Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)

Пример за изчисляване на площ на повърхнина

Този пример е една възможност да упражним изчисляването на площ на повърхнина, в случая на тяло, наречено тор.

За кого е предназначена тази статия?

Тази статия е предназначени за всички, които са прочели предходната статия за изчисляване на лицето на някаква параметрична повърхнина, и които искат да се упражнят по това. Ще изчисляваме лицето на повърхнината на тор (тяло с форма на геврек) с помощта на този метод, което изисква значителни изчисления.

Ако нямаш желание или нямаш нужда да се упражняваш с това изчисление, и ако ти е достатъчна общата представа какво представляват тези повърхностни интеграли, можеш спокойно да преминеш към следващата статия.

Бърз преговор на повърхностен интеграл

Преди да се заемем с примера, бързо да си припомним метода за намиране на лице на повърхнина, описан в предишната статия.

Параметризиране на повърхнина. Това означава да се намери векторната функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, която изобразява някаква област T от двумерната равнина start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612 върху тримерна повърхнина. Понякога тази параметризация може да е дадена в условието като начин за дефиниране на повърхнината. Но в други случаи повърхнината ще е дефинирана по различен начин и трябва самостоятелно да я параметризираш.

Представи си, че разрязваме параметричното пространство с хоризонтални и вертикални линии, които разделят областта T на малки правоъгълници. Всеки от тези правоъгълници се изобразява върху малко парче от повърхнината, всяко от които има форма на успоредник. Ако твоят малък правоъгълник лежи в точката left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis и има широчина start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 и височина start color #bc2612, d, s, end color #bc2612, можем да апроксимираме площта му със следния израз:

\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}

Колкото по-малък е първоначалният правоъгълник, толкова по-близко е съответствието на повърхнината с един действителен плосък успоредник, и толкова по-близък е този израз до действителния размер на площта на това парченце от повърхнината.

Сумираме лицата на всички тези парченца с помощта на двоен интеграл:

\begin{aligned} \iint_T \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}

Лице на повърхнина на тор

Целта на тази статия е да намерим лицето на повърхнината на тор:

Трудно е да се опишат размерите на тора с думи, но ще се опитаме да си помогнем чрез сравнение на тора с геврек. Представи си, че торът е коричката на тестената част на един геврек.

Да кажем, че разстоянието между началото на координатната система и средата на плътната част на геврека (тестената част, която огражда дупката) е 3. Ще наречем това "външен радиус".
Да кажем, че разстоянието между средата на плътната част на геврека и коричката е 1. Ще наречем това "вътрешен радиус"

Тор с тези размери може да се параметризира със следната функция:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(\blueE{t}; \redE{s}) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\blueE{t})+\cos(\redE{s})\cos(\blueE{t}) \\\\ 3\sin(\blueE{t})+\cos(\redE{s})\sin(\blueE{t}) \\\\ \sin(\redE{s}) \end{array} \right] \end{aligned}

За да може тази параметризация да покрие тора напълно само веднъж, ще ограничим областта в равнината t, s, където

\begin{aligned} 0 \le &\blueE{t} \le 2\pi \\ 0 \le &\redE{s} \le 2\pi \end{aligned}

За да видиш откъде идва тази параметризация, виж последния пример в тази статия.

Стъпка 1: Изчисляване на частните производни

\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}; \redE{s}) = \end{aligned}

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}; \redE{s}) = \end{aligned}

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Спомни си, че разглеждаме тези вектори като страни на малки успоредници, които заедно образуват тора. По-точно умножаваме първия вектор по start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, а втория вектор по start color #bc2612, d, s, end color #bc2612, за да ги мащабираме до нищожно малките размери на един от тези успоредници.

Оказва се, че тези вектори са перпендикулярни един на друг (можеш да го провериш, като намериш скаларното им произведение).Това означава, че малките успоредници, изграждащи тора, са правоъгълници, или поне при тази конкретна параметризация. Можеш да видиш това на изображението на тор по-горе.

[Как да използваме този факт]

Стъпка 2: Изчисляване на векторното произведение

За да се намери лицето на успоредника, определен от тези два вектора, които току-що намери, първата стъпка е намирането на тяхното векторно произведение. (Предупреждение: Тук нещата стават сложни)

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, equals

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Стъпка 3: Намиране дължината на векторното произведение

Векторното произведение, което току-що получихме, е вектор. За да намерим лицето на успоредника, определен от двата вектора на частните производни, трябва да намерим дължината на този вектор. (Предупреждение: тук става даже още по-напечено).

\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}; \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}; \redE{s}) \right| = \end{aligned}

След като мащабираме това, умножавайки по start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612, получаваме лицето на всяко малко правоъгълниче, което изгражда тора, като функция от start color #bc2612, s, end color #bc2612 и start color #0c7f99, t, end color #0c7f99. В конкретния случай това е просто функция от start color #bc2612, s, end color #bc2612, което означава, че лицето на тези успоредници не се променя, когато се мени start color #0c7f99, t, end color #0c7f99.

Стъпка 4: Съставяне на подходящия двоен интеграл

Кои от следните са подходящи граници за двойния интеграл, с който изразяваме лицето на повърхнината на тора?

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{6\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}; \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}; \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_0^{6\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}; \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}; \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$
(Избор В)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}; \redE{s}) \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t}; \redE{s}) \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Стъпка 5: Изчисляване на двойния интеграл

Лицето на повърхнината на този тор е:

Поздравления

Тези интеграли са много трудоемки, така че можеш да се поздравиш за това, че стигна чак до тук!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.