Пример за изчисляване на повърхностен интеграл - част 1

Преди няколко урока видяхме, че можем да параметризираме тор или тяло с форма на геврек, като функция на радиус-вектор на два параметъра. Получихме следния резултат... Мисля, че го получихме в няколко отделни видеа, защото е доста трудоемко. Първо ще запиша нашата функция от радиус-вектора. Имаме функцията r от нашите два параметъра s и t. След това ще преговорим малко какво представляват тези членове – където се появяват s, t, a и b. Това е равно на b плюс 'а' по косинус от s, по... Отново, видяхме това преди няколко видеа. Може би е добре да гледаш видеата за параметризация на повърхнини с два параметъра, за да разбереш как стигаме до тази формула. По синус от t, по... Ще запиша членовете, съдържащи s и t в различни цветове. По единичния вектор i. Ще записвам единичните вектори в оранжево. Плюс... ще използвам същото жълто. Плюс b плюс 'a' по косинус от s, по косинус от t, по единичния вектор j – единичният вектор в посока у. Плюс 'a' по синус от s, по k – k е единичният вектор в посока z. За да получим тор или геврек, това трябва да е изпълнено за нашите параметри – за да не се въртим много пъти около тора – s трябва да е в интервала от 0 до 2 по пи и t трябва да е в интервала от 0 до 2 по пи. И само като преговор, да кажем, че всичко това следва от... ще трябва да разделя това, което съм планирал за този урок, в няколко отделни видео клипа. Но сега да преговорим откъде следва това. Ще начертая един геврек. Тук ще се постарая да начертая един геврек. Това прилича на геврек или на тор. Представи си тор, или този геврек, който се получава един вид от две окръжности. Ако имаме една окръжност, която е един вид напречно сечение на геврека в тази точка. Можем да направим сечение ето тук. Можем да направим сечение и ето тук. После ще получим някаква окръжност, която един вид се извива около другите окръжности, или те се въртят около нея. Така, когато получихме тази формула или тази параметризация, 'a' беше радиусът на тези окръжности от напречните сечения. Това е 'a'. Това са тези членове с 'a'. b е разстоянието от центъра на тора до центъра на тези напречни сечения. Значи това е b. Досещаш се, че b е един вид радиус на тази голяма окръжност, един вид до средата на това напречно сечение. 'a' е радиусът на окръжностите на напречното сечение. Когато параметризираме това, параметърът s по същество ни дава какво е разстоянието от или къде се въртим около тази окръжност. То е ъгъл в интервала от 0 до 2 по пи, който ни показва къде се намираме върху тази окръжност. t ни показва колко сме се завъртели около по-голямата окръжност. Ако го разгледаме, можем да определим всяка точка върху повърхността на този геврек или тор, като зададем стойностите на s или на t. Затова избрахме тази параметризация. Причината да разглеждаме всичко това отново е, че преди няколко урока видяхме, че можем да използваме това, за да изчислим повърхностен интеграл. Повърхностният интеграл, който ще изчислим, ни дава лицето на повърхнината на този тор или геврек. Значи тази повърхнина тук е сигма, ето така, и тя се представя чрез тази функция от радиус-вектор. Това е параметризирано с тези два параметъра. Ако искаме да намерим лицето на повърхнината, ако съставим повърхностен интеграл, както видяхме мисля, че беше последното видео от векторен математически анализ, което направих, това беше повърхностен интеграл от повърхнината. Тук тази главна буква сигма не представлява сума, а представлява повърхнината като куп малки d сигма... голям брой малки парченца от повърхнината. Само да си припомним, че можеш да си представиш всяко d сигма като малко парченце от тази повърхнина. Това е d сигма. Това е двоен интеграл, защото искаме да съберем всички d сигма в двете посоки. Представи си, че един вид се въртим по този начин около тора и после другата посока, която обикаля в другата посока тора. Затова имаме двоен интеграл. Това ще ни даде лицето на повърхнината, което е целта на това видео и, вероятно, и на следващите няколко видеа. Но ако решиш да умножиш тези сигма по някаква друга стойност – има някакво скаларно поле, което ни интересува – можеш да поставиш тази друга стойност ето тук. Но сега умножаваме по 1. В последното видео видяхме, че има начин да