Криволинеен интеграл - пример 2 (част 1)

Дадена е функцията f от (х; у), равно на х плюс у на квадрат. Ако начертая нейната графика – да видим дали ще се справя добре с това. Това е оста у – ще дам малка перспектива – това е оста х, като ще направя и отрицателните части на х и на у, които отиват в тази посока – това е оста х. Ако начертая графиката, когато у е нула, това е просто... ще го начертая в жълто – това ще бъде просто една права, която изглежда приблизително така. След това за всеки х ще имаме... ще имаме парабола за у. у ще изглежда ето така. Това е в положителния квадрант. Ще изглежда приблизително така. Всъщност, когато отидем при отрицателните стойности на у, ще видим другата половина на параболата, но засега няма да се тревожа за това. Значи ще имаме тази повърхнина. Ще изглежда горе-долу така. Може би ще опитам още веднъж да го начертая. Това е нашият "таван", с който отново се срещаме. След това имаме един път в равнината ху. Интервалът ни започва в точката (2; 0), х е равно на 2, у е равно на 0. Сега ще се движим по... както в предишното видео, ще се движим по една окръжност, но този път окръжността е с радиус 2. Движим се обратно на часовниковата стрелка по тази окръжност. Това е в равнината ху – просто искам да го визуализирам правилно. Значи това тук е точката (0; 2). Връщаме се назад по оста у. Това е моят път, връщам се назад по оста у, а след това поглеждам тук отляво и после ще взема нещо друго отляво, и се връщам по оста х. Начертах го в два нюанса на зеленото. Това е моят контур. Сега искам да изчислим площта на повърхнината на тази малка "сграда", която има покрив f от (х;у) равно на х плюс у на квадрат, като искам да намеря повърхнината на нейните стени. Имаме тази стена ето тук, чиято основа е оста х. После имаме тази стена, която е по протежение на кривата, това е една много специална стена, която е доста извита ето тук. Сега ще се постарая – тя се извива нагоре така и после върви по оста у. Тук все едно има половин парабола. Задната стена ще направя по оста у. Ще я направя оранжева, всъщност ще използвам цикламено. Това е задната степа по оста у. След това имаме предната стена по оста х. След това имаме тази надиплена завеса или стена – ще я направя в синьо – тя следва кривата ето тук, тази част от окръжността с радиус 2. Надявам се, че разбираш този чертеж. Малко е сложно, в момента не използвам никаква програма за графики. Искам да намерим лицето на повърхнината, общото лице на повърхнината на тези три стени. Можем да запишем съвсем просто, че повърхнината на тези три стени – тази стена плюс тази стена, плюс тази стена – това е равно на криволинейния интеграл по тази крива, или по този контур – както искаш го наричай – на f от (х; у) равно на х плюс у на квадрат... ds, като ds е една съвсем малка дължина по протежение на нашия контур. И понеже това е затворен контур, това се нарича криволинеен интеграл по затворен контур. Понякога ще го виждаме записано по този начин. Често ще го срещаш в учебниците по физика. Ние също ще го срещаме често. Поставяме едно кръгче на знака за интеграл. Това означава, че контурът, който разглеждаме, е затворен контур – завършва там, където започва. Как се решава това? Можем да започнем с това просто да намерим самия контур. И за да го опростим, ще разделим на три части, което са просто три отделни криволинейни интеграли. Понеже, знаеш, това не е някакъв безкраен контур. Така че първата част... Да разгледаме първата част на кривата, която върви по протежение на тази окръжност с радиус 2. Много лесно можем да съставим този интеграл, ако имаме х – ще направя всяка част от контура с различен цвят, тази част от контура ще е в оранжево – ако кажем, че х е равно на 2 по косинус от t, и у е равно на 2 по синус от t, и ако t... това е просто надграждане над това, което видяхме в предходното видео – ако кажем, че t принадлежи на интервала от t по-голямо или равно на 0 до t по-малко или равно на пи върху 2 – t по същество е ъгълът, с който изминаваме този път по окръжността ето тук. Това описва нашия път. Ако ти се струва, че начинът, по който конструирах това, е малко объркващ, гледай отново видеото за параметрични уравнения. Значи това е първата част от нашия път. За да намерим лицето на повърхнината на тази стена ето тук, тогава трябва да намерим dx, dt и dy, dt. Да го направим още сега. dx, dt е равно на минус 2 по синус от t, dy, dt е равно на 2 по косинус от t – това са просто техните производни. Виждали сме го много пъти. За да намерим лицето на повърхнината на тази оранжева стена, ни е нужен интеграл – ако нещо от това те обърква, имаме два видео клипа преди този, в които един вид извеждаме тази формула – интеграл от t = 0 до t равно на пи върху 2, интеграл от функцията х плюс у на квадрат, после по ds. Значи х плюс у на квадрат ни дава височината на всеки малък блок. След това искаме да намерим широчината на всеки малък блок, която е ds, но знаем, че можем да представим това ds като корен квадратен – ще си направя