Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)

Повърхностни интеграли

Класна стая на Google

Как можем да съберем безкрайно много безкрайно малки стойности, свързани с точки от някаква повърхнина?

Преговор

Не задължително, но полезно за разбирането като аналогия:

Криволинейни интеграли

Основни идеи

По принцип идеята на повърхностния интеграл е същата като тази за двойния интеграл, само че тук вместо "да събираме" точки в плоска двумерна област, събираме точки от повърхнина в пространството, която евентуално може да е с произволна форма. Общият запис на повърхностен интеграл е много подобен на този за двоен интеграл:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{с $S$ означаваме повърхнина}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x; y; z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{малки парченца площ в $S$}} \end{aligned}$

Изчисляването на повърхностен интеграл е почти идентично с изчисляването на лице на повърхнина с двоен интеграл, с тази разлика, че се придържаме към функцията в интеграла:

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}; \redE{s})) \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} }_{\text{Малки парченца площ}} \end{aligned}$

Тук start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis е функция, параметризираща повърхнината S от областта T на равнината start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612.

(Това е аналогично на случая, когато изчисляването на криволинейни интеграли е същото като изчисляването на интеграли за дължина на дъгата, освен че тук поставяме функция вътре в самия интеграл.)

Можеш да намериш пример за решаване на такъв интеграл в следващата статия.

Какво представляват повърхностните интеграли

Ако разбираш смисъла на двойните интеграли и знаеш как да изчисляваш лице на повърхнина на параметрични повърхнини, по същество вече си подготвен/а за повърхностните интеграли. Нужно е единствено двете идеи да се комбинират. Ще разгледаме повърхностните интеграли чрез един пример, но преди това смятам, че е важно да разгледаме какво точно прави повърхностният интеграл.

Преговор за двойни интеграли

Да си припомним какво прави един двоен интеграл:

$\begin{aligned} \iint_R f(x; y)\,dA \end{aligned}$

R е някаква област в равнината x, y и f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е начин да свържем всяка точка в R с някакво число.

Да си представим, че R е някакъв метален лист, а f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е плътността във всяка точка.
Или пък да си представим, че R е някаква географска област, а f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis представлява температурата във всяка точка.

Двойният интеграл е метод за "събиране" на стойностите на функцията f в тази област. Обаче идеята за "събиране" на точки в непрекъсната област е малко неясна, така че аз предпочитам да си представям следния процес:

Разделяме областта R на голям брой малки парченца.
Умножаваме площта на всяко парче, която означаваме като d, A, по стойността на функцията f в някоя от точките от това малко парченце.
Събираме получените стойности.

Например,

Ако си представим, че R е някакъв метален лист и f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е функцията на плътността, двойният интеграл ни дава масата на листа. (Защо?)
Ако R представлява географска област, а f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis ни дава температурата във всяка точка, ако разделим стойността на двойния интеграл на площта на областта R, ще получим средната температура в тази област. (Защо?)

Двойни интеграли в извити области

Но защо да разглеждаме само плоски повърхнини? Идеята за събиране на стойности в двумерна област може да се приложи и към произволни извити повърхнини.

Представи си, че разглеждаме повърхнината на някакво заоблено самолетно крило с разнородна плътност и искаме да намерим общата маса на крилото.
А ако знаем температурата във всяка точка върху нагънатата повърхност на планетата и искаме да намерим средната температура?

Този път функцията f, която може да представлява плътност, температура и т.н., съответства на тримерни точки върху тримерна повърхнина. Общият запис на интеграл от функция f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis върху някаква повърхнина е почти същият като общият запис на двоен интеграл:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ е някаква повърхнина}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x; y; z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{d\Sigma}^{\text{Малко парченце площ от $S$}} \end{aligned}$

(Различните автори използват различен начин на записване).

Това се нарича повърхностен интеграл. Буквата S под знака за двоен интеграл се отнася за самата повърхнина, а терминът d, \Sigma представлява малко парченце от тази повърхнина. Можеш да разглеждаш повърхностните интеграли по същия начин както двойните интеграли:

Разделяме повърхнината S на голям брой малки парченца.
Умножаваме площта на всяко малко парченце по стойността на функцията f в някоя точка от това парченце.
Събираме тези стойности.

