If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Повърхностни интеграли (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Интеграли за площ на повърхнина

Класна стая на Google
Как се намира площта на параметризирана повърхнина? Това ще ни отведе до по-общата концепция за повърхностни интеграли.

Преговор

Основни идеи

Общ вид на задачата:
  • S е някаква повърхнина в тримерно пространство.
  • start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis е векторна функция, която параметризира повърхнината start color #0c7f99, S, end color #0c7f99.
  • T е област в равнината t, s (наричана още параметрично пространство), която съответства на S.
Лицето на повърхнината S може да се изчисли с помощта на следния двоен интеграл:
∬T∣∂v⃗∂t×∂v⃗∂s∣ dt ds\begin{aligned} \iint_T \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}
Изчисляването на подобен интеграл може да е много трудоемко.

Лице на повърхнина

От геометрията вероятно знаеш как се намират лицата на някои конкретни повърхнини. Например лицето на повърхнината на сфера с радиус r е равно на 4, pi, r, squared.
Но какво може да се направи, когато търсим лицето на някаква произволна повърхнина, дефинирана чрез параметрични функции, които изобразяват някаква област от двумерно параметрично пространство в тримерно пространство? Как можем да намерим такова лице?
Отговорът е да се използва един определен вид двоен интеграл, който ще разгледаме. Това е аналогично на намирането на дължината на дъгата на някаква произволна крива с помощта на определен единичен интеграл или обема на тяло със странна форма с помощта на подходящия троен интеграл.

Пример: Разделяне на части на лицето на повърхнината

Дефинирай параметрична повърхнина със следната функция:
v⃗(t;s)=[t2sts]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(\blueE{t}; \redE{s}) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{t^2} \\\\ \redE{s}\blueE{t} \\\\ \redE{s} \end{array} \right] \end{aligned}
Да означим тази повърхнина като S.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
При параметричните повърхнини не е достатъчно да определим функцията, която ги параметризира. Трябва да знаем и областта от параметричното пространство, която се изобразява в тази повърхнина. "Параметрично пространство" е сложна дума за мястото, където се намира точката left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, което се нарича също така и дефиниционно множество. В този случай да кажем, че това е правоъгълник, определен от
−1≤t≤10≤s≤3\begin{aligned} -1 \le &\blueE{t} \le 1 \\\\ 0 \le &\redE{s} \le 3 \end{aligned}
Да наречем този правоъгълник T. Ето как вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top изобразява правоъгълника T от параметричното пространство върху повърхнината S в тримерно пространство.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
Процеса на изчисляване на лицето на повърхнината се заключава в три основни стъпки:
  • Стъпка 1: Разделяне на повърхнината на малки парченца.
  • Стъпка 2: Изчисляване на площта на всяко парченце.
  • Стъпка 3: Събиране на тези площи.
След като вече изучихме криволинейните интеграли, двойните интеграли и тройните интеграли, може би вече разпознаваш този метод да разделяме нещата на части и после да ги събираме като общ за процеса на интегриране. Както в тези примери, ние няма да разделяме наистина повърхнината на определен брой парченца и да ги събираме, това вместо нас ще направи самият интеграл.

Стъпка 1: Разделяне на части на повърхнината

За да започнем, да си представим, че разделяме правоъгълника T в параметричното пространство на много малки правоъгълничета. На чертежа е показано разделянето му само на няколко правоъгълника, така че да можем да разгледаме всеки от тях, но по принцип идеята е да го разделим на безкрайно много безкрайно малки правоъгълници.
Можеш да си представиш широчината на един от тези малки правоъгълници като start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, една малка промяна на параметъра start color #0c7f99, t, end color #0c7f99. По същия начин си представи височината му start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 като малка промяна на параметъра start color #bc2612, s, end color #bc2612.
Сега си представи как функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis изобразява един от тези малки правоъгълници върху повърхнината S. В следващата анимация по-голямата част от повърхнината ще е оцветена в тъмно сиво, а само един малък правоъгълник ще е цветен, докато наблюдаваме изобразяването на T върху повърхнината S.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
Строго погледнато, правоъгълникът ще стане малко изкривен, когато се изобразява върху S. Но когато си представим все по-малки и по-малки правоъгълници, тази кривина става все по-пренебрежимо малка, и можем да приемем, че това малко парченце е плоско.
По същество, когато разглеждаме все по-малки и по-малки правоъгълничета в параметричното пространство, частта от повърхнината S, върху която се изобразяват тези правоъгълници, ще изглежда все повече като успоредник.
Следователно нашата задача е да намерим формула, която ни дава лицето на тези успоредници.

