Повърхностен интеграл - трети пример (част 4)

Прекъснах предишното видео около 12-тата минута, защото стана прекалено дълго. Имах нужда от почивка. Но бяхме стигнали почти до финала. Изчислявахме третия повърхностен интеграл. Това беше двоен интеграл относно r и тита. Сега само трябва да определим границите. Както знаем, r е между 0 и 1. Тита приема стойности между 0 и 2 пи. Значи r – първо ще интегрираме относно r. r приема стойности между 0 и 1. Тита приема стойности между 0 и 2 по пи. Сега сме готови да интегрираме. Първо да видим първата част. Да решим първата част ето тук. Направо ще препиша външната част. Това е равно на... имаме корен квадратен от 2 по интеграл от 0 до 2 по пи... тук имаме d тита. Това е външният интеграл. Вътрешната част ето тук – можем да я преработим, като разкрием скобите и умножим по r. Това е r минус r на квадрат по косинус от тита. Сега можем да интегрираме относно r. Когато интегрираме относно r, косинус от тита е просто константа. Когато интегрираме това относно r, получаваме – ще го напиша с розово – когато интегрираме относно r, примитивната функция на r е r на квадрат, върху 2. Примитивната функция на r на квадрат е r на трета степен, върху 3, значи тук е минус r на трета степен, върху 3, по косинус от тита. Това е просто константа. Сега ще го изчислим за 0 и за 1. Когато го изчислим за 1, получаваме 1/2, минус 1/3 по косинус от тита. Значи получаваме 1/2... ще го направя ето тук – 1/2 минус 1/3 по косинус от тита. След това имаме минус тези двете, изчислени за 0, които просто ще бъдат нули. 0 на квадрат минус 0 на квадрат, по нещо си. Това е нула. Значи това тук дава 1/2 минус 1/3 по косинус от тита. Получихме интеграла. Това всичкото ще е равно на корен квадратен от 2 по интеграл от нула до 2 по пи, от 1/2 минус 1/3 по косинус от тита, d тита. Това е равно на корен квадратен от 2 по примитивната функция от 1/2, която е 1/2 тита. Примитивната функция на косинус от тита е синус от тита. Значи минус 1/3 по синус от тита. Ще го изчислим за 0 и за 2 по пи. Когато го изчисляваме за 2 по пи... само да запиша всичко – това е самият финал. Не искам да направя грешка от невнимание. Имаме корен квадратен от 2 по... да го изчислим за 2 по пи. 1/2 по 2 по пи е пи, минус 1/3 по синус от 2 по пи – това ще бъде нула. Когато го изчислим за 0, 1/2 по 0 е нула. Синус от 0 е 0. Значи това става 0. Всичко това се опростява до пи. И сме готови. Изчислихме третата повърхнина. Тя е корен квадратен от 2, или третият повърхностен интеграл или повърхностният интеграл на третата повърхнина. Той е равен на корен квадратен от 2 по пи. И сме готови. Значи тази част ето тук е корен квадратен от 2, или корен от 2, по пи. Целият повърхностен интеграл, с който започнахме преди около 80 клипа :) е равен на... оранжевата част е 0, синята част е 3 по пи, върху 2 и цикламената част е корен квадратен от 2, по пи. Остава 3 по пи, върху 2, плюс корен от 2 по пи, което е стойността на началния повърхностен интеграл.