малко място – от производната на х относно t на квадрат, което е минус 2 по синус от t, на квадрат, плюс производната на у относно t, на квадрат, плюс 2 по косинус от t, на квадрат, dt. Това ни дава лицето на тази оранжева част, а след това ще разгледаме другите две стени. Как можем да опростим този израз? Това е равно на интеграл от 0 до пи върху 2 от х плюс у на квадрат. Всъщност ще представя всичко чрез t. Значи х е равно на 2 по косинус от t. Ще го запиша. Това е 2 по косинус от t, плюс у, което е 2 по синус от t, и всичко е на квадрат. После всичко това е под корен. Сега изглежда, че ще е трудно да намерим примитивната функция или да решим интеграла, но ще видиш, че не е чак толкова трудно. Това е равно на 4 по синус на квадрат от t, плюс 4 по косинус на квадрат от t. Можем да изнесем 4 извън скоби. Да не забравяме dt. Това ето тук – ще опростя този израз, за да не се налага да го преписвам. Това е равно на корен квадратен от 4 по синус на квадрат от t плюс косинус на квадрат от t. Знаем, че това е просто 1. Цялото това нещо се опростява до корен квадратен от 4, което е просто 2. Това цялото нещо се опростява до 2, което е чудесно за нашата примитивна функция. Това доста опростява нещата. Цялото това се опростява до – ще го направя ето тук. Не искам да хабя много място – имаме още две стени, които да намерим – интеграл от t = 0 до t равно на пи върху 2. Искам да поясня. Избрах най-простата параметризация, която е възможна за х и за у. Можех да избера и друга параметризация, но тогава трябваше да променя съответно t. Стига да се работи последователно, всичко би трябвало да върши работа. Съществува повече от една параметризация на тази крива; това зависи колко бързо се движим по кривата. Гледай видео уроците за параметрични функции, ако искаш да навлезеш в повече дълбочина по тази тема. Както и да е – това се опростява. Тук имаме 2; 2 по косинус от t, което е 4 по косинус от t. След това тук имаме 2 по синус от t, на квадрат. Значи това е 4 по синус от t, на квадрат. Сега трябва отново да умножим по 2, така че това дава 8. 8 по синус от t, на квадрат, dt. Имаме синус на квадрат от t, за което изглежда трудно да се намери примитивната функция, но можем да си спомним, че синус на квадрат от – всъщност от всичко – можем да кажем, че синус на квадрат от u е равно на 1/2 по 1 минус косинус от 2 по u. Можем да използваме това тъждество. Ще заместя тук с t, синус на квадрат от t е равно на 1/2 по 1 минус косинус от 2 по t. Сега ще го преработя, за да стане по-лесно да решим интеграла. Имаме интеграл от 0 до пи върху 2 – всъщност, аз мога да го разделя, но няма да го разделя на части – 4 по косинус от t плюс 8 по това нещо. (подчертава израза на екрана) 8 по това нещо, това е същото нещо като синус на квадрат от t. Значи 8 по това – 8 по 1/2 е 4 – 4 по 1 минус косинус от 2 по t, просто използваме тригонометричното тъждество – и всичко това по dt. Сега ще намерим лесно примитивната функция на това. Да го направим. Примитивната функция на този израз е – примитивната функция на косинус от t е синус от t. Производната на синус е косинус. Значи това става 4 по синус от t – константите не променят нищо – после ще разкрия скобите и ще умножа по това 4. Значи това е 4 по 1, което е 4 минус 4 по косинус от 2 по t. Примитивната функция на 4 е 4 по t – става плюс 4 по t – и после коя е примитивната функция на минус 4 по косинус от 2 по t? Да видим – това е синус от 2 по t. Производната на синус от 2 по t е равна на 2 по косинус от 2 по t. Тук трябва да има знак минус, поставям една двойка, и сега сме готови с това. Каква е производната на минус 2 по синус от 2 по t? Това е производната на вътрешната функция 2 по минус 2, което е минус 4. Производната на синус от 2 по t по отношение на 2 по t е косинус от 2 по t. Така намерихме примитивната функция. Сега да я изчислим от 0 до пи върху 2. Какво ще получим? Получаваме 4 по синус – ще го запиша, за да не прескачам твърде много стъпки – синус от пи върху 2 плюс 4 по пи върху 2 – това е просто 2 по пи - минус 2 по синус от 2 по пи върху 2, синус от пи, а след това минус всичко това, изчислено за t = 0. Това е доста лесно, защото синус от 0 е нула. 4 по 0 е 0, и синус от 2 по 0 също е 0. Значи всичко с нулите се получи чудесно. А тук какво имаме? Синус от пи върху 2 – представям си го като синус от 90 градуса – което е 1. После синус от пи е 0, това са 180 градуса. Значи всичко тук се унищожава. Остава 4 плюс 2 по пи. Ето така успяхме да намерим лицето на тази първата извита стена, като честно казано, това е най-трудната част. Сега да намерим лицето на тази крива стена. Всъщност ще установиш, че тези другите криви, които се движат по осите, са много, много по-лесни, но ние ще намерим различни параметризации за това. Ако вземем тази крива ето тук, можем да намерим нейната параметризация. Всъщност, знаеш ли какво? Ще продължим това в следващото видео, защото това продължи малко повече. Ще намерим лицата на другите две стени и ще ги съберем следващия път.