Повърхностен интеграл - трети пример (част 1)

Да решим още един повърхностен интеграл. Повърхнината, която ще разгледаме, е S, повърхнината на тази фигура ето тук. Както виждаш, можем да я разделим на три отделни повърхнини. Първата повърхнина е тази основа, която е оцветената единична окръжност тук долу. Втората повърхнина е тази в синьо, която можем да разглеждаме като един вид стена. Можем да си я представим като стената на цилиндър, но този цилиндър е срязан от една равнина ето тук. Равнината, която срязва цилиндъра, е равнината z равно на 1 минус х. Очевидно е, че равнината се простира извън това тяло. Но там, където равнината срязва един вид цилиндъра, тя представлява част от това тяло. Значи синята повърхнина е над контура на единичната окръжност и под тази равнина. После третата повърхнина е един вид подмножество на равнината, на тази лилава равнина с уравнение z равно на 1 минус х, която един вид похлупва, формира горния край на цилиндъра. Така че можем да представим този повърхностен интеграл като сума от три повърхностни интеграла. Това е повърхностният интеграл от z по повърхнината S1, плюс повърхностния интеграл от z по повърхнината S2, плюс повърхностния интеграл от z по повърхнината S3. Можем да решим всеки от тези интеграли самостоятелно. Можем да започнем с първата повърхнина. Може би искаш да започнеш веднага да параметризираш и всичко останало, но тук всъщност има много бърз начин да решим този повърхностен интеграл, още повече, че това е повърхностен интеграл от z. Каква е стойността на z в тази повърхнина – в тази защрихована единична окръжност ето тук? Тя лежи в равнината ху. Когато се намираме в равнината ху, z e равно на 0. Значи за цялата тази повърхнина z e равно на 0. На практика интегрираме 0. 0 по dS е просто 0. Значи целият интеграл е 0. Това е възможно най-простият повърхностен интеграл. Но винаги е добре да внимаваме за подобни неща. Аз не бих те оставил да си губиш времето – няма да вършим излишни неща. Може би ще получиш отговора и по другия начин. Но не е нужно да се отделя толкова много време за параметризация и всичко останало. Сега да разгледаме другите две повърхнини, като първо ще се фокусирам върху повърхнина 2. Тук допустимите стойности за х и за у са стойностите на х и на у в единичната окръжност. Така че можем да я параметризираме по същия начин, по който параметризираме обикновената единична окръжност. Можем да кажем, че х е равно на... нека да е равно на... радиусът е 1, значи синус е равен на косинус от... ще използвам параметъра u. х е равно на косинус от u. После да кажем, че у е равно на синус от u. u е ъгълът между положителната посока на оста х и местоположението ни върху единичната окръжност. Значи това ето тук е ъгъл u. Това означава, че u... когато u е между 0 и 2 по пи, това означава, че правим пълна обиколка на единичната окръжност. Това са всички възможни стойности на х и на у, които те могат да приемат. После стойността на z е колко се намираме над тази граница, при което попадаме някъде в повърхнината. Но това е интересно, защото стойността на z – z очевидно може да приеме множество различни стойности, но винаги трябва да е под тази равнина ето тук. Значи за стойността на z ще въведем нов параметър. Ще го означа с z = v. Това е вторият ни параметър. v определено ще е по-голямо от 0. z и v са едно и също нещо. Те винаги са положителни, така че винаги са по-големи или равни на 0. Но същевременно винаги са по-малки от или равни на някаква константа. Един вид имат променяща се горна граница или "покрив". Така че винаги ще е по-малко или равно на тази равнина ето тук. Значи можем да кажем, че е по-малко или равно на 1 минус х. Можем да кажем... знаем, че z е по-малко от или равно на 1 минус х, но ако използваме новия параметър v, който е z, 1 минус х е същото нещо като 1 минус косинус от u. Вече сме готови с параметризацията. Вече можем да изчислим този повърхностен интеграл. За да го направим, първо да намерим векторното произведение. Искаме да намерим колко е dS и ни е нужна дължината на векторното произведение на частната производна на параметризацията относно u по частната производна относно v. Всъщност ще запиша всичко това, вместо да си съкращавам работата. Значи dS, и това е всичко... ще използвам отново синьо, въпреки че разглеждаме втората повърхнина. dS е равно на дължината на векторното произведение на частната производна на параметризацията относно u по частната производна на параметризацията относно v, du, dv. Сега ще запиша частната производна на параметризацията относно u. Може би се чудиш кое е нашата параметризация. Тя е ето това тук. Просто не съм я записал в обичайния вид с i, j и k, но бих могъл. Мога да запиша, че r е равно на... може би да го означа като r2, защото разглеждаме втората повърхнина. Не трябваше да използвам този оранжев цвят, защото го използвах за първата повърхнина. Ще използвам този синкав цвят. Значи r за втората повърхнина е равно на косинус от u по i, плюс синус от u по j, плюс v по k. Това са интервалите, в които са стойностите на u и на v. За да намеря частната производна на r относно u, ще... да видим – производната на косинус от u относно u е минус синус от u по i. Производната на синус от u относно u е плюс косинус от u по j. Производната на v относно u е просто 0. Това е частната производна относно u. Частната... ще използвам различен цвят, просто ей така. Частната производна на v е равна на... това ще бъде 0, това ще бъде 0, и получаваме само 1 по k. Значи ще е равна на k. Сега можем да намерим векторното произведение на частните производни. Ще намерим векторното произведение, а после ще намерим неговата дължина, така че тази част – векторното произведение, вътрешността на това преди да намерим дължината му. Копирам и поставям. Това ще е равно на детерминантата на матрицата 3 по 3. Ще запиша компонентите i, j, k. После r с индекс u е това. Компонентът i е минус синус от u. Компонентът j е косинус от u. Няма k компонент, така че тук записвам нула. После r с индекс v – няма компонент i, няма компонент j, има само 1 за компонент k. Сега можем да сметнем това. Първо да видим i компонента. Игнорираме този стълб и този ред. Получаваме косинус от u минус 0. Това е равно на косинус от u по i. След това минус j по... игнорираме този стълб и този ред – минус синус от u по 1, минус 0. Това е минус j по минус синус от u. Това е равно просто на плюс синус от u по j. После за k имаме това по 0 минус това по 0. Получаваме 0. Това е векторното произведение. Ако искаме да намерим дължината на векторното произведение, просто намираме дължината на това... сега можем да намерим дължината. Тя е равна на... дължината на това е равна на корен квадратен от косинус от u на квадрат плюс синус от u на квадрат. Няма k компонент. От единичната окръжност – това е най-основното тригонометрично тъждество – това ще е равно на 1. Така че тази част ето тук се опростява до 1, което е чудесно. dS се опростява до du, dv поне за тази повърхнина. Така че сега можем да опитаме да изчислим интеграла. Но времето ми почти изтича, така че ще го направя в следващото видео.