Повърхностен интеграл - трети пример (част 3)

Вече сме почти на финала на задачата. Трябва да изчислим само третия повърхностен интеграл, което е тази горната част на нашия пресечен цилиндър. Да помислим как можем да параметризираме. Ще копирам и ще поставя целия чертеж, за да мога да го използвам тук долу, докато параметризираме. Ще копирам и после слизам долу и поставям чертежа. Поставям чертежа тук – ето това е нашето тяло, нашата повърхнина. И сега стигаме до мястото, до което искахме да стигнем. Започвам с изчисленията. Разглеждаме повърхностния интеграл за третата повърхнина – z, dS. За тази трета повърхнина виждаме, че стойностите на х и на у... понеже разглеждаме всички възможни стойности на х и на у вътре в единичната окръжност, включително границата, стойностите на z ще бъдат функция от стойността на х. Знаем, че тази равнина, тази горната повърхнина ето тук, S3, е подмножество на равнината z. z е равно на 1 минус х. Това е подмножество, което един вид е над единичната окръжност в равнината ху, или е един вид подмножество, което пресича нашия цилиндър и един вид го срязва. Първо да разгледаме х и у. Да ги разгледаме чрез полярни координати, защото това вероятно е най-лесният начин да разсъждаваме. Ще начертая отново един изглед отгоре. Това е оста у, това е оста х. х и у могат да приемат произволни стойности, така че да се запълни единичната окръжност. Все едно проектираме тази горна повърхнина долу в равнината ху и тогава ще се получи тази повърхнина в оранжево, тази долната повърхнина, която изглежда по следния начин. Това по същество е единичната окръжност ето така. Ще го начертая малко по-прецизно от това. Ще се постарая повече, така че ето така, добре. Чертая единичната окръжност колкото мога по-прецизно. Това е единичната окръжност. Ще имаме един параметър. Ще имаме един параметър, който по същество ни показва докъде сме отишли по обиколката на единичната окръжност. По същество това е нашият ъгъл, ще го означа с тита, просто хей така, за забавление. Още не сме използвали тита като параметър. Това е тита, но ако изразим х и у като функция от тита, когато сме фиксирали радиуса, това ще ни даде само точките, които лежат върху единичната окръжност. А ние искаме да получим всички х и у, които са вътре в кръга, очертан от тази единична окръжност. Така че по същество трябва да имаме два параметъра. Трябва да се променя не само този ъгъл, но трябва да се променя и радиусът. Ще опишем контура на тази единична окръжност, а после ще намалим малко радиуса и ще се завъртим отново. После ще скъсим радиуса още малко. Пак ще се завъртим. Така че на практика ще имаме променлив радиус, който ще ни показва на какво разстояние се намираме. Можем да го означим с r. Например, ако r е фиксиран, а променяме ъгъла тита, тогава ще получим всички тези точки ето тук, и можем да направим това за всички стойности на r от нула до 1. Така евентуално ще попълним целия единичен кръг. Да го направим – значи r ще е между 0 и 1. Тита приема стойностите за пълна обиколка. Значи тита е в интервала от 0 до 2 по пи. Това е – ще го запиша – о, написах 0 вместо тита. Тита е по-голямо от или равно на нула, и по-малко от или равно на две по пи. Сега сме готови за параметризацията. х от r и от тита е равно на – за произволна стойност на r х е равно на r по косинус от тита. Значи х е r по косинус от тита. у е равно на r по синус тита. Това е стойността на у. r по синус тита. z е просто функция от х. z е равно на 1 минус х, но х е равно на r по косинус от тита. Ето това е. Имаме нашата параметризация на тази повърхнина ето тук. х и у може да приемат всички стойности от единичната окръжност, но тогава z е тук горе въз основа на функцията от... като функция от х, по същество. z е 1 минус х. Това ще ни даде всички възможни точки ето тук върху повърхнината. Избираме стойности за х и у, а после z се появява някъде тук в повърхнината. Можем да представим това като функция от радиус-вектора. Вместо да означим тази функция на радиус-вектора с r, понеже вече използвахме r за радиуса, ще я означа с... не знам, нека да е.. просто ще избера произволна буква – ще означа функцията на радиус-вектора с 'p'. Така че p, повърхнината p, можем да запишем като... всъщност защо просто не я означа като повърхнина 3. Значи повърхнината s3 – ще използвам същия лилав цвят, за да знаем, че говорим за това – повърхнината 3 като функция от радиус-вектора, като функция от тита и от r – може би ще ги подредя обратно – r и тита, защото разсъждавам по този начин. s3 от r и тита равно на r по косинус от тита, по i, плюс r по синус от тита, по j, плюс 1 минус r по косинус от тита... Трябва ми повече място тук. 1 минус r по косинус от тита, по k. Вече можем да използваме това, за да изчислим повърхностния интеграл. Първото нещо, което трябва да направим, е да намерим векторното произведение на частната производна на параметризацията по отношение на r и частната производна на параметризацията по отношение на тита. Да се захващаме за работа. Ще намерим векторното произведение така че имаме единичния вектор i, имаме единичния вектор j, имаме единичния вектор k. Чака ни доста писане, но ще дам всичко от себе си, за да получим каквото трябва. Ще си направя повече място. Частната