Стъпка 2: Намиране на площта на успоредника

За един от малките правоъгълници, на които раздробихме T, нека left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis да е долния ляв ъгъл, а left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, B, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, B, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis да е долният десен ъгъл.
Да разгледаме вектора, който сочи от вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis към вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, B, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, B, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis върху повърхнината. Нека да го означим като вектор start bold text, a, end bold text, with, vector, on top.
Проверка на концепцията: Ако опишем разстоянието между left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis и left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, B, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, B, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis като start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, кой от следните изрази е подходяща апроксимация на start bold text, a, end bold text, with, vector, on top?
Избери един отговор:

Проверка на концепциите: Да разгледаме същата ситуация като в предишната задача, но сега нека left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, C, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, C, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis да е горният ляв ъгъл на нашия малък правоъгълник. Вектора, който сочи от вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis към вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, C, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, C, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis, да означим като вектор start bold text, b, end bold text, with, vector, on top.
Ако изразим разстоянието между left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis и left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, C, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, C, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis като start color #bc2612, d, s, end color #bc2612, кое от следните е най-подходящата апроксимация на start bold text, b, end bold text, with, vector, on top?
Избери един отговор:

Да обобщим какво имаме дотук: Разглеждаме малък правоъгълник в параметричното пространство със следните характеристики:
  • Долен ляв ъгъл: left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis
  • Широчина: start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99
  • Височина: start color #bc2612, d, s, end color #bc2612
Когато приложим функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top към този правоъгълник, получаваме един успоредник върху повърхнината S. Въз основа на предишните разсъждения, страните на този успоредник се определят от векторите
∂v⃗∂t(tA;sA) dt\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}; \redE{s_A})\,\blueE{dt} \end{aligned}
и
∂v⃗∂s(tA;sA) ds\begin{aligned} \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}; \redE{s_A})\,\redE{ds} \end{aligned}
Проверка на концепцията: Ако страните на един успоредник в тримерно пространство са дадени чрез векторите start bold text, a, end bold text, with, vector, on top и start bold text, b, end bold text, with, vector, on top, както е показано отдясно, кое от следните представлява площта на този успоредник?
Избери един отговор:

Проверка на концепцията: Въз основа на всичко дотук, можем да кажем, че start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis изобразява този малък правоъгълник start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99-на-start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 с долен ляв ъгъл left parenthesis, start color #0c7f99, t, start subscript, A, end subscript, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, start subscript, A, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis върху някакъв успоредник върху повърхнината S. Колко е площта на този успоредник?
Избери един отговор:

Нещата стават трудоемки

Определено този израз е доста сложен. Той включва векторното произведение на две частни производни на векторна функция, на което намираме дължината. Сякаш някой се е опитал да напише най-трудния израз, който може да му хрумне.
В момента имаме един изцяло теоретичен израз за площта на един от тези малки успоредници:
∣(∂v⃗∂t(tA;sA) dt)×(∂v⃗∂s(tA;sA) ds)∣\begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t_A}; \redE{s_A})\,\blueE{dt} \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(\blueE{t_A}; \redE{s_A})\,\redE{ds} \right) \right| \end{aligned}
Ако искаш да видиш какво се крие зад него, ти препоръчваме да поработиш над него.
Преработване на израза: Като имаме предвид определението start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, с което започнахме,
v⃗(t;s)=[t2sts]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(\blueE{t}; \redE{s}) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{t^2} \\\\ \redE{s}\blueE{t} \\\\ \redE{s} \end{array} \right] \end{aligned}
да се преработи изразът, даден в предишния въпрос, за да се получи функция от start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 и start color #bc2612, d, s, end color #bc2612.
Лице на успоредник:
start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Стъпка 3: Интегриране