Защо пишем d, \Sigma вместо d, A? Няма съществена разлика; всяко едно от двете съответства на малко парченце площ от нещото, върху което интегрираме. Обаче, когато става въпрос за изчисляване на нещата, начинът, по който работим с това малко парченце площ от извитата повърхнина е напълно различен от начина, по който работим с парченце от плоска повърхнина. Тази разлика е важно да бъде подчертана чрез използване на различна променлива.

Как изчисляваме повърхностен интеграл

Абстрактната представа как разделяме на малки парченца самолетно крило е полезна, но как по същество пресмятаме подобен повърхностен интеграл? Подходът е да го превърнем в обикновен, плосък двоен интеграл.

По-конкретно, начинът, по който представяме дадена повърхнина математически, е чрез параметрична функция. Имаме някаква векторна функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, чиито аргументи са точки в двумерна равнина t, s (чудесна плоска равнина), а изходните ѝ стойности са в тримерно пространство. Необходимо е също така да се определи областта T в равнината t, s, която се изобразява в повърхнината S.

Това, което трябва да направим, е да намерим начин да интегрираме върху плоската област T, което да даде съвсем същия резултат, все едно интегрираме върху произволната повърхнина S. Това означава да опишем "малки парченца площ" от повърхнината S чрез нещо, което се съдържа в параметъра.

Почти всичко това е описано в статията за лице на повърхнина. Там видяхме как един малък правоъгълник в областта T с площ start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 се трансформира в успоредника S с площ

\begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}

За това, което целим с нашия повърхностен интеграл, това означава, че представяме d, \Sigma по следния начин:

d, \Sigma, equals, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

По-конкретно, ето как записваме повърхностен интеграл относно параметрично пространство:

$\displaystyle \iint_S f(x; y; z)\, d\Sigma = \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(t; s)) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds}$ \iint, start subscript, S, end subscript, f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, d, \Sigma, equals, \iint, start subscript, T, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, right parenthesis, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

Нека разбием този израз на съставните му части:

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{Интеграл върху повърхнината}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x; y; z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{Площ на малко парченце от $S$}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! = \underbrace{ \iint_T }_{\substack{ \text{Интеграл в}\\ \text{параметричното пространство} }} \!\!\!\! \overbrace{ f(\vec{\textbf{v}}(t; s)) }^{\substack{ \text{Търсим всяка точка}\\ \text{$(t, s)$ къде попада в $S$,}\\ \text{после изчисляваме $f$} }} \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| }_{\substack{ \text{Как се мащабира }\\ \text{малко парченце от $T$ } \\ \text{след изобразяването му в $S$ от $\vec{\textbf{v}}$} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \blueE{dt}\,\redE{ds} }^{\substack{ \text{Площ на малко}\\ \text{парченце от $T$} }} \end{aligned}$

Основното, върху което трябва да се фокусираме тук, и което прави изчисленията толкова трудоемки, е начинът, по който представяме d, \Sigma.

В следващата статия ще видиш напълно решен пример на подобен повърхностен интеграл.

Обобщение

Повърхностните интеграли се използват тогава, когато искаме да съберем голям брой стойности, свързани с точки върху някаква повърхнина. Това е двумерният аналог на криволинейните интеграли. Алтернативно, можем да го разглеждаме като начин за обобщение на двойните интеграли за произволни повърхнини.

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{с $S$ означаваме повърхнина}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x; y; z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{малки парченца площ в $S$}} \end{aligned}$

Изчисляването на повърхностен интеграл е почти идентично с изчисляването на лице на повърхнина с двоен интеграл, с тази разлика, че се придържаме към функцията в интеграла:

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}; \redE{s})) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$

Както толкова много неща в анализа на функции на много променливи, въпреки че теоретично всичко, свързано с повърхностните интеграли е прекрасно, същинското им изчисляване е мъчително трудоемко.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.