Тройни интеграли - 1

Ако искаме да намерим обема на един куб, като размерите на куба – да кажем, че х е в интервала х по-голямо или равно на 0, х по-малко или равно на... не знам, да кажем 3. Да кажем, че у е по-голямо или равно на 0, и у е по-малко от или равно на 4. След това да кажем, че z е по-голямо от или равно на 0, и по-малко или равно на 2. С помощта на елементарна геометрия можем да изчислим... просто умножаваме широчината по височината, по дължината, и получаваме обема на куба. Но ще използвам този пример, само за да добиеш представа какво представлява тройния интеграл, как е свързан с двойния интеграл, а в следващото видео може да разгледаме някой по-сложен пример. Сега просто ще начертая този обем (това тяло). Това е оста х, това е оста z, това е оста у. х, у, z. Значи х е в интервала между 0 и 3. Значи това е х = 0. Това х е... да видим – 1, 2, 3. у е между 0 и 4. 1, 2, 3, 4. Равнината ху изглежда ето така. Това е един вид основата на тялото, която изглежда ето така. После z е между 0 и 2. Значи 0 е в равнината ху, а после 1, 2. Това ще бъде горната стена. Може би ще я направя с малко по-различен цвят. Това е в равнината xz. Тук ще имаме граница, а после това идва ето така тук. Тук имаме граница, ето така. Тук имаме граница. Значи искаме да изчислим обема на този паралелепипед. Можеш да го направиш. Можеш да кажеш, че дължината е 3, широчината е 4, тази площ е 12 и я умножаваме по височината. 12 по 2 дава 24. Можеш да кажеш, че това са 24 кубични единици, няма значение с какви мерни единици работим. Но сега да съставим троен интеграл. Какво означава троен интеграл? Това, което можем да направим, е да вземем обема на едно много малко... не искам да казвам площ – един много малък обем. Да кажем, че искаме да вземем обема на това малко кубче, което е някъде тук в интересуващия ни обем. Ще стане по-ясно, или започва да става много по-полезно, когато имаме променящи се граници и повърхнини и криви като граници. Но нека да кажем, че искаме да изчислим обема на това малко кубче ето тук. Това е моето кубче. То е някъде в този по-голям куб, тази по-голяма правоъгълна призма, както искаш го наречи. Колко е обемът на този куб? Да кажем, че широчината е dy. Значи разстоянието ето тук е dy. Височината е dx. О, извинявам се, височината е dz, нали? Така както го начертах, z е нагоре и надолу. Това е дължината dx. Това е dx. Това е dz. Това е dy. Можеш да кажеш, че този малък обем в по-големия обем... можем да означим това като dv, което е един вид диференциал на обема. А това ще е равно – можеш да кажеш, че това е просто широчината по дължината, по височината. dx по dy по dz. Като можем да разменяме местата на тези членове, нали? Защото умножението притежава свойството асоциативност, така че редът на умножение няма значение. Сега какво можем да направим? Можем да вземем интеграл. Всички интеграли ни помагат да намираме безкрайни суми на безкрайно малки величини като dz, dx и dy и т.н. Значи можем да вземем това кубче и първо да намерим сумата с други кубчета в посока z, например. Можем да съберем обема на това кубче с обемите на други кубчета нагоре и надолу по тази ос z, така че ще получим обема на една колона. Как ще изглежда това? Тъй като се движим нагоре и надолу, и сумираме всички кубчета в посока z. Това ни дава интеграл... Коя е най-ниската стойност на z? Това е z равно на 0. Коя е горната граница? Все едно, че взимаме... продължаваме да добавяме кубчета, и продължаваме, и стигаме до горната границата. Каква е горната граница? Тя е z равно на 2. Разбира се, сумирали сме всички тези dv. Първо ще напиша dz. Просто за да ни напомня, че първо ще интегрираме по отношение на z. После можем да интегрираме по у. Накрая ще интегрираме по х. Значи този интеграл, тази стойност, която съм записал в него, ни дава обема на колоната за всяко дадено х и у. Това е функция от х и от у, но понеже използваме константи, всъщност то ще бъде константа. Това ще бъде константна стойност на обема на някоя от тези колони. Значи по същество ще бъде 2 по dy, dх. Понеже височината на колоните е 2, а това са широчината и дължината – dy и dx. Така че, за да намеря общия обем... сега намерихме височината на колоната. След това можем да вземем тези колони и да ги сумираме в посока у. Ако ги сумираме в посока у, това означава, че имаме друг интеграл на тази сума в посока у. Тук у е от 0 до колко? у е от 0 до 4. Записах