Криволинеен интеграл - пример 2 (част 2)

В последното видео разгледахме пример за определяне на лицето на повърхнината на стените на тази странна "сграда", на която таванът е дефиниран от функцията f от (х; у) равно на х плюс у на квадрат, а основата на сградата, или контурът на стените ѝ, e дефиниран от пътят, където имаме окръжност с радиус 2, после продължаваме по оста у и после правим завой и вървим по оста х – това е нашата сграда. В предишното видео намерихме лицето на повърхнината на първата стена. Всъщност можем да я разглеждаме – първоначалната задача беше да намерим криволинейния интеграл по този затворен контур, така че това е един криволинеен интеграл по затворен контур `с` от f от (х;у), като всеки път умножаваме стойността на f от (х; у) по една малка, много малка дължина от този контур, ds. Записвам го възможно най-абстрактно, най-общо. В предишното видео видяхме, че най-лесният начин да решим интеграла, е като разделим контура на няколко участъка, или на няколко задачи. Досещаш се, че целият този контур, целият път, означаваме с 'с', а частта, която изчислихме в предишното видео, беше частта `с1`. Тази част тук ще означа с `с2`, ще направя една стрелка, а тази част тук е `с3`. Така можем да предефинираме, или да разделим криволинейния интеграл, този криволинеен интеграл по затворен контур, на три криволинейни интеграла, чиито контури са отворени. Това е равно на криволинейния интеграл от f от (х; у), ds, по контура `с1`, плюс криволинейния интеграл от f от (х; у), ds, по контура `с2`, плюс криволинейния интеграл от f от (х; у), ds, както сигурно отгатваш, той е по контура `с3`. В последното видео ние намерихме първата част, намерихме лицето на тази първата крива стена ето тук. Лицето на повърхнината установихме, че е 4 плюс 2 по пи. Сега остава да намерим другите две части. Първо да сметнем криволинейния интеграл по контура `с`. За да го направим, ни трябва различна параметризация на х и на у. Тя ще се различава от тази в първата част. Вече не се движим по тази окръжност, а сега се движим по оста у. След като сме на оста у, тогава х определено ще е 0. Значи това е нашата параметризация, х = 0. Когато се намираме на оста у, х винаги е равно на нула. След това за у можем да кажем, че започва от у = 2. Можем да кажем у равно на 2 минус t, когато t е в интервала между t по-голямо или равно на 0 и t по-малко или равно на 2. Това ще свърши работа. Когато t е равно на 0, тогава сме в тази точка ето тук, и тогава t нараства към 2, движим се надолу по оста у, докато в някакъв момент t стане равно на 2, това е тази точка ето тук. Това е нашата параметризация. Сега да пресметнем тази права, като можем да намерим и производните, ако искаме. Производната е – ще я запиша ето тук. Колко е dx, dt? Доста лесно е. Производната на 0 е 0, а dy, dt е равно на... производната на това е минус 1, нали? 2 минус t, производната на минус t е просто минус 1. Да го разнищим. Имаме това нещо тук, така че имаме интеграл по контура `с2`. Сега вместо да пиша `с2`, мога да заменя това `с2` и да кажем, че се движим от t = 0 до t = 2, интеграл от f от (х; у). f от (х; у) е х плюс у на квадрат, а после по ds. От последните няколко видеа клипа знаем, че ds може да се представи като корен квадратен от dx, dt, на квадрат, значи 0 на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат, което е минус 1 на квадрат, което е 1, всичко това по dt. Очевидно, това е много хубав резултат. Това е 0 плюс 1, коренуваме го, това дава просто 1. А колко е х? х, ако го представим чрез нашата параметризация, винаги е равно на 0 и тогава у на квадрат ще бъде 2 минус t, на квадрат. Това ще бъде 2 минус t, на квадрат. Цялото това сложно нещо