Повърхностен интеграл - пример (част 2)

Вече направихме нашата параметризация ето тук, а сега да се заемем с действителното изчисляване на повърхностния интеграл. Това е доста трудоемко, но ще го направим стъпка по стъпка. Първото нещо, което ще направя, е да изразя d сигма чрез s и t, това са нашите параметри. Можем да превърнем цялото това нещо в двоен интеграл относно... или двоен интеграл в равнината st. Спомни си, че d сигма ето тук е просто едно малко парченце от повърхнината. Това е малка площ от повърхнината ето тук. В предишните видео клипове, когато учихме какво представлява повърхностният интеграл, казахме, че d сигма ето тук е равно на дължината на векторното произведение на частната производна на параметризацията относно единия параметър и частната производна на параметризацията относно другия параметър, по диференциалите на двата параметъра. Точно това ще използваме тук. Това е едно доста просто твърдение, но както ще видим, намирането на векторното произведение е доста трудоемко, особено векторното произведение на тримерни вектори. Но ние ще го направим стъпка по стъпка. Преди обаче да намерим векторното произведение, първо ще намерим частната производна относно s, а след това частната производна относно t. Първо да разгледаме частната производна относно s – частната производна на r относно s. Ето тук всички членове, които съдържат t, можем да приемем като константи. Значи косинус от t няма да се промени. Частната производна на косинус от s относно s е минус синус от s. Значи това ще е равно на... Ще поставя отпред знак минус – минус косинус от t по синус от s. Ще записвам всички членове, които съдържат t, в лилаво. Синус от s. Сега ще направя... не знам. Ще направя векторите оранжеви – i, и после имаме плюс, и отново намираме производната относно s, косинус от t е просто константа, производната на синус от s относно s е косинус от s. Значи това ще бъде плюс косинус от t по косинус от s, по j. След това плюс производната на това относно s. Това е просто константа. Производната на 5 относно s е просто 0. Това е същото нещо. Това е просто константа – не се променя относно s. Значи нашата частна производна относно s е просто 0. Можем даже да напишем 0 по k. Ще запиша 0... или ще запиша просто 0 по k ето тук. Това е хубаво да се вижда, защото така ще намерим малко по-лесно векторното произведение. Сега да намерим частната производна относно t. Добре. Получаваме – значи производната на това относно t – сега косинус от s е константа. Производната на косинус от t относно t е минус синус от t. Това става минус синус от t, по косинус от s, по i... Ще използвам този син цвят – по i, а после плюс... сега производната на този израз относно t. Производната на косинус от t е минус синус от t. Отново, сега имаме минус синус от t, по синус от s... започна да ме боли ръката от толкова писане. Това е болезнена задача. ...по j, плюс производната на синус от t относно t. Намираме частната производна относно t. Това е просто косинус от t. Значи плюс косинус от t. Сега по единичния вектор k. Вече сме готови да намерим векторното произведение на тези две частни производни. За да намерим векторното произведение – ще го запиша. Значи ще кажем, че намираме векторното произведение на това и на това. То е равно на... сега ще направя една голяма матрица. Всъщност това е просто матрица 3 по 3, но ще я направя голяма, защото ще ни трябва много място, за да запишем всичко това. Може би ще ми трябва толкова място, за да мога да работя. Тук записвам единичните вектори i, j, k. Това е начинът, по който предпочитам да запомня как се намира векторно произведение на тримерни вектори. Намирам детерминантата на тази матрица 3 по 3 – първият ред съдържа просто единичните вектори, вторият ред съдържа първият вектор, който участва във векторното произведение. Значи това тук ще бъде минус. Просто ще напиша това ето тук. Това е минус косинус от t, по синус от s. След това имаме косинус от t по косинус от s. Накрая имаме 0, което се надявам, че ще опрости изчисленията. След това пишем втория вектор, който ще е в третия ред. Минус синус от t по косинус от s. Препоръчвам ти да направиш това самостоятелно, ако вече се досещаш накъде отиват нещата. Това е добро упражнение. Дори ако трябва да гледаш цялото нещо, за да разбереш как става, опитай се след това да го направиш отново самостоятелно, защото това е едно от тези неща, които трябва да направиш самостоятелно, за да го усвоиш. Минус синус от t по синус от s. Накрая косинус от t. Сега да определим детерминантата. Първо да помислим за компонента i. За компонента i по същество пренебрегваме този стълб – първия стълб и първия ред – след което намираме детерминантата на тази подматрица ето тук. Получаваме i по... това е равно на i по нещо. Ще поставя това нещо в скоби. Обикновено ще виждаш това нещо записано пред i, но могат да се разменят местата. Сега просто... Това ще стане i по нещо. Игнорираме този стълб и този ред. Тази детерминанта е косинус от