Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Тройни интеграли - 2

Използване на троен интеграл за намиране на масата на обем с променлива плътност. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

- В предишния клип имахме правоъгълник и използвахме троен интеграл, за да му намерим обема И знам, че вероятно сте си помислили : можех просто да използвам знанията си по геометрия и да умножа височината по ширината по дълбочната И това е вярно, защото функцията беше с константни стойности И след като пресметнахме, след като интегрирахме по отношение на z, получихме двоен интеграл и това е същото, с което се занимавахме в предишните няколко клипа, когато учихме за обем под повърхност Но в края на клипа добавихме нещо ново Казахме, добре, можехте да намерите обема в тази правоъгълна общност доста лесно, като използвате методи, които вече са ви познати Но какво ще стане, ако целта ни не беше да открием обема ? Например, ако целта ни беше да открием масата на обема, или дори материята, чийто обем намерихме - дали става дума за газообразно вещество или някакво твърдо вещество, чиято плътност не е константа Интересно е да се опитаме да намерим масата - Тук дефинирахме функция на плътността И ро, този, знак, който прилича на r, но с изкривена долна част - това ни показва плътността при всяка дадена точка В края на предишния клип си казахме, е, каква е масата ? Масата е равна на плътността по обема Можете да видите това и по друг начин Плътността и същото като масата, разделена на обема Значи, масата около много, малка точка (и нарекохме това маса d), диференциалът на масата, ще е равен на плътността при тази точка или приблизителната плътност в точно тази точка, по обемния диференциал около тази точка, по обема на този малък куб И после, както видяхме в последния клип, ако използваме координатите на правоъгълник, този обемен диференциал ще бъде просто разстоянието x по разстоянието y по разстоянието z Значи, функцията на плътността ни е дефинирана като x, y и z и искахме да открием масата на този обем И да казам, че стойностите на нашите координати x, y и z са в метри и, че плътността ни ь, ъ и з са в метри и, че плътността ни В този случай, отговорът ни ще бъде в килограми И това са традиционните мерителни единици по Международната система Нека открием масата на този обен с променлива плътност Тук горе имаме същия интеграл - Значи, диференциалът на масата ще бъде тази стойност Нека запишем това - Това е x – искам да съм сигурен, че няма да ми свърши мястото - xyz по... и първо ще интегрирам по отношение на dz Но можете и да обърнете реда Може да направим това в следващия клип Първо ще направим dz, после dy и накрая dx - Още веднъж, това е само масата за всеки малък диференциал от обема И ако интегрираме при z, първо, къде ни е z ? Границите на z бяха 0 до 2 - Границите на y бяха 0 до 4 - И x ни беше от 0 до 3 - Как да изчислим това ? Ами, каква е примитивната функция... първо интегрираме по отношение на z Значи, каква е примитивната функция на xyz по отношение към z ? Да видим Това е просто константа, значи ще бъде xyz на квадрат върху 2 Нали ? Така И сега изчисляваме това от 2 до 0 И ще получим... знам, че ще ми свърши мястото Ще получите 2 на квадрат, което е 4, делено на 2, което е 2 Значи, имаме 2xy минус 0 Когато пресментем този интеграл, имаме 2xy и сега ни остават още два интеграла Не съм записал другите два интеграла Ще запиша това Сега ни остават два интеграла Остават ни dy и dx y е от 0 до 4, а x е от 0 до 3 Определено ми свършва мястото И сега взимате примитивната функция на това по отношение към y Така, каква е примитивната функция по отношение към y ? Нека изтрия някои неща, за да не стане много разхвърляно - Дадоха ми разумната идея да се придвижа надолу но, за съжаление, този път не беше достатъчно Мисля, че това мога да го изтрия Опа, изтрих малко и от това Но знаете какво изтрих Добре, да вземем примитивната функция по отношение към y Ще започна тук горе, където имам място Така, примитивната функция на 2xy по отношение на y е y на квадрат върху 2, двойките се анулират И получаваме xy на квадрат - И y е от 0 до 4 И сега ни остава да направим външния интеграл x е от 0 до 3 dx И когато y е равно на 4, получаваме 16x - И когато y е 0, това цялото е 0 Значи, имаме 16x интегрирано от 0 до 3 dx На какво е равно това ? на 8x на квадрат И изчисляваме от 0 до 3 Когато е 3 – 8 по 9 е 72 И 0 по 8 е 0 Сега, масата на фугрурата...обемът, който намерихме преди, беше 24 кубически метра Това вече го изтрих, но ако сте гледали предишния клип, там говорихме за това Масата е 72 килограма Открихме това като интегрирахме тази функция за плътност , която има 3 променливи Или, в триизмерното пространство можем да разгледаме това като скаларно поле, нали ? За всяка точка имаме стойност, но нямаме посока И тази стойност ни е плътността Но ние интегрирахме скаларносто поле в този обем Това е новото умение, което получихме от тройния интеграл В сладващия клип ще ви покажа как се процедира с по-сложни тройни интеграли Сега ще ви кажа, кое е истински трудното при тройните интеграли и предполагам, че учителят ви по висша математика също прави това Става дума за ситуацията, когато правите тройни интеграли и не става дума за някоя проста фигура като тази, ако искате да изчислите чрез математически анализ троeн интегнал, който има по-сложни граници или, да речем, по сложна функция за плътността Интегралът става много оплетен много бързо Често е много трудно или отнема много време да използвате традиционните си умения по математически анализ Ще видите, че на много изпити по вис ша математика от вас се очаква просто да основете тройния интеграл Доверяват ви се, че вече сте се занимавали с много интеграли и че можете да вземете примитивната функция И понякога, ако наистина искат да ви дадат нещо по-трудно, ще ви кажат да обърнете реда Знаете, че това е интегралът когато изчисляваме по отношение на з, после на y и после на x Ще ви кажат да препишете този интеграл като обърнете реда И ние ще направим това в следващия път До скоро -