Пример за изчисляване на повърхностен интеграл - част 3

В последните няколко видеа бавно се приближаваме към нашата цел да изчислим лицето на повърхнината на този тор. Ще го направим, като сметнем този повърхностен интеграл, а за да изчислим повърхностния интеграл, трябваше да направим параметризация и намерихме частните производни относно s и относно t. Направихме го в първото видео от поредицата. След това намерихме векторното им произведение. Това стана във второто видео от поредицата. Сега сме готови да намерим дължината на вектора, получен от векторното произведение. След това можем да изчислим този двоен интеграл и ще получим стойността на този повърхностен интеграл – нещо, което ще виждаш много рядко в твоята математическа кариера. Така че това е вълнуващо. Ето това тук е векторното произведение. Сега да намерим дължината му. Може би си спомняш, че дължината на произволен вектор се получава с питагоровата теорема. В този случай това ще е формулата за определяне на разстояние, един вид питагоровата теорема в три измерения. Значи дължината – тя е равна на – само да припомня, че е равна на това ето тук. Това е векторното произведение на частната производна на r относно s по частната производна на r относно t. Ще копирам това и ще го поставя ето тук. Това е равно на ето това тук. Поставям знак за равенство. Тези две величини са равни. Сега искаме да намерим дължината. За да намерим дължината на това нещо ето тук, тя ще е равно на... това ще е просто едно число, по което умножаваме всичко. Да запишем тук едно число. Значи b плюс 'a' по косинус от s, по дължината на това ето тук. Дължината на това тук е равна на сумата от... досещаш се, това е корен квадратен от векторното произведение на този вектор със самия него. Или можем да кажем, че това е сумата на квадратите на всеки от тези членове, на степен 1/2. Щ го запиша по следния начин. Ще запиша сумата от квадратите. Ако повдигнем това на квадрат, получаваме 'a' на квадрат, по косинус на квадрат от s, по синус на квадрат от t. Това е този член. Плюс – ще използвам различни цветове. Това е този член. Ще го направя в цикламено. Плюс този член на квадрат. Плюс 'a' на квадрат, по косинус на квадрат от s, по косинус на квадрат от t. Това е този член. Накрая... ще използвам различен цвят. Този член на квадрат. Значи плюс 'a' на квадрат, по синус на квадрат от s. Това ще ни даде всичко това на степен 1/2. Това ето тук е равно на дължината на това ето тук. (подчертава на екрана) Това е просто едно число, умножено по тези два члена. Да видим дали може да направим нещо интересно тук. Дали можем някак да го опростим. Имаме 'a' на квадрат, по косинус на квадрат от s. Имаме 'a' на квадрат, по косинус на квадрат от s ето тук, така че можем да изнесем пред скоби от тези два члена и да видим какво ще стане. Просто ще препиша втората част. Значи това тук ще бъде 'a' на квадрат, по косинус на квадрат от s, по синус на квадрат от t... слагам скоба, плюс косинус... о, исках да е в този цикламен цвят, а не в оранжево. Плюс косинус на квадрат от t. Синус на квадрат от t, по косинус на квадрат от t. После ще имаме плюс 'a' на квадрат, по синус на квадрат от s. Разбира се, всичко това е на степен 1/2. Какво е това сега? Имаме синус на квадрат от t плюс косинус на квадрат от t. Това е хубаво. Това е равно на 1, най-основното тригонометрично тъждество. Значи този израз ето тук се опростява до 'a' на квадрат, по косинус на квадрат от s, плюс това тук: 'a' на квадрат, по синус на квадрат от s. Всичко това е на степен 1/2. Може би веднага виждаш, че можем да изнесем пред скоби 'a' на квадрат. Това е равно на 'a' на квадрат по косинус на квадрат от s, плюс синус на квадрат от s. Всичко това е на степен 1/2. Просто се фокусирам върху този член ето тук. Ще го запиша след момент. Пак повтарям, косинус на квадрат плюс синус на квадрат е равно на 1, когато ъгълът е един и същ, тогава е равно на 1. Значи този член е 'a' на квадрат на степен 1/2. Или корен квадратен от 'a' на квадрат, което е равно просто на 'a'. Значи всичко това – този сложен израз тук се опрости, всичко това е равно просто на 'a'. Значи това векторно произведение се опростява до това по 'a', което е много хубаво опростяване. Ще препиша това. Това се опростява до 'a' по това. А какво е това? 