Повърхностен интеграл - втори пример (част 1)

Да решим още един повърхностен интеграл, като сега малко съм променил начина на записване. Вместо да запиша повърхнината с главната буква сигма, съм записал главна буква S. Вместо да запиша малко d малко сигма, съм записал d главно S, като това отново е повърхностен интеграл на функцията у. Повърхнината, която ни интересува, е х плюс у на квадрат, минус z, равно на нула. х е в интервала от 0 до 1, у е в интервала от 0 до 2. Това може би е малко по-лесно от предишния интеграл, който решихме, или поне се надявам, че е малко по-лесно, защото можем да дефинираме z явно чрез х и чрез у. Всъщност можем даже явно да дефинираме х чрез у и z. Но аз ще постъпя по другия начин. Това е малко по-лесно за визуализиране. Ако прибавя z към двете страни на равенството ето тук, ще получим х плюс у на квадрат равно на z, или z равно на х плюс у на квадрат. Това всъщност е много лесно. Тази повърхнина може много лесно да се начертае, или можем да се постараем да я онагледим. Ако това е оста z, а това е оста х, това е оста у, като ни интересува областта за х от 0 до 1. Може би това е х равно на 1, а у е между 0 и 2. Да кажем, че това е 1, това е 2 по оста у. Значи ни интересува повърхнината над тази област, над този участък от равнината ху. После да помислим как изглежда самата повърхнина. Това не е повърхнината. Това са просто интервалите на х и на у, които ни интересуват. Да помислим как изглежда повърхнината. Когато х и у са нули, z е нула. Значи тогава се намираме в... ще го направя със зелено – z. Ще се намираме ето тук. Когато у нараства, ако х остава равно на 0, ако разглеждаме равнината zу, z е равно на у на квадрат. Значи това може да е z равно на 4. Това е z равно на 2, 1, 3. Значи z ще прави нещо приблизително такова. Това ще бъде парабола в равнината zy. Тя ще изглежда приблизително така. Когато у е равно на 0, z е равно на х. Когато х е 1, z също е 1. Значи z ще се движи ето така. Означенията на осите не са направени в един мащаб. z е малко по-свито в сравнение с х и с у, както съм го начертал. След това от тази точка ето тук прибавяме у на квадрат. Тогава получаваме нещо, което изглежда... значи това е тази точка тук. След тази точка, когато у е равно на 2 и х е равно на 1, тогава z е равно на 5. Ще получим нещо такова. Получаваме една такава права линия, в тази точка, това е точно тук. Тази повърхнина е повърхнината, която ще разгледаме, или повърхнината, за която ще изчислим повърхностния интеграл от функцията у. Единият начин, по който можем да разсъждаваме, е, че у може да е масовата плътност на тази повърхнина. Значи като умножим у по всяко dS, ще намерим масата на това малко парче, а после ще намерим масата на цялата повърхнина. Един начин, по който можеш да си го представиш, е, че колкото повече отиваме в тази посока, колкото повече се увеличава у, това става все по-плътно. Значи тази част на повърхнината е по-плътна колкото по-голямо става у. Така че това ще ни даде масата. Като изяснихме това, сега да изчислим интеграла. Както знаеш, първата стъпка е да параметризираме повърхнината. Това трябва да е много лесно, защото можем да изразим z чрез х и у. Всъщност можем да използваме х и у като параметри или ако искаме да заместим с други параметри, също бихме могли. Но сега... ще напиша просто... ще направя следното. Ще запиша просто, че х е равно на... и понеже използваме различен начин на записване, вместо да използвам s и t, ще използвам u и v. х е равно на u, а у е равно на v. Тогава z ще бъде равно на u плюс v на квадрат. Така че нашата повърхнина, представена като функция на радиус-вектора, можем да я запишем като r, която е функция от u и v. Това е равно на u по i, плюс v по j, плюс u + v на квадрат, по k. После u принадлежи на интервала от 0 до 1, защото х е равно на u или u е равно на х. Значи u е от 0 до 1. После v е в интервала от 0 до 2. Ще спра дотук. В следващото видео ще съставим повърхностния интеграл, тъй като вече направихме параметризацията.