Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 1: Криволинейни интеграли за скаларни функцииКриволинеен интеграл - пример 2 (част 2)
Част 2 от пример за намиране на криволинеен интеграл по затворен контур. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В последното видео разгледахме
пример за определяне на лицето на повърхнината на стените на тази странна "сграда",
на която таванът е дефиниран от функцията
f от (х; у) равно на х плюс у на квадрат,
а основата на сградата, или контурът на стените ѝ,
e дефиниран от пътят, където имаме окръжност
с радиус 2, после продължаваме по оста у
и после правим завой и вървим по оста х –
това е нашата сграда. В предишното видео
намерихме лицето на повърхнината на първата стена. Всъщност можем да я разглеждаме –
първоначалната задача беше да намерим криволинейния
интеграл по този затворен контур, така че това е един криволинеен
интеграл по затворен контур `с` от f от (х;у), като всеки път
умножаваме стойността на f от (х; у) по една малка, много малка
дължина от този контур, ds. Записвам го възможно
най-абстрактно, най-общо. В предишното видео видяхме,
че най-лесният начин да решим интеграла, е като разделим контура на
няколко участъка, или на няколко задачи. Досещаш се, че целият
този контур, целият път, означаваме с 'с', а частта,
която изчислихме в предишното видео, беше частта `с1`. Тази част тук ще означа с `с2`,
ще направя една стрелка, а тази част тук е `с3`. Така можем да предефинираме,
или да разделим криволинейния интеграл, този криволинеен интеграл
по затворен контур, на три криволинейни интеграла,
чиито контури са отворени. Това е равно на криволинейния интеграл
от f от (х; у), ds, по контура `с1`, плюс криволинейния интеграл
от f от (х; у), ds, по контура `с2`, плюс криволинейния
интеграл от f от (х; у), ds, както сигурно отгатваш,
той е по контура `с3`. В последното видео
ние намерихме първата част, намерихме
лицето на тази първата крива стена ето тук. Лицето на повърхнината
установихме, че е 4 плюс 2 по пи. Сега остава да намерим
другите две части. Първо да сметнем криволинейния
интеграл по контура `с`. За да го направим,
ни трябва различна параметризация на х и на у. Тя ще се различава от
тази в първата част. Вече не се движим
по тази окръжност, а сега се движим по оста у. След като сме на оста у,
тогава х определено ще е 0. Значи това е нашата
параметризация, х = 0. Когато се намираме на оста у,
х винаги е равно на нула. След това за у можем да кажем,
че започва от у = 2. Можем да кажем у равно
на 2 минус t, когато t е в интервала между t по-голямо или равно на 0
и t по-малко или равно на 2. Това ще свърши работа. Когато t е равно на 0, тогава
сме в тази точка ето тук, и тогава t нараства към 2,
движим се надолу по оста у, докато в някакъв момент
t стане равно на 2, това е тази точка ето тук. Това е нашата параметризация. Сега да пресметнем тази права,
като можем да намерим и производните, ако искаме. Производната е –
ще я запиша ето тук. Колко е dx, dt? Доста лесно е. Производната на 0 е 0,
а dy, dt е равно на... производната на това е минус 1, нали? 2 минус t, производната
на минус t е просто минус 1. Да го разнищим. Имаме това нещо тук, така че имаме интеграл
по контура `с2`. Сега вместо да пиша `с2`,
мога да заменя това `с2` и да кажем, че се движим
от t = 0 до t = 2, интеграл от f от (х; у). f от (х; у) е х плюс у на квадрат, а после по ds. От последните няколко видеа клипа
знаем, че ds може да се представи като корен квадратен от dx, dt, на квадрат,
значи 0 на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат, което
е минус 1 на квадрат, което е 1, всичко това по dt. Очевидно, това е
много хубав резултат. Това е 0 плюс 1, коренуваме го,
това дава просто 1. А колко е х? х, ако го представим чрез
нашата параметризация, винаги е равно на 0
и тогава у на квадрат ще бъде 2 минус t, на квадрат. Това ще бъде 2 минус t, на квадрат. Цялото това сложно нещо
се опрости до интеграл, от t = 0 до t = 2...