'a' по b, значи 'a' по b. 'a' по b, плюс 'a' на квадрат по косинус от s. Вече постигнахме доста и е толкова хубаво, когато от такъв чудовищен израз стигаме до нещо относително просто. Само да преговорим какво трябва да направим, каква беше нашата цел от няколко видеа насам – искахме да изчислим колко е този интеграл в областта от s...в областта, където е дефинирана нашата повърхнина. Значи за s от 0 до 2 по пи, и за t от 0 до 2 по пи. В ето този участък. Искаме да интегрираме тази функция в този участък. Този участък, където s се променя от 0 до 2 по пи. Значи по ds. И после където t се променя от 0 до 2 по пи; dt. Ето това пресмятаме. Пресмятаме дължината на векторното произведение на тези две частни производни на оригиналната параметризация. Ето какво въвеждаме тук. Нещата изведнъж станаха прости, или поне по-прости. 'a' по b, по 'a' на квадрат, по косинус от s. На какво е равно това? Това е равно на... просто трябва да намерим примитивната функция на вътрешната функция относно s. Примитивната функция – ще го направя извън интеграла. Пак ще сме в интервала от 0 до 2 по пи, и тук имаме dt. Но примитивната функция относно s тук ще бъде... 'a' по b е просто константа, така че това ще бъде 'a' по b, по s – коя е примитивната функция на косинус от s? Тя е синус от s. Значи плюс 'a' на квадрат, по синус от s. Ще изчислим това в интервала от 0 до 2 по пи. На колко ще е равно това? Да поставим отново границите или интеграла, който ще получим след малко – от 0 до 2 по пи, dt. Когато заместим с 2 по пи, ще получим 'a' по b, по 2 по пи, или 2 по пи по 'a', по b. Получаваме 2 по пи, по 'a', по b, плюс 'a' на квадрат, по синус от 2 по пи. Синус от 2 по пи е 0, така че тук не остава нищо. След това минус 0 по 'a', по b, което е нула. После имаме минус 'a' на квадрат, по синус от 0, което също е нула. Значи всички тези членове стават 0. Това е, което ни остава – много хубаво се опрости. Сега трябва да намерим примитивната функция на това относно t. Това е константа относно t, така че това ще е равно на... намираме примитивната функция относно t – 2 по пи, по 'a', по b, по t; трябва да го изчислим за 0 и за 2 по пи, което е равно на... значи тук заместваме 2 по пи. Имаме t равно на 2 по пи, така че става 2 по пи, по 2 по пи, по 'a', по b. Можем да кажем, че е 2 по пи, на квадрат, по 'a', по b, минус 0 по това нещо. Така че това просто ще бъде 0, дори няма нужда да го записвам. Готови сме. Това е лицето на повърхнината на нашия тор или геврек. Това е вълнуващо. То просто изхвръкна пред нас. Равно е на 4 по пи, на квадрат, по 'a', по b, което е една много хубава формула, защото е много елегантна. Тук имаме 2 по пи, което е един вид диаметър на окръжност. Повдигаме го на квадрат, което е логично, тъй като умножаваме – можеш да си представиш произведението на тези две окръжности. Говоря съвсем общо, за общия случай, но това наистина изглежда логично. И после просто умножаваме тези два радиуса. Само ще копирам това нещо тук. Всъщност ще копирам това, защото това е нашият нов и вълнуващ резултат. Ще копирам това. Копирам. Цялата работа, която свършихме, се сведе в крайна сметка до това, което е много вълнуващо. Сега знаем, че ако имаме тор, в който радиусът на напречното сечение е 'a', а радиусът от центъра на тора до средата на напречните сечения е b, тогава лицето на повърхнината на този тор ще бъде 4 по пи на квадрат, по 'a', по b. Което мисля, че е един страхотен резултат.