Криволинейният интеграл от векторно поле зависи от посоката

Даден е един радиус-вектор, който изглежда по следния начин: r от t равно на х от t, по единичния вектор i, плюс у от t по единичния вектор j. Всъщност ще го начертая. Да кажем, че r от t – искам да го начертая малко по-право. Това е оста у, това е оста х, и това е r от t. Това е за t по-малко от... ще го напиша. t е в интервала от а до b. Когато t e равно на а, имаме този вектор ето тук. Ако тук заместим t равно на а, ще получим радиус-вектор, който сочи към тази точка ето тук. После, когато t нараства, той описва крива, или по-точно крайните точки на радиус-векторите описват крива, която изглежда по този начин. Така че, когато t е равно на b, получаваме радиус-вектор, който сочи към тази точка ето тук. Така че t дефинира тази крива. Кривата или пътят вървят в посока нагоре, ето по този начин. Сега да кажем, че имаме друга функция от радиус-вектор. Ще я означа с r с индекс r, от t, но ще стане объркване... Това ще е различна функция – това е зелено r. r от t. Вместо да е равна на х от t по i, тя е равна на х от (а плюс b минус t) по i, и вместо у от t, имаме у от (а плюс b минус t), по i. Видяхме това в предишните два видео урока. Сега този път, дефиниран с тази функция от радиус-вектора, ще изглежда по-скоро по следния начин. Ще начертая координатните оси. Това е оста у, това е оста х. Може би трябва да ги обознача – х и у. Този път ще изглежда ето така. Но вместо да започва от тук и да отива тук, когато t е равно на 1 – нека да поясня – това е вярно и за а по-малко или равно на t, t по-малко или равно на b. Значи t е в интервала от а до b. А ето тук, когато t е равно на а, заместваме ето тук, и получаваме този вектор. Започваме от тук, и когато t нараства, когато t става все по-голямо, тогава описваме същия път, но в обратната посока. Така че, когато t е равно на b, поставяме това ето тук, всъщност получаваме х от а и у от а ето тук, защото b-тата се унищожават, и отиваме в ето тази точка. Тези траектории имат, както се досещаш, еднаква форма, тези пътища са еднакви, но имат точно противоположни посоки. В това видео ще разгледаме какво се случва – ако имаме някакво векторно поле, f от ху равно на Р от (х; у) по i плюс Q от (х; у) по j. Нали? Това е просто векторно поле в равнината ху. Каква е разликата между криволинейния интеграл от това векторно поле от този път, и криволинейния интеграл от същото векторно поле по този път. Каква е разликата между тях? Ще нарека тази крива отрицателната крива. Това е положителната крива, а тази крива ще нарека отрицателната крива. Каква е разликата между движението по положителната крива и движението по отрицателната крива – f от скаларното произведение f и dr. Преди да се захванем с математическия апарат, да помислим за малко. Ще начертая векторното поле f. Може би то изглежда ето така – ще начертая нещо произволно. Знаеш, че във всяка точка от равнината ху има вектор, функцията дефинира вектор към всяка точка в равнината ху. Но нас ни интересуват точките, които са върху тази крива. Векторното поле от точките, които са върху кривата. Сега ще начертая това и ето тук. Всички точки от кривата, които ни интересуват – това е нашето векторно поле. Сега да видим какво се случва. Сумираме в точката – взимаме всички точки по кривата и сумираме – ще започна от ето тук. Взимаме всяка точка по протежение на кривата – ще използвам различен цвят. Сумираме скаларното произведение на стойността на векторното поле в дадената точка – скаларното му произведение с dr, или диференциала на нашата функция на радиус-вектора. И dr – досещаш се, това са безкрайно миниатюрните вектори, които сочат по посока на движението. Намираме скаларното произведение, което, по същество, е скаларна стойност, но скаларното произведение, ако си спомняш, то е големината на функцията f по посока на dr, по дължината на dr. Така че това – досещаш се – това е "сянката" на f върху dr. Ще разгледаме това под лупа, защото мисля, че ще ни е полезно. Това малко нещо, което чертая тук, да кажем, че представлява нашият път. Това е f в тази точка. f в тази точка изглежда по този начин. След това dr в тази точка изглежда по този начин. Ще използвам различен цвят. dr изглежда ето така. Това е f. Скаларното произведение на тези двете представлява каква част от f е по посока на dr. Можеш да си представиш, че това е сянката на f. Ако вземем частта от f, която е по посока на dr, дължината на това по дължината на dr, това е скаларното произведение. В този случай ще получим положително число. Понеже тази дължина е положителна, тази дължина е положителна, то ще получим положително число. Ами ако dr е в другата посока, както в този случай? Ще начертая същата част от кривата. Имаме нашето f, което изглежда ето така. Чертая съвсем същата част от кривата. Но сега dr не е в тази посока. Нашето dr в тази точка сега сочи в обратната посока. Движим се по кривата в обратната посока. dr сега сочи в обратната посока. Ако намерим скаларното произведение на f и dr, умножаваме "сянката" или частта от f, която е в посоката на dr, взимаме сянката тук долу която сега е в обратна посока на dr. Досещаш се, че като умножим дължините, ще получим отрицателно число. Сега посоката ни е обратна, те не са в една посока – "сянката" на f в посоката на dr – сега dr е в обратна посока. В този случай "сянката" е в същата посока като dr. Можем да заключим, че тези двете са с противополжен знак едно на друго. Сега можем да използваме математически разсъждения, за да докажем дали това е така. Първо да видим – ще запиша израза за диференциала dr. В този случай dr,dt ще бъде равно на х прим от t по i, плюс у прим от t по j. В другия случай, обратния случай, нашето dr,dt на