Криволинеен интеграл - пример 1

Предходното видео беше много абстрактно като цяло. Разглеждахме функциите f от х, g от t и h от t. В това видео ще разгледаме един конкретен пример. Дадена е функцията f от (х; у). Функцията е f от (х; у) равно на х по у. Да кажем, че имаме един път в равнината ху, или някаква крива в равнината ху. Ще дефинираме кривата като х равно на косинус от t, а у равно на синус от t. Ще разгледаме интервала – трябва да дефинираме границите на t – от t равно на 0, т.е. t е по-голямо или равно на 0 и е по-малко или равно на – ще работим в радиани – по-малко или равно на пи върху 2. Ако го изразим в градуси, това е 90 градуса. Значи това е нашата крива. Може би веднага ще разпознаеш вида на тази крива. Ще я начертая много бързо и ще се опитам да визуализирам това. Всъщност съм я начертал предварително, за да мога да илюстрирам примера. Тази крива ето тук, ако трябваше да я начертая в стандартната равнина ху – ще използвам различен цвят, кривата ще е зелена, и да кажем, че това е у, а това тук е х. Когато t е равно на 0, х ще е равно на косинус от нула, а косинус от 0 е 1. у ще е равно на синус от нула, което е нула, понеже t е равно на нула. Ще разгледаме точката х = 1, което е косинус от 0, и у равно на синус от нула, или у ще е 0. Значи точката е ето тук. А това е еквивалентно на t равно на 0. Какво се случва когато t е равно на пи върху 2? Косинус от пи върху 2 – това е ъгълът, косинус от пи върху 2 е нула. Синус от пи върху 2 е 1. Значи точката ще бъде (0; 1). Ето това става, когато t е равно на пи върху 2. Може би се досещаш, че това, което ще начертая, всъщност е първият квадрант на единичната окръжност; когато t е равно на пи върху 4, или на 45 градуса, тогава ще сме в точката корен квадратен от 2; корен квадратен от 2. Можеш да провериш и самостоятелно, но ще получим една крива като ето тази. Това е горната дясна част от една окръжност, от единичната окръжност. Окръжността ще има радиус 1. Ще се движим в тази посока, от t равно на 0 до t равно на пи върху две. Ето така ще изглежда нашата крива. Целта ни сега не е да начертаем едно параметрично уравнение. Сега искаме да издигнем една ограда от тази основа и тя да достигне до тази повърхнина. Да видим мога ли да го направя, или поне да го илюстрирам първо, а после ще използваме инструментите, които използвахме в предходното видео. Ето тук съм начертал тази функция, като малко съм я завъртял, за да можеш да виждаш нашия случай. Тук отдясно – ще използвам някакъв по-тъмен цвят – това е оста х, а това отзад е оста у, а вертикалната ос е оста z. Това всъщност е 2, това е 1, тук е у = 1, така че това е чертежът. Ако трябваше да начертая този контур в равнината ху, той щеше да лежи под тази графика и щеше да минава ето така – да видим мога ли да го начертая – ще изглежда приблизително така. Това е в равнината ху. Това е съвсем същата графика на f от (х;у) равно на х по у. Това е графиката на функцията f от (х; у) равно на х по у. Двете графики са еднакви, просто тази я завъртях. В този случай ето това е оста х. Завъртях я наляво, както можеш да видиш. Това тук е оста х, това е оста у, която завъртях по-близо до мен, а това е оста z. След това тази крива, когато я начертая след нейната ротация, тя ще изглежда ето така, когато t е равно на нула, тогава х е равно на 1, у е равно на 0, и се получава единичната окръжност, или половина, или четвърт от единична окръжност. Когато t е равно на пи върху 2, се намираме ето тук. Искаме да намерим площта на завесата, която дефинирахме. Да видим, ще издигна завесата над тази крива до f от (х; у). Значи издигаме стена от тук до (х; у) и тази стена ще изглежда по този начин. Ще я оцветя, за да изглежда малко по-реална. Значи имаме стена, която изглежда по този начин. Ако се опитам да го направя ето тук, това ще бъде под тавана, но стената ще изглежда по този начин. Искаме да намерим площта ѝ. Искаме да намерим площта на това, където основата е дефинирана от тази крива, а после таванът е дефиниран от тази повърхнина ху, която начертах, и завъртях във втория случай. В последното видео стигнахме до нещо, за което може да спориш дали е лесно, но то е да вземем малки дължини на дъгата – малки промени на дължините на дъгата, и да ги умножим по височината в тази точка. Тези малки промени на дължините на дъгата означаваме с ds, а после височината ето тук е f от (х; у) в тази точка. Ще вземем безкрайната сума на тези в интервала от t =0 до t равно на пи върху 2, и това ще ни даде площта на тази стена. Казахме, че за да намерим площта на тази стена, просто намираме интеграл от t = 0 до t равно на пи върху 2 – това изглежда малко безсмислено, когато го запиша по този начин – интеграл от f от (х; у) – или ще е още по-добре, ако вместо да пиша f от (х; у) тук напиша самата функция. Нека да бъде по-конкретно. Значи f от (х; у) е х по у – така че конкретно х по у – по някаква малка промяна на дължината на дъгата в тази точка. Тук ще работя не толкова изчерпателно. Това е един вид преговор на предходното видео. В него установихме, че тази промяна на дължината на дъгата ето тук – ds – може да се представи като корен квадратен от dx, или производната на х по отношение на