? u е равно на а плюс b минус а, което дава b. След това, когато t е равно на b, тогава u е равно на а плюс b, минус b, което дава а. Така че ако направим заместване в този шантав, рошав интеграл, това ще опрости малко интеграла и ще промени... значи този интеграл ще е равен на интеграл от u, когато t е равно на а, u е равно на b. Когато t е равно на b, u е равно на а. f от х от – сега това тук става просто u – х от u. Малко се опрости. у от това нещо тук, което е просто u. у от u. По корен квадратен от – ще използвам същия цвят. По корен квадратен от х прим от u, на квадрат, плюс у прим от u, на квадрат. Вместо dt сега трябва да запишем, или можем да запишем – ако умножим двете страни по минус 1, получаваме dt равно на минус du. Значи вместо dt можем да напишем минус du. Значи това по минус du – не искам да си мислим, че това е изваждане, затова да изнесем този отрицателен знак тук отпред, ето така. Така че границите са от b до а, интеграл от това нещо. И само за да направим границите на интегриране такива, че да изглеждат по-логични, защото знаем, че а е по-малко от b, затова нека да ги разменим. В началото на видеото казах, че обикновено, когато имаме определен интеграл, ако разменим границите, ако нещо се променя от b до а, от f от х, dx или du – може би трябва да го напиша по този начин. f от u, du. Това е равно на минус интеграла от а до b от f от u, du. Показахме каква е логиката на тази скица ето тук – че когато променим местата на границите, тогава du стават с противополжни знаци, а когато визуализираме това, когато намерим площта под кривата, тя е една и съща. Да го направим. Да разменим границите на интегриране ето тук. Когато го направим, ще имаме минус този минус, което става плюс. Значи това ще е равно на интеграл от а до b. Игнорирам отрицателния знак, защото размених двете граници на интеграла. Сега имам минус по минус, което е плюс. Интеграл от f от х от u и у от u, по корен квадратен от х прим от u, на квадрат, плюс у прим от u, на квадрат, du. Спомни си, че всичко, което направихме, е просто заместване. Това е равно на – само да си припомним какво правим – това беше интеграл от обратната крива от нашето скаларно поле, f от ху, ds. Каква е разликата на този интеграл с интеграла от обикновената крива? Каква е разликата между тях? Ще копирам интеграла и ще го поставя тук. О, използвам грешен инструмент. Копирам и поставям, за да видим разликата. Копирам, поставям тук долу. Каква е разликата между тези два интеграла? Да ги разгледаме. О, но те изглеждат съвсем еднакви, нали? Ето тук интегралът за кривата минус с съдържа куп u-та. Ето тук интегралът за кривата с съдържа куп t-та, но u и t са на съвсем едни и същи места. Тези интеграли са съвсем еднакви. Ако тук заместим с u, ако заместим u равно на t, тогава този интеграл става интеграл с граници от а до b – той е съвсем еднакъв с този – интеграл от f от х от u, у от u, по корен квадратен от х прим от u, на квадрат, плюс у прим от u, на квадрат, du. Тези два интеграла са еднакви. Направихме тези замествания и получихме съвсем еднакви интеграли. Надявам се, че за теб вече е очевидно, че няма значение посоката на кривата, стига формата на кривата да е еднаква. Няма значение дали вървим напред или назад по кривата, винаги получаваме един и същ резултат. Считам, че това съответства на логиката, защото и в двата случая намираме площта на една и съща "завеса".