t, по косинус от s, по косинус от t, което дава косинус на квадрат от t. Ще го напиша малко по-чисто. Косинус на квадрат от t по косинус от s. Сега от това трябва да извадим 0 по това. Но то ще бъде просто 0, така че ни остава само това. Сега да намерим j компонента. Вероятно си спомняш правилото на шахматната дъска, когато работим с матрици 3 по 3. Плюс, минус, плюс. Значи имаме минус – записваме минус j. Имаме отрицателен коефициент пред j, умножен по нещо. Игнорираме стълба и реда, в които се намира j. Имаме минус косинус от t, по синус от s, по косинус от t. Това ще ни даде минус косинус на квадрат от t, по синус от s. Само да проверя, че не допускам грешка. Игнорирам този стълб и този ред. Остава това по това. Да, всичко е така. Минус косинус, синус от s, минус 0 по това. Това цялото ще бъде нула, така че го игнорираме. Остава минус по минус, така че това дава плюс. Накрая следва k компонента. Знакът отново е положителен. Плюс, минус, плюс са знаците на коефициентите. Това е просто изчисляване на матрица 3 по 3. След това имаме плюс k по... тук става малко по-сложно, защото нямаме нула, което да опрости нещата. Игнорираме този ред и този стълб, намираме детерминантата на матрица 2 по 2. Имаме минус косинус от t, по синус от s, по минус синус от t, по синус от s. Това ще стане – минусите се компенсират. Значи това е косинус от t, по синус от t, по синус на квадрат от s. Сега от това ще извадим произведението на тези двете. Това произведение ще е отрицателно, а когато изваждаме отрицателно, това ще ни даде положително. Значи плюс и отново имаме косинус от t по синус от t, плюс косинус от t – ще се преместя малко надясно – плюс косинус от t по синус t отново. И това е по косинус на квадрат от s. Това изглежда прекалено дълго, но вече си проличава как може да се опрости. Ето къде ни помагат цветовете. Всъщност вече не мога да решавам задачи, ако не използвам различни пастелни цветове, защото това всъщност много улеснява нещата, за да си проличат моделите. Това, което можем да направим тук, е да изнесем пред скоби косинус от t по синус от t. Значи това е равно на косинус от t по синус от t, по синус на квадрат от s, плюс косинус на квадрат от s. Тук ще използваме определението за единична окръжност. Това ще е равно на 1. Това е значително опростяване. Сега получаваме, че векторното произведение е равно на... само ще препиша всичко това. Нашето векторно произведение на r с индекс s и r с индекс t ще бъде равно на косинус на квадрат от t, по косинус от s, по единичния вектор i, плюс косинус на квадрат от t, по синус от s, по единичния вектор j, плюс – тук ни остана само тази единица – косинус от t по синус от t по единичния вектор k. Това е чудесно, но още не сме готови. Трябва да намерим дължината на този вектор. Спомни си, че d сигма се опростява до дължината на това по ds, по dt. Да намерим дължината на това. Това е вече самата финална права, така че стискам палци да не съм допуснал някакви грешки дотук. Значи дължината на вектора, който е целият този израз, е равна на корен квадратен от... просто ще повдигна на квадрат всички тези членове и ще ги събера – корен квадратен от сумата на квадратите на тези членове. Квадратът на това е... косинус на квадрат на квадрат дава косинус на четвърта – косинус на четвърта от t, по косинус на квадрат от s, плюс косинус на четвърта от t по синус на квадрат от s – вече проличава зависимостта – синус на квадрат от s, плюс косинус на квадрат от t, по синус на квадрат от t. Първата формула, която виждам, е тази – това е тази първата част ето тук. Можем да изнесем пред скоби косинус на четвърта от t. После виждаме още веднъж същото нещо. Да го направим. Значи тези първите два члена са равни на косинус на четвърта от t по косинус на квадрат от s, плюс синус на квадрат от s. Което, както знаем, е равно на 1. Този целият израз се опростява до косинус на четвърта от t плюс косинус на квадрат от t, по синус на квадрат от t. Сега можем да опитаме да опростим това отново, защото този член и този член съдържат косинус на квадрат от t. Ще го изнесем пред скоби. Това ще бъде равно на... всичко, което правя тук, е под знака за корен. Значи това е равно на косинус на квадрат от t по косинус на квадрат от t. Когато изнесем пред скоби косинус на квадрат от t, остава просто плюс синус на квадрат от t. Това е чудесно, защото това отново се опростява до 1. Всичко това е под знака за корен. Може би ще продължа да използвам знака за корен, за да стане ясно, че всичко това все още е под знака за корен. Това е много удобно за нас, понеже корен квадратен от косинус на квадрат от t е просто косинус от t. Значи всичко това накрая се опростява до нещо много лесно. Всичко това просто е равно на косинус от t. Ако се върнем към това, което целяхме отначало – искахме да преработим d сигма. То е равно на косинус от t, ds, dt. Ще го запиша. Значи d сигма – и сега можем да използваме следващата част – d сигма е равно на косинус от t, ds, dt. Ще се видим в следващото видео.