се опрости до интеграл, от t = 0 до t = 2... х не присъства в нашата параметризация, то си е винаги 0, независимо колко е t, а след това имаме у на квадрат, но у е равно на 2 минус t, така че 2 минус t, на квадрат, а после имаме това dt. Това е много лесно. За мен винаги е по-лесно, когато определяме примитивната функция на това, въпреки че може и наум, но предпочитам да умножа този двучлен. Това ще е равно на примитивната функция на 4, минус 4 по t, плюс t на квадрат, dt, от t = 0 до t = 2. Това е много лесно. Това ще бъде – примитивната функция на това е 4 по t минус 2 по t на квадрат, нали? Когато диференцираме, това е 2 по минус 2, което дава минус 4 по t, а после имаме плюс 1/3 по t на трета степен, нали? Това са съвсем прости примитивни функции, които трябва да сметнем за t = 0 и за t = 2. Да сметнем за t = 2. 4 по 2 е 8 – ще избера нов цвят. 4 по 2 е 8, минус 2 по 2 на квадрат, значи 2 по 4, т.е. минус 8, плюс 1/3 по 2 на трета степен. Значи 1/3 по 8. Тези се унищожават. Имаме 8 минус 8, и остава само 8/3. Това става просто 8/3. След това заместваме с t = 0, минус нула, което просто си остава 0. Имаме 4 по 0, 2 по 0, всички тези членове са нули. Значи минус 0. Ето така намерихме лицето на повърхнината на втората стена. То е равно на 8/3. Остава последната стена, след което просто ще ги съберем. Остана ни последната стена. Ще направим нова параметризация. Искам да виждам тази графика. Може би да я копирам пак. Копирам. Ето го чертежа :) Сега да изчислим лицето на повърхнината на последната стена. Последната стена е тази тук, която означихме с `с3.` Ще сменя цветовете. Това е 'с', движим се по контура, по контура `с3`от f от (х; у), ds, който е същото нещо като... да направим параметризацията. По този контур х е равно на t, това е очевидно, за t по-голямо или равно на 0, и до t по-малко или равно на 2. През цялото време сме на оста х, което означава, че у е 0. Това е много лесна параметризация. Това е равно на – интервалът е от t = 0 до t = 2 за кривата f от (х; у), което можем да представим чрез х и у, х плюс у на квадрат, ds. Колко е dx... ще напиша тук ds. По ds. Това е, което ни интересува. Знаем колко е ds. ds е равно на корен квадратен от dx, dt, на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат, по dt. Доказахме това в предишното видео. Не го доказахме стриктно, но добихме представа защо е вярно. Колко е производната на х по отношение на t? Това е 1, така че ще бъде просто 1, 1 на квадрат, същото нещо. Производната на у по отношение на t е 0. Значи това е 0, 1 плюс 0 е 1, корен квадратен от 1 е 1. Така че тук остава само dt. ds е равно на dt в този случай. Получаваме просто dt. х е равно на t, тази част от дефиницията на нашата параметрична крива, а у е нула, така че можем да го пренебрегнем. Това беше един много лесен интеграл. Това се опростява до – интервалът е от 0 до 2 от t, dt. Това е равно на примитивната функция на t, която е просто 1/2 по t на квадрат, като интервалът е от 0 до 2, което е равно на 1/2 по 2 на квадрат. 2 на квадрат е 4, по 1/2 дава 2, а после минус 1/2 по 0 на квадрат, минус 0. Значи тази трета страна има лице равно на 2. Много лесно. Лицето на тази повърхнина ето тук е просто 2. Сега да отговорим на въпроса на колко е равен криволинейният интеграл, изчислен по затворения контур на f от (х; у). Просто трябва да съберем тези числа. Имаме 4 плюс 2 по пи, плюс 8/3, плюс 2 – колко е това? 8/3 е равно на 2 цяло и 2/3, значи 4 плюс 2 цяло и 2/3, това е 6 цяло и 2/3, плюс още 2, това е 8 цяло и 2/3. Всички тези дават 8 цяло и 2/3, ако го запишем като смесено число, плюс 2 по пи. И сме готови! Сега ще започнем да разглеждаме криволинейни интеграли на векторни функции.