Повърхностен интеграл - пример (част 3): На финалната права

След като изразихме d сигма, мисля, че вече сме много близко до изчисляването на самия интеграл. Едно нещо, което искам да подчертая, е това, което може би те тормози от края на предходното видео. В края на предишното видео коренувахме косинус на квадрат от t, и го представихме просто като косинус от t. Тук може би ще кажеш, че е възможно косинус от t да бъде отрицателно число. Ако го повдигнем на квадрат, знакът би станал положителен, а след това като коренуваме, получаваме положителната версия. Така че може би тук би било по-удачно да имаме абсолютната стойност на косинус от t. Причината да направим това е, че конкретно в това видео или в тази задача конкретно видяхме, че t приема само стойности в интервала от минус пи върху 2 до плюс пи върху 2. Следователно косинус от произволна стойност в този интервал е или в първи, или в четвърти квадрант. Следователно в нашия случай, за това t, eто тук, когато изчисляваме този повърхностен интеграл, косинусът винаги ще бъде положителен. Косинус от t винаги ще е положителен и в този случай не е нужно да записваме абсолютна стойност от косинус от t. Можем просто да запишем косинус от t, и се надявам, че този отговор те удовлетворява. Това се основава на начина, по който параметризирахме t. След като изяснихме това, сега да изчислим интеграла. Първоначалният интеграл – само да си припомним – беше двоен интеграл или по-точно повърхностен интеграл от х на квадрат, d сигма. Вече знаем колко е d сигма. Сега само ще запиша х на квадрат изразено чрез параметрите. Знаем как е параметризирано х. х, изразено чрез параметрите, ето тук е косинус... Това е параметризацията. (посочва на екрана) х е равно на косинус от t, по косинус от s. Ще го запиша – х от s и от t е равно на – вече забравих, имам ужасна памет – е равно на – трябва да се върнем към първоначалната параметризация, а не към тези частни производни. Косинус от t, косинус от s. Косинус от t, после косинус от s, и интегрираме това на квадрат. Да помислим малко върху това. Да видим тази част ето тук. Ако повдигнем на квадрат х, това ще ни даде косинус на квадрат от t, по косинус на квадрат от s. Това е частта с х на квадрат ето тук, а после имаме d сигма, което е ето това, което е по косинус... ще използвам същото зелено, не искам да те обърквам с различни нюанси на цветовете – по косинус от t, ds, dt. Сега, след като имаме това изразено чрез параметрите, диференциалите на параметрите, това по същество става двоен интеграл относно тези два параметъра, а хубавото е, че границите са много лесни по отношение на s и на t: s приема всички стойности в интервала от нула до две по пи, а t приема всички стойности в интервала от минус две по пи о, извинявам се, това е минус пи върху 2, и до плюс пи върху 2. Първо, начинът, по който е записано ето тук, означава, че първо ще интегрираме относно s, s е в интервала от нула до две по пи, а после t... искам само да поясня – това е s, а после t е в интервала от минус пи върху две до плюс пи върху две. Да видим можем ли да опростим малко това. Това е равно на двоен интеграл в същата област, предполагам, че мога да се изразя така – в същата област – и сега имаме това косинус на квадрат от t, а после имаме отново косинус от t ето тук, така че ще го напиша по следния начин: като косинус на трета степен от t, по косинус на квадрат от s, а после ds, ще използвам съответните цветове, ds, така че това е интегралът в частта ds, а после има dt. В този случай първо интегрираме относно s, обърни внимание на тези двете – частта с t и частта с s, те са умножени едно по друго, така че, когато интегрираме относно s, този косинус на трета степен от t всъщност е просто константа, можем да го изнесем пред скоби, и тогава ще получим нещо такова – ще то преработя – това може да стане интеграл от... t е в границите – ще препиша границите – от минус пи върху 2 до плюс пи върху 2, косинус на трета степен от t – просто изнасям това, и след това записвам частта с s, по интеграл с граници за s от 0 до две по пи, което ще запиша в синьо, косинус на квадрат от s, ds, и после имаме dt тук, като ще напиша dt в зелено, ще взема някакво зелено, dt. Сега тази външна сума, ако можем да я разглеждаме така, по същество я разглеждаме като произведение, на всичко това ето тук, тук не се съдържа t въобще, така че можем да го преработим – ще препиша всичко, което съдържа t, в зелено. Значи можем да преработим това като пи върху 2, от минус пи върху 2 до плюс пи върху 2, косинус на трета степен от t, dt, по интеграл... аз просто размествам членовете, предполагам, че може да се каже, че използвам съдружителното свойство или комутативното свойство – тези неща винаги ме объркват. По интеграл от нула до две по пи, от косинус на квадрат от s, ds. Не е задължително да се прави по този начин, можеш просто да го изчислиш, докато членовете са смесени ето така, но това ще ни помогне в работата, тригонометрията ще е малко по-лесна. Сега, за да изчислим тези два интеграла, трябва да използваме просто тригонометрия. Косинус на квадрат от s – можем да го представим като 1/2 плюс 1, всъщност ще направя това със същия син цвят, така