х не присъства в нашата параметризация, то
си е винаги 0, независимо колко е t, а след това имаме
у на квадрат, но у е равно на 2 минус t, така че
2 минус t, на квадрат, а после имаме това dt. Това е много лесно. За мен винаги е по-лесно,
когато определяме примитивната функция на това,
въпреки че може и наум, но предпочитам
да умножа този двучлен. Това ще е равно на
примитивната функция на 4, минус 4 по t, плюс t на квадрат, dt,
от t = 0 до t = 2. Това е много лесно. Това ще бъде – примитивната
функция на това е 4 по t минус 2 по t на квадрат, нали? Когато диференцираме,
това е 2 по минус 2, което дава минус 4 по t, а после имаме плюс 1/3
по t на трета степен, нали? Това са съвсем прости
примитивни функции, които трябва да сметнем за
t = 0 и за t = 2. Да сметнем за t = 2. 4 по 2 е 8 –
ще избера нов цвят. 4 по 2 е 8, минус 2 по 2 на квадрат,
значи 2 по 4, т.е. минус 8, плюс 1/3 по 2 на трета степен. Значи 1/3 по 8. Тези се унищожават. Имаме 8 минус 8,
и остава само 8/3. Това става просто 8/3. След това заместваме с t = 0,
минус нула, което просто си остава 0. Имаме 4 по 0, 2 по 0,
всички тези членове са нули. Значи минус 0. Ето така намерихме
лицето на повърхнината на втората стена. То е равно на 8/3. Остава последната стена, след което просто ще ги съберем. Остана ни последната стена. Ще направим нова
параметризация. Искам да виждам тази графика. Може би да я копирам пак. Копирам. Ето го чертежа :) Сега да изчислим лицето
на повърхнината на последната стена. Последната стена е тази тук, която означихме с `с3.` Ще сменя цветовете. Това е 'с', движим се по контура,
по контура `с3`от f от (х; у), ds, който е същото нещо като...
да направим параметризацията. По този контур х е равно на t,
това е очевидно, за t по-голямо или равно на 0, и до t по-малко или равно на 2. През цялото време сме на оста х,
което означава, че у е 0. Това е много лесна параметризация. Това е равно на – интервалът е
от t = 0 до t = 2 за кривата f от (х; у), което можем да представим чрез х и у,
х плюс у на квадрат, ds. Колко е dx...
ще напиша тук ds. По ds. Това е, което ни интересува. Знаем колко е ds. ds е равно на корен квадратен
от dx, dt, на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат, по dt. Доказахме това в
предишното видео. Не го доказахме стриктно,
но добихме представа защо е вярно. Колко е производната на х
по отношение на t? Това е 1, така че
ще бъде просто 1, 1 на квадрат, същото нещо. Производната на у
по отношение на t е 0. Значи това е 0, 1 плюс 0 е 1,
корен квадратен от 1 е 1. Така че тук остава само dt. ds е равно на dt в този случай. Получаваме просто dt. х е равно на t, тази част
от дефиницията на нашата параметрична крива, а у е нула, така че можем
да го пренебрегнем. Това беше един много лесен
интеграл. Това се опростява до –
интервалът е от 0 до 2 от t, dt. Това е равно на примитивната
функция на t, която е просто 1/2 по t на квадрат, като
интервалът е от 0 до 2, което е равно на 1/2 по 2 на квадрат. 2 на квадрат е 4, по 1/2
дава 2, а после минус 1/2 по 0 на квадрат, минус 0. Значи тази трета страна
има лице равно на 2. Много лесно. Лицето на тази повърхнина
ето тук е просто 2. Сега да отговорим на въпроса
на колко е равен криволинейният интеграл, изчислен по затворения контур
на f от (х; у). Просто трябва да съберем
тези числа. Имаме 4 плюс 2 по пи, плюс
8/3, плюс 2 – колко е това? 8/3 е равно на 2 цяло и 2/3,
значи 4 плюс 2 цяло и 2/3, това е 6 цяло и 2/3, плюс още 2,
това е 8 цяло и 2/3. Всички тези дават 8 цяло и 2/3,
ако го запишем като смесено число, плюс 2 по пи. И сме готови! Сега ще започнем да разглеждаме
криволинейни интеграли на векторни функции.