Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)

Пример за повърхностен интеграл

Класна стая на Google

Упражни изчисляването на повърхностен интеграл от сфера

Преговор

Повърхностни интеграли

Задача: Повърхностен интеграл върху сфера.

В предишната статия говорихме за това какво правят повърхностните интеграли и как можем да ги тълкуваме. Сега ще разгледаме подробно един пример. Ако предпочиташ видео уроците, тогава можеш да гледаш следното видео, в което Сал решава друг пример.

Дадена е сфера с радиус 2 единици и център в началото на координатната система.

Твоята задача е да интегрираш следната функция върху повърхнината на тази сфера:

f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

Стъпка 1: Възползваме се от симетрията на сферата

Сфера с радиус 2 е множеството от всички точки в тримерно пространство, които удовлетворяват следното уравнение:

x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 2, squared

Този израз е много подобен на функцията:

f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared

Определено можем да се възползваме от това.

Проверка на концепцията: Когато разглеждаме функцията f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, y, squared, plus, z, squared за точки, които лежат на сфера с радиус 2, какъв по-прост израз получаваме?

[Отговор]

Имай предвид, че стойностите на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis не са равни на този опростен израз навсякъде, а само за точките, за които x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, equals, 4. Понеже интегрираме само върху точките от тази сфера, следователно можем да заместим функцията f в интеграла с тази стойност.

$\begin{aligned} \iint_{\text{сфера}} \Big((x-1)^2 + y^2 + z^2 \Big) \,d\Sigma = \iint_{\text{сфера}} (-2x+5)\,d\Sigma \end{aligned}$

Това не може да се направи за всеки повърхностен интеграл, но е добър пример как можем да се възползваме от симетрията, с което да опростим тези интеграли.

Стъпка 2: Параметризация на сферата

За да свържем този повърхностен интеграл с двоен интеграл върху плоска равнина, трябва първо да намерим функцията, която параметризира сферата.

Проверка на концепцията: Коя от следните функции параметризира сфера с радиус 2?

Избери един отговор:
(Избор А)
$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$
в област, където 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi и 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi.
(Избор Б)
$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\cos(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$
в област, където 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi и 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, pi.

[Отговор]

Супер! Сега имаме формулата за параметризацията на start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis на сфера, заедно със съответната област в равнината t, s. Можем да започнем да преобразуваме повърхностния интеграл по следния начин:

$\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{сфера}} (-2x+5)\,d\Sigma \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \left( -2 \underbrace{ (2\cos(t)\sin(s)) }_{\text{$x$ стойност на параметризацията}} +5 \right)\, \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| }_{\text{Трябва да преработим това}} \!\!\!\!\!\! \,dt \,ds \end{aligned}$

Стъпка 3: Изчисляване на двете частни производни

"Страшният звяр", с който трябва да се справим при всеки повърхностен интеграл, е това малко нещо:

$\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \end{aligned}$

Проверка на концепциите: първо да изчислим двете частни производни на нашата параметрична функция:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t)\sin(s) \\ 2\sin(t)\sin(s) \\ 2\cos(s) \end{array} \right] \end{aligned}$

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Отговор]

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Отговор]

Стъпка 4: Изчисляване на векторното произведение

Изчисли векторното произведение на двете частни производни, които са векторите, които току-що намери.

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Отговор]

Стъпка 5: Намиране дължината на векторното произведение.

Намираме дължината на векторното произведение, което току-що намерихме.

open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction, close vertical bar, equals

[Отговор]

Обърни внимание, че отговорът трябва да съдържа символ за абсолютна стойност. Но понеже нашата параметризация се отнася само за област, в която 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, pi, стойността на sine, left parenthesis, s, right parenthesis винаги ще бъде положителна, така че можем да пренебрегнем символа за абсолютна стойност.

Стъпка 6: Изчисляваме интеграла

Като обобщим всичко направено дотук, повърхностният интеграл сега изглежда по следния начин:

$\begin{aligned} &\quad \iint_{\text{сфера}} f(x; y; z)\,d\Sigma \\\\ &= \iint_{\text{сфера}} (-2x+5)\,d\Sigma \quad \leftarrow \text{Стъпка 1} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\sin(s))+5\Big)\, \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial s} \right| \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{Стъпка 2} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-2(2\cos(t)\sin(s))+5\Big)\, (4\sin(s)) \,dt \,ds \quad \leftarrow \text{Стъпка 3, 4, 5} \\\\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\sin^2(s)+20\sin(s) \Big) \,dt \,ds \end{aligned}$

Последната стъпка включва изчисляването на този двоен интеграл.

$\begin{aligned} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \Big(-16\cos(t)\sin^2(s)+20\sin(s) \Big) \,dt \,ds = \end{aligned}$

[Отговор]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.