Втори пример на линеен интеграл в потенциално векторно поле

Да решим още един пример с криволинеен интеграл. Той е много подобен на предходния, но има една малка разлика. Но тази малка разлика е много важна. Даден е криволинеен интеграл по някаква крива 'с' – ще дефинирам кривата след малко – интеграл от х на квадрат плюс у на квадрат, dx, плюс 2 по х по у, dy – това вероятно ти изглежда познато. Това е много подобно на примера от предходното видео, само че тогава това беше интеграл по затворен контур. А сега не е интеграл по затворен контур. Кривата сега е 'с' с параметризация х равно на косинус от t и у равно на синус от t. До тук – изглежда като... Да запиша синус от t – дотук изглежда много сходно с интеграла по затворен контур от примера в предходното видео, но сега t не е в интервала от 0 до 2 по пи, а сега интервалът е от 0 до пи. t е по-голямо от или равно на 0, по-малко от или равно на пи. Сега, по същество, нашият път, ако искам да го начертая в равнината ху... Това е оста у, това е оста х. Сега нашият път не обикаля цялата единична окръжност. Пътят ни – кривата 'с' започва в t равно на 0. Можем да си представим t като един изправен ъгъл. Започваме от t равно на 0 и се движим до t равно на пи. Сега това е нашият път – пътят ни в този пример. Това не е затворен контур. Не е затворен контур. Сега не можем просто да докажем, че f в този пример – да видим колко е f, да кажем че това е потенциално векторно поле, ако съответства на затворен контур, и интегралът е равен на 0, но това не е затворен контур. Значи не можем да използваме това. Да видим дали можем да използваме някои от другите ни инструменти. Както видяхме в предишното видео – възможно е това да ти е непознато. Ако кажем, че f е равно на това по i, плюс това по j, тогава това може да ти се стори познато. Ако кажем, че f от (х; у) – векторното поле f е равно на х на квадрат плюс у на квадрат по i, плюс 2 по х по у, по j и dr... сега даже няма да разглеждам това. Принципно винаги можеш да представиш dr като dx по i плюс dy по j. Веднага можеш да видиш, че ако намерим скаларното произведение на тези 2 неща, скаларното произведение на f и dr – и двете са векторни величини, векторни диференциали, векторно поле или векторна функция – ако намерим скаларното произведение на f и dr, ще получим това ето тук. Ще получим това, което е вътре в интеграла. Ще получим ето това, нали? Това по това... намираме произведението на членовете, съдържащи i... това по това е равно на това, и след това ги събираме с произведението на компонентите, съдържащи j. 2 по х по у, dy. Записвам го ето така. Значи нашият интеграл може да се преобразува по този начин, интеграл по тази крива от скаларното произведение на f по dr, като това е f. И може би все още искаме искаме да определим дали това е консервативно поле. Има ли потенциал това поле? Дали f е равно на градиента на някаква функция главно F? Бих могъл да запиша градиента и по този начин, защото той представлява вектор. Това също е вектор. Вярно ли е това твърдение? Както видяхме в предишното видео, това е вярно. Ще го направя отново, но този път по-бързичко. Щом това е вярно, тогава не можем да кажем, че това е затворен контур, при който интегралът ще е равен на нула. Но ако това е вярно, тогава ние знаем, че това – че този интеграл не е зависим от кривата. Ще знаем ,че този интеграл ще бъде равен на главно F, ако t е в интервала – в този случай t принадлежи на интервала от 0 до пи – можем да кажем, че това ще бъде равно на главно F от пи минус главно F от нула. Ако искаме да изразим това чрез х и чрез у – понеже f е функция от х и от у, можем да запишем, че... но това тук са стойностите на t – това пи и тази 0. Можем да представим това като равно на F от х от пи, у от пи, минус F от х от нула, у от нула. Ето това имам предвид, когато казвам F от пи, ако искаме да запишем F като функция само от t. Но ние знаем, че това главно F ще бъде функция. Това е скаларна функция, дефинирана в равнината ху. Значи можем да кажем, че F от х от пи, у от пи – сега това са нашите t. Всички тези са еквивалентни. Значи ако