Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)Повърхностни интеграли
Как можем да съберем безкрайно много безкрайно малки стойности, свързани с точки от някаква повърхнина?
Преговор
Не задължително, но полезно за разбирането като аналогия:
Основни идеи
- По принцип идеята на повърхностния интеграл е същата като тази за двойния интеграл, само че тук вместо "да събираме" точки в плоска двумерна област, събираме точки от повърхнина в пространството, която евентуално може да е с произволна форма. Общият запис на повърхностен интеграл е много подобен на този за двоен интеграл:
- Изчисляването на повърхностен интеграл е почти идентично с изчисляването на лице на повърхнина с двоен интеграл, с тази разлика, че се придържаме към функцията в интеграла:
Тук start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, s, end color #bc2612, right parenthesis е функция, параметризираща повърхнината S от областта T на равнината start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, s, end color #bc2612.
(Това е аналогично на случая, когато изчисляването на криволинейни интеграли е същото като изчисляването на интеграли за дължина на дъгата, освен че тук поставяме функция вътре в самия интеграл.)
- Можеш да намериш пример за решаване на такъв интеграл в следващата статия.
Какво представляват повърхностните интеграли
Ако разбираш смисъла на двойните интеграли и знаеш как да изчисляваш лице на повърхнина на параметрични повърхнини, по същество вече си подготвен/а за повърхностните интеграли. Нужно е единствено двете идеи да се комбинират. Ще разгледаме повърхностните интеграли чрез един пример, но преди това смятам, че е важно да разгледаме какво точно прави повърхностният интеграл.
Преговор за двойни интеграли
Да си припомним какво прави един двоен интеграл:
R е някаква област в равнината x, y и f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е начин да свържем всяка точка в R с някакво число.
- Да си представим, че R е някакъв метален лист, а f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е плътността във всяка точка.
- Или пък да си представим, че R е някаква географска област, а f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis представлява температурата във всяка точка.
Двойният интеграл е метод за "събиране" на стойностите на функцията f в тази област. Обаче идеята за "събиране" на точки в непрекъсната област е малко неясна, така че аз предпочитам да си представям следния процес:
- Разделяме областта R на голям брой малки парченца.
- Умножаваме площта на всяко парче, която означаваме като d, A, по стойността на функцията f в някоя от точките от това малко парченце.
- Събираме получените стойности.
Например,
- Ако си представим, че R е някакъв метален лист и f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е функцията на плътността, двойният интеграл ни дава масата на листа. (Защо?)
- Ако R представлява географска област, а f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis ни дава температурата във всяка точка, ако разделим стойността на двойния интеграл на площта на областта R, ще получим средната температура в тази област. (Защо?)
Двойни интеграли в извити области
Но защо да разглеждаме само плоски повърхнини? Идеята за събиране на стойности в двумерна област може да се приложи и към произволни извити повърхнини.
- Представи си, че разглеждаме повърхнината на някакво заоблено самолетно крило с разнородна плътност и искаме да намерим общата маса на крилото.
- А ако знаем температурата във всяка точка върху нагънатата повърхност на планетата и искаме да намерим средната температура?
Този път функцията f, която може да представлява плътност, температура и т.н., съответства на тримерни точки върху тримерна повърхнина. Общият запис на интеграл от функция f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis върху някаква повърхнина е почти същият като общият запис на двоен интеграл:
(Различните автори използват различен начин на записване).
Това се нарича повърхностен интеграл. Буквата S под знака за двоен интеграл се отнася за самата повърхнина, а терминът d, \Sigma представлява малко парченце от тази повърхнина. Можеш да разглеждаш повърхностните интеграли по същия начин както двойните интеграли:
- Разделяме повърхнината S на голям брой малки парченца.
- Умножаваме площта на всяко малко парченце по стойността на функцията f в някоя точка от това парченце.
- Събираме тези стойности.
Защо пишем d, \Sigma вместо d, A? Няма съществена разлика; всяко едно от двете съответства на малко парченце площ от нещото, върху което интегрираме. Обаче, когато става въпрос за изчисляване на нещата, начинът, по който работим с това малко парченце площ от извитата повърхнина е напълно различен от начина, по който работим с парченце от плоска повърхнина. Тази разлика е важно да бъде подчертана чрез използване на различна променлива.
Как изчисляваме повърхностен интеграл
Абстрактната представа как разделяме на малки парченца самолетно крило е полезна, но как по същество пресмятаме подобен повърхностен интеграл? Подходът е да го превърнем в обикновен, плосък двоен интеграл.
По-конкретно, начинът, по който представяме дадена повърхнина математически, е чрез параметрична функция. Имаме някаква векторна функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, чиито аргументи са точки в двумерна равнина t, s (чудесна плоска равнина), а изходните ѝ стойности са в тримерно пространство. Необходимо е също така да се определи областта T в равнината t, s, която се изобразява в повърхнината S.
Това, което трябва да направим, е да намерим начин да интегрираме върху плоската област T, което да даде съвсем същия резултат, все едно интегрираме върху произволната повърхнина S. Това означава да опишем "малки парченца площ" от повърхнината S чрез нещо, което се съдържа в параметъра.
Почти всичко това е описано в статията за лице на повърхнина. Там видяхме как един малък правоъгълник в областта T с площ start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 се трансформира в успоредника S с площ
За това, което целим с нашия повърхностен интеграл, това означава, че представяме d, \Sigma по следния начин:
По-конкретно, ето как записваме повърхностен интеграл относно параметрично пространство:
Нека разбием този израз на съставните му части:
Основното, върху което трябва да се фокусираме тук, и което прави изчисленията толкова трудоемки, е начинът, по който представяме d, \Sigma.
В следващата статия ще видиш напълно решен пример на подобен повърхностен интеграл.
Обобщение
- Повърхностните интеграли се използват тогава, когато искаме да съберем голям брой стойности, свързани с точки върху някаква повърхнина. Това е двумерният аналог на криволинейните интеграли. Алтернативно, можем да го разглеждаме като начин за обобщение на двойните интеграли за произволни повърхнини.
- Изчисляването на повърхностен интеграл е почти идентично с изчисляването на лице на повърхнина с двоен интеграл, с тази разлика, че се придържаме към функцията в интеграла:
Както толкова много неща в анализа на функции на много променливи, въпреки че теоретично всичко, свързано с повърхностните интеграли е прекрасно, същинското им изчисляване е мъчително трудоемко.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.