Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Криволинеен интеграл - пример 2 (част 2)

Част 2 от пример за намиране на криволинеен интеграл по затворен контур. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последното видео разгледахме пример за определяне на лицето на повърхнината на стените на тази странна "сграда", на която таванът е дефиниран от функцията f от (х; у) равно на х плюс у на квадрат, а основата на сградата, или контурът на стените ѝ, e дефиниран от пътят, където имаме окръжност с радиус 2, после продължаваме по оста у и после правим завой и вървим по оста х – това е нашата сграда. В предишното видео намерихме лицето на повърхнината на първата стена. Всъщност можем да я разглеждаме – първоначалната задача беше да намерим криволинейния интеграл по този затворен контур, така че това е един криволинеен интеграл по затворен контур `с` от f от (х;у), като всеки път умножаваме стойността на f от (х; у) по една малка, много малка дължина от този контур, ds. Записвам го възможно най-абстрактно, най-общо. В предишното видео видяхме, че най-лесният начин да решим интеграла, е като разделим контура на няколко участъка, или на няколко задачи. Досещаш се, че целият този контур, целият път, означаваме с 'с', а частта, която изчислихме в предишното видео, беше частта `с1`. Тази част тук ще означа с `с2`, ще направя една стрелка, а тази част тук е `с3`. Така можем да предефинираме, или да разделим криволинейния интеграл, този криволинеен интеграл по затворен контур, на три криволинейни интеграла, чиито контури са отворени. Това е равно на криволинейния интеграл от f от (х; у), ds, по контура `с1`, плюс криволинейния интеграл от f от (х; у), ds, по контура `с2`, плюс криволинейния интеграл от f от (х; у), ds, както сигурно отгатваш, той е по контура `с3`. В последното видео ние намерихме първата част, намерихме лицето на тази първата крива стена ето тук. Лицето на повърхнината установихме, че е 4 плюс 2 по пи. Сега остава да намерим другите две части. Първо да сметнем криволинейния интеграл по контура `с`. За да го направим, ни трябва различна параметризация на х и на у. Тя ще се различава от тази в първата част. Вече не се движим по тази окръжност, а сега се движим по оста у. След като сме на оста у, тогава х определено ще е 0. Значи това е нашата параметризация, х = 0. Когато се намираме на оста у, х винаги е равно на нула. След това за у можем да кажем, че започва от у = 2. Можем да кажем у равно на 2 минус t, когато t е в интервала между t по-голямо или равно на 0 и t по-малко или равно на 2. Това ще свърши работа. Когато t е равно на 0, тогава сме в тази точка ето тук, и тогава t нараства към 2, движим се надолу по оста у, докато в някакъв момент t стане равно на 2, това е тази точка ето тук. Това е нашата параметризация. Сега да пресметнем тази права, като можем да намерим и производните, ако искаме. Производната е – ще я запиша ето тук. Колко е dx, dt? Доста лесно е. Производната на 0 е 0, а dy, dt е равно на... производната на това е минус 1, нали? 2 минус t, производната на минус t е просто минус 1. Да го разнищим. Имаме това нещо тук, така че имаме интеграл по контура `с2`. Сега вместо да пиша `с2`, мога да заменя това `с2` и да кажем, че се движим от t = 0 до t = 2, интеграл от f от (х; у). f от (х; у) е х плюс у на квадрат, а после по ds. От последните няколко видеа клипа знаем, че ds може да се представи като корен квадратен от dx, dt, на квадрат, значи 0 на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат, което е минус 1 на квадрат, което е 1, всичко това по dt. Очевидно, това е много хубав резултат. Това е 0 плюс 1, коренуваме го, това дава просто 1. А колко е х? х, ако го представим чрез нашата параметризация, винаги е равно на 0 и тогава у на