Докъде стигнахме. След като раздробихме правоъгълника T в параметричното пространство на множество малки правоъгълничета, казахме, че те се превръщат в успоредници в повърхнината S. По-точно всеки от тях се превръща в някакво леко изкривено парченце от S, което можем да апроксимираме като успоредник. Колкото по-малък е първоначалният правоъгълник, толкова по-точна е апроксимацията.
След това, след доста изчисления, намираме площта на един от тези малки успоредници:
left parenthesis, square root of, start color #bc2612, s, squared, end color #bc2612, plus, 4, start color #0c7f99, t, squared, end color #0c7f99, plus, 4, start color #0c7f99, t, start superscript, 4, end superscript, end color #0c7f99, end square root, right parenthesis, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612
където
  • left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis описва местоположението на първоначалния малък правоъгълник.
  • start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99 е неговата широчина.
  • start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 е неговата височина.
За да съберем площите на всички тези малки успоредници, съставяме двоен интеграл от тази величина върху областта T. Само ти припомням, че T е дефинирано като областта, за която
−1≤t≤10≤s≤3\begin{aligned} -1 \le &\blueE{t} \le 1 \\\\ 0 \le &\redE{s} \le 3 \end{aligned}
Като използваме тези граници, ето как изглежда двойния интеграл, който представя площта на повърхнината start color #bc2612, S, end color #bc2612:
∫03∫−11(s2+4t2+4t4) dt ds\begin{aligned} \int_0^3 \int_{-1}^1 \left(\sqrt{\redE{s^2} + 4\blueE{t^2} + 4\blueE{t^4}}\right)\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}
Това е трудно да се решава на ръка, тъй като намирането на примитивната функция на square root of, start color #bc2612, s, squared, end color #bc2612, plus, 4, start color #0c7f99, t, squared, end color #0c7f99, plus, 4, start color #0c7f99, t, start superscript, 4, end superscript, end color #0c7f99, end square root е сложно. Можем да намерим отговора с помощта на калкулатор или програми като Wolfram Alpha:
∫03∫−11(s2+4t2+4t4) dt ds≈12,6153\begin{aligned} \int_0^3 \int_{-1}^1 \left(\sqrt{\redE{s^2} + 4\blueE{t^2} + 4\blueE{t^4}}\right)\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \approx \boxed{12{,}6153} \end{aligned}
Важното тук е да запомним как се конструира подходящият двоен интеграл и да разсъждаваме за това да съберем малките парченца площ върху самата повърхнина.

Обобщение: това не беше лесно

Обобщавайки всичко, което направихме в предишния пример, площта на нашата параметрична повърхнина S се изразява като следния интегралl
∬T∣∂v⃗∂t×∂v⃗∂s∣ dt ds\begin{aligned} \iint_T \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right|\,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}
където S се описва с параметричната функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis, приложена към областта T на равнината start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612.
Вече имаш представа как става това, но още веднъж подчертаваме, че това може да е много трудно за изчисляване.
  • Първо трябва да се намерят двете частни производни на векторната функция и ако ги преброим за всеки компонент, това са общо 6 частни производни
  • След това намираме векторното произведение на тези два вектора на частните производни, което само по себе си изисква решаването на детерминанта, чиито компоненти са вектори и функции.
  • След това намираме дължината на това векторно произведение.
  • След всичко това ни очаква двойният интеграл. А самото съставяне на двойния интеграл не винаги е лесно, особено ако областта, върху която интегрираме, не е правоъгълна.
  • Всичко това се случва, като предполагаме, че знаем функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis и областта T. Но понякога е дадена само повърхнина, която е неявно дефинирана, например сфера с уравнение x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 1. В такъв случай трябва да се параметризира повърхнината, както и да се определи на коя област в параметричното пространство принадлежи тази повърхнина.
Когато решаваме всичко това, е много важно да сме добре организирани и търпеливи. Решаването на само един такъв повърхностен интеграл се равнява на решаването на 10 задачи в обикновения математически анализ.
Разсъжденията, които се правят, са много полезни, когато разглеждаме повърхнини в тримерната геометрия по принцип, не само в конкретния случай за изчисляване на площ на повърхнина. Например, според теб как работят компютърните графики? Много често, създаването на тримерно изображение означава да се раздели повърхнината на многоъгълници, които да изобрази компютърът. Дори ако това не включва решаването на повърхностни интеграли, по същество разсъжденията как да се направи това е много сходно и включва векторни произведения на частни производни и други подобни.
Ако искаш повече информация и практика върху тази тема, виж следващата статия, която съдържа още един решен пример от начало до край. Ако имаш желание да решаваш паралелно, си подготви доста бели листи.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.