If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Тройни интеграли

Тройните интеграли са аналог на двойните интеграли в три измерения. С тяхна помощ можем да сумираме безкрайно много безкрайно малки стойности, свързани с точки в тримерна област.

Преговор

Първо да се уверим, че разбираш добре двойните интеграли, преди да преминем напред. Основната трудност при разбирането на интегралите от по-висок клас е да се премине от понятието за единичен интеграл към двоен интеграл. След това, както в случая с тройните интеграли, почти цялото усилие е насочено към прилагането на същите принципи към случаи, които е по-трудно да бъдат визуализирани.

Основни идеи

Пример за тримерна област
  • Макар и да изглежда очевидно, нека заявим – тройните интеграли са точно като двойните интеграли, само че в три измерения. Общият им вид е:
RfdV
където
- $\blueE{R}$ е някаква област в тримерното пространство.
  • f(x;y;z) е някаква скаларна функция, чиито аргументи са точки в тримерно пространство.
  • dV е някакво малко парченце обем. С правоъгълни координати можем да го представим като dV=dxdydz.
  • По-точно това се изчислява като три последователни интеграла:
    z1z2y1(z)y2(z)x1(y;z)x2(y;z)f(x;y;z)dxТова е функция само от y и zdyТова е функция само от zdz
    Както и при двойните интеграли, границите на вътрешните интеграли могат да бъдат функции от външните променливи. Функциите на тези граници определят формата на участъка R.
  • Използвай троен интеграл винаги, когато искаш да разделиш на малки части тримерна област, да свържеш всяка област с някаква стойност и после да събереш всички тези стойности. Един случай, в който този подход е изключително подходящ е намирането на обема на тримерни области чрез събиране на миниатюрни обеми dV.
  • Както и при двойните интеграли най-трудната част е определянето на подходящи граници, които определят областта на интегриране. За да се справиш с това е нужна практика и желание да запретнеш ръкави и да се заемеш с работа.

Пример 1: Правоъгълна призма с нееднородна плътност

Представи си, че имаш метален блок с формата на правоъгълна призма с размери 3×2×5. Да предположим, че плътността на този блок е нееднородна. За да опишем плътността с функция на три променливи, първо да си представим блока в тримерно декартово пространство.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
По-конкретно този блок е разположен по такъв начин, че:
  • Единият му връх лежи в началото на координатната система.
  • Един от ръбовете с дължина 3 лежи върху положителната част на оста x.
  • Един от ръбовете с дължина 2 лежи върху положителната част на оста y.
  • Един от ръбовете с дължина 5 лежи върху положителната част на оста z.
Плътността във всяка точка на това тяло се описва от функцията
ρ(x;y;z)=x2y(cos(πz)+2)
(гръцката буква ρ, която се произнася "ро", обикновено се използва като променливата, която обозначава плътност в три измерения.)
Търси се: Каква е масата на целия блок?
Както и в другите задачи за интеграли започваме с това, че нарязваме тази област на много малки парченца. Но за разлика от обикновените интеграли, когато режем с помощта на права и получаваме парченца с дължина dx, или за разлика от двойните интеграли, където отрязваме двумерна област, за да получим парченца площ dA, сега всяко парченце е някакъв малък обем dV. Определено този малък обем може да се представи като произведение на три малки дължини, но в началото е удобно да разглеждаме просто един малък обем.
По-точно, можеш да си представиш, че раздробяваш този блок на малки парченца, като го разрязваме в три посоки:
  • Разрязваме блока с равнини, които съответстват на константна стойност на x.
  • Разрязваме го с равнини, които съответстват на константни стойности на y.
  • Разрязваме го с равнини, които съответстват на константни стойности на z.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Тъй като функцията ρ(x;y;z) е непрекъсната функция, когато получените парченца са достатъчно миниатюрни, можем да си представим, че плътността във всяко от тях е константа. Например за някакво много малко парченце около точката (2;1;3) плътността му клони към ρ(2;1;3)=(22)(1)(cos(π3)+2)=(4)(1)(1)=4. Следователно масата на тези малки парченца може да се запише като
ρ(x;y;z)плътностdVобем
Тук (x;y;z) е произволна точка вътре в парчето, а dV е обемът на парченцето (конкретните данни се описват с интеграла).
Всяко малко парченце е миниатюрна правоъгълна призма с размери на страните dx, dy и dz, малки промени в посоките x, y и z. Следователно малкият обем е равен на:
dV=dxdydz
Важно е винаги да си даваме сметка защо dV може да се представи по този начин, като разсъждаваме конкретно за миниатюрната правоъгълна призма и дължините на нейните страни. Това трябва да се има предвид, защото представянето на обема в други координатни системи, например цилиндрична или сферична, не е толкова лесно.
Когато ги сумираме, масата на едно от тези малки парченца е равно на:
ρ(x;y;z)dV=x2y(cos(πz)+2)плътностdxdydzобем
За да съберем всички тези малки маси съставяме три последователни интеграла, всеки от които интегрира в посоката на някоя от трите координатни оси.
050203x2y(cos(πz)+2)dxdydz
Обърни внимание, че границите на вътрешния интеграл съответстват на стойностите x, тъй като dx е преди dy и dz. По същия начин средния интеграл има граници стойностите на y, понеже dy е вторият диференциален член в списъка, а най-външният интеграл съответства на последния член dz.
Проверка на концепциите: Реши този троен интеграл. Като подсказка – можеш да запазиш нещата относително прости, ако изнесеш колкото се може повече членове извън вътрешните интеграли.
050203x2y(cos(πz)+2)dxdydz=