този интеграл зависи от кривата, можем да намерим F. Можем просто да изчислим това, като просто изчислим нашето F в тези две точки. В тази точка и в тази точка. (означава точките с жълто на чертежа) Защото няма да зависи от кривата. Ако това поле е консервативно, ако притежава потенциална функция, ако това е градиентът на някакво друго скаларно поле, тогава това е консервативно векторно поле, а неговият криволинеен интеграл не зависи от пътя по кривата. Той зависи само от тази точка и от тази точка. Да видим дали можем да намерим F. Ще направя съвсем същото, което направих в предишното видео. Ако си гледал/а предишното видео, това може да ти се стори малко досадно. Но сега ще го направя малко по-бързо. Знаем, че частната производна на F относно х ще бъде равна на това ето тук. (подчертава го) Значи това е х на квадрат плюс у на квадрат. Това означава, че примитивната функция относно х, F от (х; у) ще е равна на х на трета степен върху 3, плюс х по у на квадрат – нали? у на квадрат е просто константа по отношение на х – плюс f от у. Може би съществува някаква функция от у, защото когато намираме частната производна относно х, и тогава у изчезва. Частната производна на F относно у е равна на това или е това. Казваме, че това е градиентът на F. Значи това трябва да е частната производна относно у. 2 по х по у. Може би трябва да гледаш другото видео. Там го правя доста по-подробно, отколкото сега. Примитивната функция на това относно у – получаваме, че F от (х; у) ще е равна на х по у на квадрат плюс някаква функция от х. Направихме това в предишното видео. Тези две неща трябва да са едно и също, за да може градиентът на функцията главно F да е равен на функцията малко f. Имаме х по у на квадрат – х по у на квадрат. Имаме функция от х – имаме функция само от х. След това тук нямаме функция само от у, така че това трябва да е нула. Решихме го. Нашето главно F от (х; у) трябва да е равно на х на 3 степен върху 3, плюс х по у на квадрат. Знаем, че f определено е потенциална функция. Тя не зависи от пътя. Тя притежава потенциал. Това е градиентът на тази функция ето тук. За да решим интеграла – това беше 0 – за да решим интеграла, трябва само да намерим х от пи, у от пи, х от 0 и у от 0. Изчисляваме тези точки, и после изваждаме 2. Да го направим. х беше косинус от t, а у е синус от t. Ще го преработя тук долу. Значи х е равно на косинус от t. у е равно на синус от t. Значи х от 0 е равно на косинус от 0, което е 1. х от пи е равно на косинус от пи, което е равно на минус 1. у от 0 е синус от 0, което е 0. у от пи е равно на синус от пи, което е 0. Значи F от х от пи, у от пи – това е равно на... ще преработя това. Нашият интеграл се опростява до... интегралът по тази крива от скаларното произведение f по dr – ще е равно на главно F от х от пи. х от пи е минус 1. у от пи е равно на 0. Минус главно F от х от 0, което е 1, у от 0 е нула. На какво е равно това? Спомни си, че това тук е същото нещо като това ето тук. Това е х от пи. Това е у от пи. Това е този член ето тук. Досещаш се, че това цялото F от (–1; 0)... това е същото нещо като F от пи, ако го разглеждаме изразено чрез t. Това може би е малко объркващо, но искам да е съвсем ясно. Това е много лесно да се изчисли. Колко е F от (–1; 0)? х е минус 1, у е 0. Значи това става –1 на трета степен – това е нашето х – върху 3. Значи е минус 1/3. Това е минус 1/3 плюс минус 1 по 0 на квадрат. Това е просто нула. И в двата случая у е 0. Значи този член изчезва. Можем да пренебрегнем това. Тогава имаме минус F от (1; 0). Заместваме тук 1. 1 на трета степен, върху 3. Това е 1/3 плюс 1 по 0 на квадрат. Това е просто 0. Така че това е равно на минус 1/3 минус 1/3, което дава минус 2/3. Готови сме. Пак повтарям, понеже това е консервативно векторно поле, в което интегралът не зависи от кривата, ние не трябва да се занимаваме с косинус от t и синус от t, когато намираме примитивната функция. Достатъчно е да намерим потенциалната функция и да я пресметнем в двете крайни точки, за да получим отговор за интеграла, за криволинейния интеграл – той е равен на минус 2/3.