Тройни интеграли

Преговор

• Двойни интеграли за изчисляване на величини, различни от обем

Основни идеи

• Макар и да изглежда очевидно, нека заявим – тройните интеграли са точно като двойните интеграли, само че в три измерения. Общият им вид е:

• $f(x; y; z)$f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis е някаква скаларна функция, чиито аргументи са точки в тримерно пространство.
• $\redE{dV}$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 е някакво малко парченце обем. С правоъгълни координати можем да го представим като $\redE{dV} = dx\,dy\,dz$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z.

• По-точно това се изчислява като три последователни интеграла:

  $\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y; z)}^{x_2(y; z)} f(x; y; z) \,dx }^{\text{Това е функция само от $y$ и $z$}}\,dy }_{\text{Това е функция само от $z$}}\;dz \end{aligned}$

  Както и при двойните интеграли, границите на вътрешните интеграли могат да бъдат функции от външните променливи. Функциите на тези граници определят формата на участъка $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99.
• Използвай троен интеграл винаги, когато искаш да разделиш на малки части тримерна област, да свържеш всяка област с някаква стойност и после да събереш всички тези стойности. Един случай, в който този подход е изключително подходящ е намирането на обема на тримерни области чрез събиране на миниатюрни обеми $dV$d, V.
• Както и при двойните интеграли най-трудната част е определянето на подходящи граници, които определят областта на интегриране. За да се справиш с това е нужна практика и желание да запретнеш ръкави и да се заемеш с работа.

Пример 1: Правоъгълна призма с нееднородна плътност

• Единият му връх лежи в началото на координатната система.
• Един от ръбовете с дължина $3$3 лежи върху положителната част на оста $x$x.
• Един от ръбовете с дължина $2$2 лежи върху положителната част на оста $y$y.
• Един от ръбовете с дължина $5$5 лежи върху положителната част на оста $z$z.

Търси се: Каква е масата на целия блок?

• Разрязваме блока с равнини, които съответстват на константна стойност на $\blueE{x}$start color #0c7f99, x, end color #0c7f99.
• Разрязваме го с равнини, които съответстват на константни стойности на $\redE{y}$start color #bc2612, y, end color #bc2612.
• Разрязваме го с равнини, които съответстват на константни стойности на $\greenE{z}$start color #0d923f, z, end color #0d923f.

• Можеш да си представяш най-вътрешния интеграл като събиране на малки маси по протежение на линиите, успоредни на оста $x$x. Така получаваш някаква израз, съдържащ $y$y и $z$z, което е равносилно на това да кажем, че

  "В зависимост от избраните координати $y$y и $z$z на правата, която е успоредна на оста $x$x, това е сумата на безкрайно малките маси по протежение на тази права."

• Следващият интеграл спрямо $y$y сумира безкрайно малките маси по линиите в посока $y$y, като дава безкрайно малката маса на тънък лист, успореден на равнината $xy$x, y. Тук ще получим израз, който съдържа само $z$z, който ни казва, че

  "В зависимост от височината на листа над равнината $xy$x, y, това е нашата безкрайно малка маса".

• Накрая най-външният интеграл събира масите на всички тези листи, когато $z$z приема стойности в интервала от $0$0 до $5$5. Получаваме някакво число (то вече не е нищожно малко), което е равно на масата на целия метален блок.

Пример 2: Изчисляване на обем с помощта на троен интеграл.

• параболоида $z = x^2 + y^2$z, equals, x, squared, plus, y, squared
• равнината $z = 2(x + y + 1)$z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  Окръжност с център в точка $(1; 1)$left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis и радиус $2$2 единици

  А

  Окръжност с център в точка $(1; 1)$left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis и радиус $2$2 единици
• (Избор Б)  

  Окръжност с център в точка $(-1; -1)$left parenthesis, minus, 1, ;, minus, 1, right parenthesis и радиус $4$4 единици

  Б

  Окръжност с център в точка $(-1; -1)$left parenthesis, minus, 1, ;, minus, 1, right parenthesis и радиус $4$4 единици

Провери

[Отговор]

Пример 3: Обем на област с форма на конус

"Един момент,"

"Аз вече знам как да изчислявам обем на конус!"

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \,dx \,dz \,dy \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \,dx \,dz \,dy \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \,dx \,dy \,dz \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \,dx \,dy \,dz \end{aligned}$
• (Избор В)  

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  В

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  За произволна точка $(x; y; z)$left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis от областта $R$R координатите $x$x и $z$z трябва да удовлетворяват уравнението $0 = 2 - \sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root

  А

  За произволна точка $(x; y; z)$left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis от областта $R$R координатите $x$x и $z$z трябва да удовлетворяват уравнението $0 = 2 - \sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root
• (Избор Б)  

  Нека $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript да е множеството от всички точки $(x; z)$left parenthesis, x, ;, z, right parenthesis, такива че $(x; y; z)$left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis да е точка от областта $R$R за някаква стойност на $y$y. $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript е ограничена от кривата, съответстваща на уравнението $0 = 2-\sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root

  Б

  Нека $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript да е множеството от всички точки $(x; z)$left parenthesis, x, ;, z, right parenthesis, такива че $(x; y; z)$left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis да е точка от областта $R$R за някаква стойност на $y$y. $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript е ограничена от кривата, съответстваща на уравнението $0 = 2-\sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root

Провери

[Отговор]

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  Окръжност с радиус $2$2.

  А

  Окръжност с радиус $2$2.
• (Избор Б)  

  Окръжност с радиус $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root.

  Б

  Окръжност с радиус $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root.
• (Избор В)  

  Област в окръжност с радиус $2$2.

  В

  Област в окръжност с радиус $2$2.
• (Избор Г)  

  Област в окръжност с радиус $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root

  Г

  Област в окръжност с радиус $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root

Провери

[Отговор]

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$
• (Избор В)  

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

  В

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$
• (Избор Г)  

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

  Г

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Обобщение

• Тройните интеграли се записват в общи вид по следния начин:

• $f(x; y; z)$f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis е някаква скаларна функция, чиито аргументи са точки в тримерно пространство.
• $\redE{dV}$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 е някакво малко парченце обем. С правоъгълни координати можем да го представим като $\redE{dV} = dx\,dy\,dz$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z.

• По-точно това се изчислява като три последователни интеграла:

  $\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y; z)}^{x_2(y; z)} f(x; y; z) \,dx }^{\text{Това е функция само от $y$ и $z$}}\,dy }_{\text{Това е функция само от $z$}}\;dz \end{aligned}$

  Както при двойните интеграли, и тук границите на вътрешните интеграли трябва да са функции от външните за тях променливи.
• Използвай троен интеграл винаги, когато искаш да разделиш на малки части тримерна област, да свържеш всяка област с някаква стойност и после да събереш всички тези стойности. Един случай, в който този подход е изключително подходящ е намирането на обема на тримерни области чрез събиране на миниатюрни обеми $dV$d, V.
• Както и при двойните интеграли най-трудната част е определянето на подходящи граници, които определят областта на интегриране. За да се справиш с това е нужна практика и желание да запретнеш ръкави и да се заемеш с работа.