Докато правиш тези преобразувания, е много лесно да забравиш какво представляват те.
  • Можеш да си представяш най-вътрешния интеграл като събиране на малки маси по протежение на линиите, успоредни на оста x. Така получаваш някаква израз, съдържащ y и z, което е равносилно на това да кажем, че
    "В зависимост от избраните координати y и z на правата, която е успоредна на оста x, това е сумата на безкрайно малките маси по протежение на тази права."
  • Следващият интеграл спрямо y сумира безкрайно малките маси по линиите в посока y, като дава безкрайно малката маса на тънък лист, успореден на равнината xy. Тук ще получим израз, който съдържа само z, който ни казва, че
    "В зависимост от височината на листа над равнината xy, това е нашата безкрайно малка маса".
  • Накрая най-външният интеграл събира масите на всички тези листи, когато z приема стойности в интервала от 0 до 5. Получаваме някакво число (то вече не е нищожно малко), което е равно на масата на целия метален блок.

Пример 2: Изчисляване на обем с помощта на троен интеграл.

Знаеш как с двойните интеграли можем да изчисляваме обем под графиката на някаква двумерна функция. Обемът на повечето области с достатъчно находчивост вероятно може да се изчисли с някакъв двоен интеграл.
Спомни си, че двойните интеграли взимат малки парченца от равнината xy с площ dA, умножават всяка такава площ по височината на функцията в съответната точка, т.е. по f(x;y), при което се получава нищожно малък обем на една колонка над парченцето площ dA и под графиката на функцията.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
При тройните интеграли имаме по-добър инструмент, който може да раздроби цялата област и да събере малки парченца обем. Най-малкото това може да е много добра практика за определяне на границите на тройния интеграл, без да се интересуваме от самата функция вътре.
Например да разгледаме областта R, която е ограничена от следните две повърхнини:
  • параболоида z=x2+y2
  • равнината z=2(x+y+1)
Ето как изглеждат тези две повърхнини:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
А ето така изглежда тримерната област R, оградена между тези две повърхнини:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
За да намерим нейния обем, започваме с един прост на пръв поглед интеграл, който събира обемите на всички малки парченца, на които можем да раздробим тази област.
RdV
Цялата трудност тук е в определянето на границите на тези три интеграла, за да представим областта R.
От дефиницията на областта R имаме директно границите в посока z:
x2+y2z2(x+y+1)
Понеже границите на z са дадени като функции от x и от y, това означава, че най-вътрешният интеграл трябва да е спрямо z. Можем да запишем тройния интеграл по следния начин:
????x2+y22(x+y+1)dzнай-вътрешният интеграл е спрямо zdxdy
А как да определим границите на другите два интеграла? Докъде могат да стигнат x иd y? За целта ще анализираме къде се пресичат двете повърхнини, които дефинират областта R. Те се пресичат в затворен контур в тримерното пространство, който е показан по-долу като червена линия.
Сега да си представим, че проектираме цялата област R върху равнината xy, което начинът да се фокусираме само върху стойностите на x и на y, които имат значение.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Червената крива, която показва пресичането на повърхнините z=x2+y2 и z=2(x+y+1) се превръща в границата на областта в равнината xy, която ни интересува.
Определихме границата графично, а за да опишем аналитично тази крива трябва да приравним двете уравнения на повърхнините:
x2+y2=2(x+y+1)
Чрез допълване до точен квадрат на x и на y получаваме израз, който е по-лесен за геометрично представяне.
x2+y2=2(x+y+1)x22x+y22y=2x22x+1точен квадрат+y22y+1точен квадрат=2+2(x1)2+(y1)2=4уравнение на окръжност
Проверка на концепциите: Каква фигура описва това уравнение?
Избери един отговор:

За да опишем как се изменят x и y в тази област, можем да я разделим на вертикални или на хоризонтални ивици. Без някаква специална причина избирам хоризонталните ивици.
Виждаме, че във вертикална посока местоположението на ивиците се мени от 1 до 3, което са границите на y.
13??x2+y22(x+y+1)dzdxdy
Границите на x, които описват левия и десния край на всяка ивица от окръжността, са двете стойности на x, които са решения на уравнението на окръжността:
(x1)2+(y1)2=4(x1)2=4(y1)2(x1)=±4(y1)2x=1±4(y1)2
Това означава, че крайният ни интеграл изглежда по следния начин:
1314(y1)21+4(y1)2x2+y22(x+y+1)dzdxdy
Изглежда ти абсурдно? Така е в света на тройните интеграли.
Само да припомним, че е много важен редът, в който се записват диференциалните членове, който в този пример е dzdxdy. Границите на най-вътрешния интервал описват стойностите на z, така че dz е на първо място, следващият интеграл работи със стойностите на x, така че dx е на второ място, и т.н.
Основното умение, което трябва да придобиеш, е да съставяш интеграла, както показахме в примерите. След това решението е работа на компютрите. Но ако искаш да се упражниш да решиш някой от тези тройни интеграли, непременно опитай. Този конкретен интеграл много бързо се превърна в препъникамък.

Пример 3: Обем на област с форма на конус

Задача: Да се състави троен интеграл, с който да се изчисли обема на областта R, дефинирана по следния начин:
  • y0
  • y2x2+z2
Ето как изглежда тази област:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
"Един момент,"
представям си, че казваш –
"Аз вече знам как да изчислявам обем на конус!"
Това е чудесно, но да видиш как става с помощта на троен интеграл е добър начин да се упражниш с тройните интеграли.
Проверка на концепциите: Областта R е дефинирана чрез границите на y, така че кой от следните начини е правилният начин да се започне съставянето на интеграла?
Избери един отговор:

Проверка на концепциите: Дадени са две условия, които дефинират нашата област: y0 и y2x2+z2, а как да намерим стойностите на x и на z во областта R?
Избери един отговор:

Проверка на концепциите: Въз основа на отговора на предишния въпрос определи кое от следните твърдения описва частта от равнината xz, в която се намират всички стойности на x и на z, които трябва да покрие тройния интеграл.
Избери един отговор:

Проверка на концепциите: Кой от следните интеграли е правилният начин да се състави интеграл за намиране на обема?
Избери един отговор:

Обобщение

  • Тройните интеграли се записват в общи вид по следния начин:
RfdV
където
 - $\blueE{R}$ е някаква област в тримерно пространство.
  • f(x;y;z) е някаква скаларна функция, чиито аргументи са точки в тримерно пространство.
  • dV е някакво малко парченце обем. С правоъгълни координати можем да го представим като dV=dxdydz.
  • По-точно това се изчислява като три последователни интеграла:
    z1z2y1(z)y2(z)x1(y;z)x2(y;z)f(x;y;z)dxТова е функция само от y и zdyТова е функция само от zdz
    Както при двойните интеграли, и тук границите на вътрешните интеграли трябва да са функции от външните за тях променливи.
  • Използвай троен интеграл винаги, когато искаш да разделиш на малки части тримерна област, да свържеш всяка област с някаква стойност и после да събереш всички тези стойности. Един случай, в който този подход е изключително подходящ е намирането на обема на тримерни области чрез събиране на миниатюрни обеми dV.
  • Както и при двойните интеграли най-трудната част е определянето на подходящи граници, които определят областта на интегриране. За да се справиш с това е нужна практика и желание да запретнеш ръкави и да се заемеш с работа.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.