производна на това относно r – (посочва първият член на параметризацията) да намерим частната производна по отношение на r. Ще използвам синьо за частната производна относно r. Тя е просто косинус от тита, по i, значи това е просто косинус от тита. Казах, че ще пиша със синьо, но това не е синьо. Значи това е косинус от тита. Частната производна на това относно r е синус от тита. (показва втория член на параметризацията) Частната производна на този член (третия член на параметризацията) относно r е минус косинус от тита. Сега да намерим частната производна относно тита. Частната производна на това относно тита е минус r по синус от тита. Частната на това относно тита е r по косинус от тита. Частната производна тук е нула, а после имаме минус r по синус от тита. Минус r... о, не, трябва да внимавам. Това ще бъде – имаме минус r, така че производната на косинус тита относно тита е минус синус от тита. Минусите ще се компенсират, така че остава r по синус от тита. Сега трябва да сметнем тази детерминанта, за да намерим векторното произведение на частната производна относно r и частната производна относно тита. Не го записвам, за да спестя малко място. Все пак може би трябва да го запиша, за да се вижда какво правя. Векторното произведение на частната производна на S3 относно r и частната производна на S3 относно тита е равно на... компонентът i ще бъде синус от тита по r по синус от тита, така че това е r по синус на квадрат от тита, минус r по косинус от тита по минус косинус от тита. Това дава плюс r по косинус на квадрат от тита. Всичко това е по i, и може би вече виждаш как можем да го опростим. След това имаме компонента j. Той ще бъде косинус от тита по r по синус от тита. Значи това е r по косинус от тита, по синус от тита. След това ще извадим от това. Виждаме, че минусите се компенсират. Така че изваждаме r по синус от тита, по косинус от тита, или r по косинус от тита, по синус от тита. Това е интересно, защото тези двете са равни и с обратни знаци. r по косинус от тита, по синус от тита, минус r по косинус от тита, по синус от тита. Така че това дава нула. Няма да има компонент j. Накрая за компонента k имаме косинус от тита по r по косинус от тита. Получаваме r по косинус на квадрат от тита, минус r по синус от тита, по синус от тита. Или това е минус минус r по синус от тита, по синус от тита. Значи получаваме минус, но трябва да го извадим, така че става плюс. Значи плюс r по синус на квадрат от тита, по k. Това ще се опрости хубаво, защото това ще е равно на – от този член тук можем да изнесем пред скоби r. Това става r по синус на квадрат от тита, плюс косинус на квадрат от тита, което е просто – тази част се опростява до 1, така че това е само r по i. Значи получаваме r по i. Тук правим същото нещо. Това също се опростява. Това е съвсем същото. Опростява се до r. Значи цялото се опростява – ще го напиша по следния начин – това е r по синус на квадрат от тита, плюс косинус на квадрат от тита. Това се опростява до r. Получаваме r по k, и за да получим дължината на това векторно произведение – искам да поясня – дължината – ще пиша отново в цикламено – дължината на... не ми се иска да го пиша пак, просто ще копирам и ще го поставя. Копирам и поставям. Дължината на това векторно произведение ще бъде равна на корен квадратен от квадрата на това, което е r на квадрат, плюс това на квадрат, което е равно на r на квадрат, и което се опростява до 2 по r на квадрат. Коренуваме тези двете и получаваме корен квадратен от 2 по r. Значи това е равно на корен квадратен от 2, по... това ще е абсолютната стойност на r, но знаем, че r приема само положителни стойности. Така че това е корен квадратен от 2, по r, което е много хубаво, защото сега можем да сметнем dS. dS ще е равно на това по dr, d тита. Да го направим. Нашият повърхностен интеграл, с който се заниваме от самото начало, е ето това тук. Нашият повърхностен интеграл по повърхнината S3, от z, dS, сега е равен на – ще използвам различни цветове за различните променливи на интегриране – първо външната, а после вътрешната, ще използвам розово за вътрешната променлива. z е равно на 1 минус r по косинус от тита. Значи z е равно на 1 минус r по косинус от тита. Тук имаме и двете променливи, така че ще използвам различен цвят. Минус r по косинус от тита. След това трябва само да интегрираме относно двете променливи. 1 минус r по косинус от тита, о, тук трябва да умножа по dS. dS е това нещо ето тук, по d тита, d, dr. Да видим, ще запиша това. По корен квадратен от 2, по r, сега ще запиша това, значи по корен квадратен от 2, по r, по корен квадратен от 2... мога да запиша корен квадратен от 2 отпред, понеже това е константа, и ще го направя, за да опростя нещата. Корен квадратен от 2 по r, сега d тита, dr. Можем да напишем dr, d тита, може и по двата начина. Сега да сметнем това. Да сметнем dr, d тита. Значи dr, d тита – може и по двата начина – нивото на трудност ще е едно и също. Първо ще интегрираме относно r, ще използвам цветовете по същия начин. Значи dr, d тита. Ако имаше цветове, можеше да ги използвам. Всъщност току-що осъзнах, че ми свършва времето. Така че ще продължа с това в следващото видео. Ще определим границите на интегриране и ще изчислим интеграла.