изразим идеята, но реално не можем да я изчислим. Но начинът, по който изразяваме това, е по същество да вземем интеграл, да кажем, че това е същото нещо като... видяхме това в последните няколко видео урока. Това е същото нещо като двоен интеграл в областта, в която са дефинирани нашите параметри. Това е тази област ето тук, където s и t са в интервала от 0 до 2 по пи, или каквато е нашата функция. Тук просто имаме 1, така че можем да напишем просто 1, ако искаме, то не променя нищо. По... и това е нещото, което учихме. По дължината на вектора на частната производна на r относно s. Дължината на векторното произведение на частната производна на r относно s и частната производна на r относно t, ds. Можем да ги умножим и в обратния ред, но сега е ds, dt. Видяхме това в предишното видео. Сега ще изчислим това. Това е целта на днешното видео. Ще намерим векторното произведение на тези два вектора. Да определим тези вектори, а в следващото видео ще намерим векторното им произведение. В по-следващото видео ще изчислим този двоен интеграл. Тогава ще видиш, че това са много трудоемки задачи, което е причината, че много малко хора са виждали изчисляване на повърхностни интеграли. Но ние ще го направим. Значи частната производна на r относно s... това е този член ето тук. Ще намерим векторното произведение в следващото видео. Този член какъв е? Просто задържаме t константа и намираме частната производна относно s. Това тук горе, ако разкрием скобите и умножим по синус от t по b... това ще бъде константа относно s, така че можем да го игнорираме. Тогава получаваме синус от t по това ето тук. Значи синус от t и 'a' е константа. Намираме производната на косинус от s. Това е минус синус от s. Производната на това относно s или частната производна относно s е равна на минус 'a'... ще запиша в зелено по синус от t, така че да виждаш откъде дойде това. Синус от t и после синус от s. Производната на това е минус синус от s. Ето откъде дойде този минус. После записвам синус от s ето тук. По единичния вектор i. Това е частната производна на този х-член относно s. После ще направим същото нещо по отношение на члена у или члена j. Значи плюс – същата логика – b по косинус от t относно s. Когато намираме частната производна, става 0, така че ни остава само 'a'... това е равно на минус 'a', отново, защото, когато намираме производната на косинус от s, ще получим минус синус от s. Ще го напиша. Ще получим минус 'a' по този косинус от t. Минус косинус от t. Това е константният член. По синус от s. Просто намираме частните производни. Синус от s, по j. И накрая намираме производната на това относно s. Това е много лесно. Това е просто 'a' по косинус от s. Значи плюс 'a' по косинус от s, по k. Надявам се, че това не ти се струва объркващо. Минусите идват от това, че производната на косинус е минус синус. Затова имаме минус синус от s. Затова имаме минус синус от s по константа. Минус синус от s по константа – константата е косинус от t и синус от t. Надявам се, че това ти се струва логично, като това е преговор на това как се намират частни производни. Сега да диференцираме относно t. Ще използвам различен цвят. Сега ще намерим частната производна на r относно t. Частната производна на r относно t е равна на... сега целият този член е константа, затова имаме този член по производната на този член относно t, което е просто косинус от t. Значи това е b плюс 'a' по косинус от s по косинус от t, по i. После имаме плюс... всъщност ще бъде минус, защото когато намираме производната на това относно t, ще получим минус синус от t. Знакът ще е минус, а после – ще оставя малко място за този член ето тук. Минус синус от t. После ще имаме тази константа ето тук. Това е константа относно t. b плюс 'a' по косинус от s, по... Това е просто този член ето тук. Производната на косинус от t е минус синус от t, по j. После частната производна на това относно t – това е просто константа относно t. Значи частната производна ще е нула. Ще запиша плюс 0 по k. Ще направя всички вектори в един цвят. Плюс 0 по единичния вектор k. Това са частните производни. Сега трябва да намерим векторното им произведение, да намерим дължината му и после да изчислим този двоен интеграл. Ще направим това в следващите няколко видео клипа.