този интеграл прекалено наляво, изглежда странно. Но мисля, че ме разбираш. От у равно на 0 до у равно на 4. Това ни дава обема на един пласт, или лист, който е успореден на равнината zy. След това трябва само да съберем всички такива пластове или листи по посока х, и получаваме обема на цялата фигура. Значи събираме тези листове, което е сумата по посока х. Тук имаме от х равно на 0 до х равно на 3. Да изчислим това е наистина много лесно. Първо интегрираме относно z. Тук нямаме записано нищо, но приемаме, че това е 1, нали? Защото dz по dy по dx е равно на 1 по dz по dy по dx. Каква е стойността на този интеграл? Примитивната функция на 1 относно z е просто z, нали? Защото производната на z е 1. Изчисляваме интеграла от 2 до 0. Тогава получаваме 2 минус 0. Значи това дава 2. Получаваме 2, а после изчисляваме интеграл от това от у = 0 до у = 4, и накрая ни остава само х. От х = 0 до х = 3, dx. Обърни внимание, че когато просто интегрирахме относно z, получихме двоен интеграл. После този двоен интеграл е същия интеграл, който решихме в предишното видео за двойни интеграли, където просто казахме, че z е функция от х и от у. Така че можем да запишем, че z е функция от х и от у, и винаги е равна на 2. Това е константна функция. Нейната стойност е независима от х и от у. Но ако дефинираме z по този начин, ако искаме да намерим обема под тази повърхнина, която е с уравнение z равно на 2 – това е повърхнината z = 2, и получаваме ето това накрая. (посочва на екрана) Виждаш, че това, което правим с тройния интеграл, не е нещо особено различно. Може би се чудиш защо изобщо правим това. Ще ти покажа това след секунда. Но за да изчислим това, можем да намерим примитивната функция на това относно у, която е 2 по у... ще се преместя малко. Получаваме 2 по у и го изчисляваме за 4 и за 0. После получаваме 2 по 4. Това е 8 минус 0. След което интегрираме това относно х, в границите от 0 до 3. Значи това е 8 по х в границите от 0 до 3. Значи това е равно на 24 кубични единици. Очевидният въпрос е за какво ни е нужен тройният интеграл. Когато имаме някаква константна стойност в рамките на обема, това не е особено полезно. Можем да използваме и двоен интеграл, но ако, например, не искаме да изчислим обема на това тяло ето тук, а ако искаме да намерим масата на тялото. Но освен това този обем – тази част от пространството, или както искаш го наречи – неговата маса не е равномерно разпределена. Ако масата беше еднородна, тогава можем просто да умножим еднородната плътност по обема, и да получим масата. Но да кажем, че плътността е неравномерно разпределена. Може би това е някакъв газ, или даже може да съдържа различни съставки. Да кажем, че плътността е променлива функция от променливите х, у и z. Да кажем, че плътността – това ро, тази буква тук, която изглежда като р, с която обикновено във физиката се бележи плътност – плътността е функция от х, от у и от z. За да го опростим, нека това да стане х по у, по z. За да намерим масата на един малък обем, трябва да умножим обема по плътността, нали? Защото плътността – единиците за плътност са килограм на кубичен метър. Значи ако умножим плътността по кубичните метри, получаваме килограми. Можем да кажем, че масата – ще си измисля някакво означение – d маса масата не е функция. Не искам да слагам скоби, защото така ще изглежда като функция. Значи една много малка, диференциална, маса, е равна на плътността в дадена точка, която е с координати (х; у; z), по обема на тази много малка маса. И този обем на тази малка маса можем да запишем като dv. Знаем, че dv е равно на широчината, по височината, по дължината. dv не е задължително винаги да е dx по dy, по dz. Ако използваме координати, например ако използваме полярни координати, това може да е малко по-различно. Евентуално ще разгледаме и този случай. Но ако искаме да намерим масата, понеже използваме правоъгълни координати, тогава това е функцията на плътността в дадената точка, по диференциалния обем. Значи по dx, dy, dz. Разбира се, тук можем да разменим местата. Така че, когато търсим обема – когато искаме да изчислим масата, което ще направим в следващото видео, ние по същество интегрираме тази функция. Точно обратното на просто 1 върху z, у и х. Ще видим това в следващото видео. Както ще се убедиш, това включва предимно намиране на примитивни функции и недопускане на грешки. Ще се видим в следващото видео.