квадрат ще бъде 2 минус t, на квадрат. Това ще бъде 2 минус t, на квадрат. Цялото това сложно нещо се опрости до интеграл, от t = 0 до t = 2... х не присъства в нашата параметризация, то си е винаги 0, независимо колко е t, а след това имаме у на квадрат, но у е равно на 2 минус t, така че 2 минус t, на квадрат, а после имаме това dt. Това е много лесно. За мен винаги е по-лесно, когато определяме примитивната функция на това, въпреки че може и наум, но предпочитам да умножа този двучлен. Това ще е равно на примитивната функция на 4, минус 4 по t, плюс t на квадрат, dt, от t = 0 до t = 2. Това е много лесно. Това ще бъде – примитивната функция на това е 4 по t минус 2 по t на квадрат, нали? Когато диференцираме, това е 2 по минус 2, което дава минус 4 по t, а после имаме плюс 1/3 по t на трета степен, нали? Това са съвсем прости примитивни функции, които трябва да сметнем за t = 0 и за t = 2. Да сметнем за t = 2. 4 по 2 е 8 – ще избера нов цвят. 4 по 2 е 8, минус 2 по 2 на квадрат, значи 2 по 4, т.е. минус 8, плюс 1/3 по 2 на трета степен. Значи 1/3 по 8. Тези се унищожават. Имаме 8 минус 8, и остава само 8/3. Това става просто 8/3. След това заместваме с t = 0, минус нула, което просто си остава 0. Имаме 4 по 0, 2 по 0, всички тези членове са нули. Значи минус 0. Ето така намерихме лицето на повърхнината на втората стена. То е равно на 8/3. Остава последната стена, след което просто ще ги съберем. Остана ни последната стена. Ще направим нова параметризация. Искам да виждам тази графика. Може би да я копирам пак. Копирам. Ето го чертежа :) Сега да изчислим лицето на повърхнината на последната стена. Последната стена е тази тук, която означихме с `с3.` Ще сменя цветовете. Това е 'с', движим се по контура, по контура `с3`от f от (х; у), ds, който е същото нещо като... да направим параметризацията. По този контур х е равно на t, това е очевидно, за t по-голямо или равно на 0, и до t по-малко или равно на 2. През цялото време сме на оста х, което означава, че у е 0. Това е много лесна параметризация. Това е равно на – интервалът е от t = 0 до t = 2 за кривата f от (х; у), което можем да представим чрез х и у, х плюс у на квадрат, ds. Колко е dx... ще напиша тук ds. По ds. Това е, което ни интересува. Знаем колко е ds. ds е равно на корен квадратен от dx, dt, на квадрат, плюс dy, dt, на квадрат, по dt. Доказахме това в предишното видео. Не го доказахме стриктно, но добихме представа защо е вярно. Колко е производната на х по отношение на t? Това е 1, така че ще бъде просто 1, 1 на квадрат, същото нещо. Производната на у по отношение на t е 0. Значи това е 0, 1 плюс 0 е 1, корен квадратен от 1 е 1. Така че тук остава само dt. ds е равно на dt в този случай. Получаваме просто dt. х е равно на t, тази част от дефиницията на нашата параметрична крива, а у е нула, така че можем да го пренебрегнем. Това беше един много лесен интеграл. Това се опростява до – интервалът е от 0 до 2 от t, dt. Това е равно на примитивната функция на t, която е просто 1/2 по t на квадрат, като интервалът е от 0 до 2, което е равно на 1/2 по 2 на квадрат. 2 на квадрат е 4, по 1/2 дава 2, а после минус 1/2 по 0 на квадрат, минус 0. Значи тази трета страна има лице равно на 2. Много лесно. Лицето на тази повърхнина ето тук е просто 2. Сега да отговорим на въпроса на колко е равен криволинейният интеграл, изчислен по затворения контур на f от (х; у). Просто трябва да съберем тези числа. Имаме 4 плюс 2 по пи, плюс 8/3, плюс 2 – колко е това? 8/3 е равно на 2 цяло и 2/3, значи 4 плюс 2 цяло и 2/3, това е 6 цяло и 2/3, плюс още 2, това е 8 цяло и 2/3. Всички тези дават 8 цяло и 2/3, ако го запишем като смесено число, плюс 2 по пи. И сме готови! Сега ще започнем да разглеждаме криволинейни интеграли на векторни функции.