t, на квадрат, плюс производната на у по отношение на t, на квадрат, и всичко това по dt. Просто възстановявам формулата, която получихме в предходното видео. Така че този израз може да се представи като интеграл от t = 0 до t равно на пи върху 2, по ху. Знаеш ли какво? Може би от самото начало е добре да изразим всичко чрез t. Вместо да пиша х по у, ще го заместя с параметричната форма. Вместо х ще напиша косинус от t. Това е х. х е равно на косинус от t за тази крива. По този начин дефинираме х чрез параметъра t. После по у, което е равно на синус от t. Това е нашето у – просто представихме х по у чрез t, после по ds. ds е ето това – корен квадратен от производната на х относно t, на квадрат, плюс производната на у относно t, на квадрат. Цялото това е по dt. Сега само трябва да намерим тези производни. Това може да изглежда трудно, но реално е много лесно да намерим производната на х относно t и производната на у относно t. Мога да го направя тук или пък тук долу. Замалко ще скрия графиките. Знаем, че производната на х относно t е просто – колко е производната на косинус от t? Тя е минус синус от t. А колко е производната на у по отношение на t? Производната на синус от нещо е косинус от същото нещо. Значи производната на у е косинус от t. Можем да заместим обратно в този израз. Спомни си, че искаме да намерим площта на тази завеса, чиято основа е нашата крива, а тази функция, тази повърхнина е таванът. Връщаме се обратно тук – ще преработя всичко това. Това става интеграл от t равно на 0 до t равно на пи върху 2 – не ми харесва този цвят – интеграл от косинус по синус – това е просто х по у – по ds, което е ето този израз тук. Сега можем да запишем това като – пак ще се върна на този цвят, който не харесвам – производната на х по отношение на t е минус синус от t, което повдигаме на квадрат, плюс производната на у по отношение на t, това е косинус от t, което също повдигаме на квадрат – ще направя знака за корен по-голям – и цялото това по dt. Това все още изглежда като много труден интеграл, докато не осъзнаем, че това тук – когато имаме отрицателно число и го повдигнем на квадрат, това е едно и също нещо. Ще го преработя, ще го направя тук отстрани. Минус синус от t на квадрат плюс косинус от t на квадрат, това е равно на синус от t на квадрат, плюс косинус от t на квадрат, Знакът отпада, когато повдигаме нещо на квадрат; става просто положително. Така че тези две неща са еквивалентни. Това е най-основното тригонометрично тъждество. То следва директно от определението за единичната окръжност: синус на квадрат плюс косинус на квадрат е равно на 1. Така че всичко това тук под знака за корен просто е равно на 1. Корен квадратен от 1 отново е 1. Значи всичко това тук дава просто 1. Целият този сложен интеграл се опростява доста и просто е равен на корен квадратен... интеграл от t равно на 0 до t равно на пи върху 2, от... ще разменя тези, защото това ще ни улесни малко в следващата стъпка – интеграл от синус от t по косинус от t, dt. Всичко, което направих, е, че получихме, че това е равно на 1, отървахме се от него, и после размених местата на тези. Това прави по-лесно да обясним следващата стъпка. Сега този интеграл – синус по косинус, каква е примитивната функция на това? Първото нещо, което трябва да забележиш, е, че имаме функция, или израз, и знаем неговата производна. Производната на синус е косинус от t. Така че можем да използваме интегриране със заместване наум – да го правиш наум е полезно умение. Но аз ще го направя подробно. Щом имаме някаква производна, можем да означим тази производна като u. Значи u е равно на синус от t, а после du,dt, производната на това u относно t, е косинус от t. Ако умножим двете страни по диференциала dt, ако не сме прекалено стриктни, получаваме, че du е равно на косинус от t, dt. Обърни внимание, че тук имаме u. После косинус от t, dt, това нещо ето тук, това е равно на d от u. Сега само трябва предефинираме границите на интеграла. Когато t е равно на 0 – имам предвид, че това нещо се превръща в интеграл – вместо t равно на нула, когато t е равно на 0, на колко е равно u? Синус от 0 е 0, така че долната граница е u = 0. Когато t е равно на пи върху 2, синус от пи върху 2 е 1. Значи, когато t е пи върху 2, тогава u е равно на 1. Значи границите са от u = 0 до u = 1. Просто представих границите чрез u. После, вместо синус от t ще запиша u. Вместо косинус от t, dt, ще запиша просто du. Сега това е един супер лесен интеграл относно u. Това е равно на: примитивната функция на u е 1/2 по u на квадрат – просто повдигаме на степен и после делим на тази степен – значи 1/2 по u на квадрат, което ще изчислим в интервала от 0 до 1. Значи това ще бъде равно на 1/2 по 1 на квадрат минус 1/2 по 0 на квадрат, което е равно на 1/2 по 1, минус 0, което е 1/2. Свършихме много работа и получихме този прост отговор. Площта на нашата завеса – ние просто използвахме криволинеен интеграл – площта на завесата по протежение на тази крива ето тук – ще използвам по-тъмен цвят – площта е 1/2. Ако мерната единица е сантиметри, тогава това са 1/2 квадратни сантиметра. Смятам, че това е едно много интересно приложение на криволинейните интеграли.