че да не се объркваме. Това е същото нещо като 1/2 плюс 1/2 по косинус от 2 по s. косинус на трета степен от t, което е равно на... да видим, можем да изнесем пред скоби косинус от t ще го препиша... просто ще направя и двете едновременно, просто за да приключа с цялата тригонометрия. Това ето тук може да се представи като косинус от t по косинус на квадрат от t, а логиката е, че ако получим произведение на синус и на косинус, защото косинус е производната на синус, това е един вид интегриране със заместване, където разглеждаме това като функция и нейната производна, което можем да третираме един вид като променлива. Ето това се опитвам да постигна тук. Значи косинус на квадрат от t може да се представи като 1 минус синус на квадрат от t, значи това е косинус от t по (1 минус синус на квадрат от t). Можем да представим това като косинус от t минус косинус от t, по синус на квадрат от t, и можем да кажем, че това изглежда доста по-просто от това тук долу. Това е така, изглежда по-просто, обаче е по-лесно да намерим примитивната функция на това, по-лесно се намира примитивната функция на косинус от t, и даже ето тук имаме производната на синус от t, която е косинус от t, следователно можем да интегрираме със заместване, което вероятно можеш вече да правиш наум. Да изчислим всеки от тези интеграли. Този ще го препиша, за да не се объркваме, така че имаме интеграл от минус пи върху 2 до пи върху 2, от косинус от t минус косинус от t, по синус на квадрат от t, dt, по интеграл от нула до две по пи, от 1/2 плюс 1/2 косинус от 2 по s, ds. (на екрана Сал записва грешно dt) Сега можем да намерим примитивните функции. Примитивната функция на това ето тук ще бъде (посочва интеграла в светло зелено) примитивната функция на косинус от t, която е просто синус от t, а после ето тук, производната на синус от t е косинус от t. Така че можем, по същество... ако искаме да интегрираме със заместване, можем да кажем, че u e равно на синус от t, du е равно на косинус от t, dt, и всичко това правим наум, но това, което вероятно не можем да направим наум, е, че тук имаме производната на синус от t, така че можем да разглеждаме синус от t точно както t, или както х. Значи това ще бъде – все още имаме този знак минус, минус синус на трета степен, от t, върху 3, ако това беше просто t на квадрат, примитивната функция щеше да е t на трета степен, върху 3, но понеже сега имаме производна, можем да разглеждаме това по същия начин, което е все едно да направим интегриране със заместване наум. Значи това е това, и ще го изчислим от минус пи върху 2 до пи върху 2. Това е равно – когато изчисляваме за пи върху 2, синус от пи върху 2 е 1. Значи това е 1 минус 1/3, което дава просто 2/3. Всъщност ще го напиша по следния начин, не искам да те обърквам. После минус синус от минус пи върху 2, което е минус 1, минус, синус от минус пи върху 2 е минус 1 на трета степен, което е минус 1. Значи това е минус 1/3. Така че това е равно на 2/3, а после минус 1 плюс 1/3, което е минус 2/3, но отпред има знак минус, така че отново става плюс 2/3. Тази част е равна на 4/3. Тази част, всичко това, това е наистина самия финал, това е равно на 4/3. Сега тази част ето тук, примитивната функция на 1/2 е просто 1/2 по t, (грешно - 1/2 по s) примитивната функция на косинус от 2 по s – в идеалния случай трябва да имаме две отпред, затова ще го напиша, като искам да поясня, че когато намирам примитивната функция на косинус от 2 по s, в идеалния случай тук трябва да има 2, затова производната на 2 по s, така че можем да напишем отпред 2. Но тогава ще трябва да сложим и 1/2, така че да не се променя стойността, и, разбира се, имаме ds ето тук. Намирам просто общата примитивна функция, но след като я получим в този вид, тогава това е все едно намираме примитивната функция на косинус от s. Това става – примитивната функция на косинус е синус. Значи това става синус от s. Значи това тук е просто синус от s, а после имаме отпред 1/2, това е по 1/2. След това, разбира се, щяхме да имаме плюс константа, ако това беше неопределен интеграл, но сега работим с определен интеграл, така че няма защо да се тревожим за константата, така че просто примитивната функция на косинус от 2 по s, която е 1/2 по синус от s. Отпред имаме константа, 1/2 по 1/2 дава 1/4. Това става плюс 1/4 по синус от 2 по s. Това е примитивната функция, а сега трябва да я сметнем от нула до две по пи. И в двата случая това нещо е равно на нула. Синус от нула е нула, синус от 4 по пи е нула, така че получаваме 1/2 по 2 по пи, което е просто пи, плюс 0, защото синус от 4 по пи е нула, минус 1/2 по нула дава нула; 1/4 по синус от нула дава нула, значи накрая получаваме пи, цялото това нещо дава просто пи. И решихме интеграла. Намираме произведението на тези две неща, 4/3 по пи, и целият повърхностен интервал е равен на 4/3 по пи. Това е равно на 4/3 по пи, което е чудесно. Ако имаме сфера с радиус 1, лицето на нейната повърхнина... всъщност не, не трябва да казвам това, защото – трябва много да внимавам. Не трябваше да казвам това, защото това не се отнася само до радиус 1. Но поне изчислихме повърхностния интеграл, и смятам, че заслужаваме малко почивка.