какво ще бъде равно? Това е производната на х по отношение на t. Производната на този член по отношение на t, това е производната на вътрешната функция, която е минус 1, по производната на външната функция по отношение на вътрешната функция. Значи това ще бъде – производната на вътрешната функция е минус 1, по производната на външната функция относно вътрешната функция, х прим от (а плюс b минус t), по i. После същото правим и за втория компонент. Производната на у, на този компонент, по отношение на вътрешната функция, е равна на минус 1, по производната на външната функция по отношение на вътрешната функция, което е у прим от (а плюс b минус t). Това е производната на вътрешната функция, по у прим от (а плюс b минус t), по j. Това е dr, dt в този случай, това е dr, dt в другия случай. Ако искаме да напишем диференциала dr за примера с кривата с посока "напред", той ще е равен на х прим от t по i, плюс у прим от t, по j, по скалара dt. Мога да го умножа по всеки от тези членове, но за да остане по-просто, ще го оставя извън скобите. Същата логика и тук. dr е равно на минус х... промених нюанса на зеления цвят, но поне все още е зелено – а плюс b минус t, по i, минус у прим от (а плюс b минус t), по j. Умножавам двете страни по dt. Сега сме готови да изразим нашата функция чрез t. Тази крива ето тук, ще я направя в розово, ще е равно на интеграл с граници от t = а до t = b, от f от х от t и у от t, скаларното му произведение с това ето тук, което е – ще го запиша ето тук – може малко да се опрости по-късно – х прим от t по i плюс у прим от t по j. После всичко това по скалара dt. Това ще даде скаларна стойност, след което ще имаме друга скаларна стойност dt ето тук. Сега – на какво ще е равен обратният интеграл? Обратният интеграл ще е интеграл с граници – ще ми трябва повече място, граници от а до b, от f, обаче не от х от t, а х от (а плюс b минус t) и у от (а плюс b минус t). Пиша дребно, за да пестя място. Това е вектор, така че намираме скаларното му произведение с dr. По минус х прим от (а плюс b минус t) по i, минус у прим от.... използвам много място. Ще се преместя малко назад. Всъщност ще го направя даже още по-просто. ще премахна този знак минус от тук. Ще поставя знак плюс, а знака минус ще изнеса отпред. Знакът минус е просто скаларна величина, така че можем да изнесем този знак минус, когато намираме скаларно произведение, и ако имаме умножено число по едно скаларно произведение, можем да изнесем числото, това е всичко, което имам предвид. Значи изнасяме този знак минус от тази част ето тук. После имаме х прим от (а плюс b минус t) по i, плюс у прим от (а плюс b минус t) – премествам се малко – по j, dt. Значи това е посоката напред, това е когато се движим в посока напред, а това е когато се движим по кривата в обратна посока. (посочва на екрана) Сега, както направихме в примера със скаларното поле, ще направим заместване. Искам да разбереш много добре какво правим. Тук просто намерих скаларното произведение, но този знак минус го изнесох отпред. Казах, че това е равно на минус 1 по това тук, или минус 1 по това е равно на това тук. Да направим заместване в тази страна, защото искам да ти покажа, че това е това с отрицателен знак, защото така ни подсказва логиката. Сега да се фокусираме на тази страна. Ще направя заместване. u е равно на (а плюс b минус t). След това получаваме du равно на минус dt, нали? Просто диференцираме двете страни. Получаваме, че dt е равно на минус du. Получаваме, че когато t е равно на а, u е равно на (а плюс b минус а). Същото е и когато u е равно на b. Когато t е равно на b, u е равно на а, нали? Когато t е равно на b, а плюс b минус b дава а. u е равно на а. Значи това нещо, с това заместване се опростява до – като това е целта ни – това се опростява до минус интеграл от u е... когато t е а, u е b. Границите на интеграла са от b, а когато t е b, тогава u е а. Значи интеграл с граници от u = b до u = a, от f от х от u и у от u, нали? Това е u и това е u. Скаларното произведение на х прим от u по i, това е u ето тук, плюс у прим от u, по j. След това, вместо dt, поставяме du. dt е равно на минус du. Мога да напиша, че минус du.. но за да не става объркващо, ще поставя du ето тук, изнасям знака минус отпред. Вече имам минус тук, така че те се унищожават. Те се неутрализират, ето така. И сега може би ще кажеш: "Хей, Сал, тези неща изглеждат съвсем еднакви! Не изглежда, че са с противополжни знаци. Това е почти така, освен, че границите на единия интеграл са обратни на границите на другия. Така че този интеграл, ако обърнем границите на интегриране, ще трябва да сложим знак минус. Значи това е равно на минус интеграл с граници от а до b от векторната функция f от х от u, у от u, скаларното произведение с х прим от u, по i, плюс у прим от u, по j, du. Сега вече интегралите са еднакви. Този интеграл, този определен интеграл е идентичен с този определен интеграл. Просто съдържат различна променлива. Тук имаме dt, а тук имаме du, но ще получим съвсем същото число за всяко а и b, за всеки от тези вектор f и позиционния вектор r от t. За да обобщим всичко, когато работим с криволинейни интеграли от векторно поле, посоката има значение. Когато се движим в обратна посока, ще получим отрицателната версия на този интеграл. Това е така, понеже във всяка точка, в която намираме скаларното произведение, не е задължително да отиваме в обратна посока, така че те ще бъдат обратни един на друг. Но когато имаме скаларно поле, както видяхме в предишното видео, тогава посоката няма значение. Интегралът в положителна посока е равен на този в отрицателна посока. Това е така, защото търсим само площта на завесата. Надявам се, че това ти беше поне малко забавно.