Тройни интеграли - 3

Да решим още една задача с троен интеграл, като този път по същество няма да решаваме троен интеграл. Този път ще дефинираме тройния интеграл. Ще имаме нещо подобно на това, което видяхме във второто видео, където намирахме масата с помощта на функция на плътността. Но в това видео искам да ти покажа как се определят границите, когато тялото е малко по-сложно. Ако ни остане време, ще опитаме да сменим реда на интегриране. Да кажем, че имаме една повърхнина – ще измисля нещо – 2 по х плюс 3 по z плюс у равно на 6. Ще начертая повърхнината. Тя изглежда приблизително така. Това е оста х. Това е оста z. Това е оста у. Чертая ги. х, у и z. Интересува ни повърхнината, която е приблизително положителен октант, защото, когато работим в три измерения, вместо четири квадранта имаме осем октанта. Трябва ни октант, в който всички стойности на х, у и z са положителни, както това, което чертая тук. Да видим, ще начертая... колко е пресечната точка с оста х? Когато у и z са 0 – ще запиша тук, това е пресечната точка с оста х. 2 по х е равно на 6, значи х е равно на 3. Значи 1, 2 и 3. Това е пресечната точка с оста х. Пресечната точка с оста у е когато х и z са нули, т.е. точката лежи на оста у – у ще бъде 6. Имаме 1, 2, 3, 4, 5, 6 – това е пресечната точка с оста у. И накрая пресечната точка с оста z, когато х и у са нули, намираме се върху оста z. 3 по z е равно на 6. Значи z е равно на 2, броим 1, 2. Повърхнината, която ни интересува, ще изглежда ето така – това е една наклонена повърхнина. Ще изглежда приблизително така. Това е положителният октант. Това е повърхнината, дефинирана от тази функция. Да кажем, че търсим обема – ще направя задачата малко по-сложна. Можем да кажем, че това е обемът между повърхнината и равнината ху. Но аз малко ще усложня примера. Да кажем, че обемът е над тази повърхнина и повърхнината z равно на 2. Обемът, който ни интересува, ще изглежда приблизително така. Да видим ще успея ли да го начертая. Качваме се с 2 нагоре – ще начертая горната част с различен цвят, нека да е в зелено. Значи това е в равнината zy. След това другият ръб ще изглежда ето така. Искам да се уверя, че го мога да го начертая – това е най-трудната част. Нагоре с 2 единици – това е в равнината xz. След това тук свързваме тези двете. Значи този зелен триъгълник, това е част от равнината с уравнение z = 2. Сега можем... Обемът, който ни интересува, е обемът между горната равнина в зелено и тази наклонена равнина, дефинирана с уравнението 2 по х плюс 3 по z плюс у равно на 6. Значи тази област между тях. Да видя мога ли да го направя малко по-ясно. Защото визуализацията, както казах, е най-трудната част. Тук имаме един вид предна стена, а после тук е задната стена, която е тази черна стена тук, а след това има друга стена ето тук. Основата ще я направя в цикламено и е ето тази равнина. Основата е тази равнина – това е долната част. Може би не трябваше да го правя така претрупано, защото ще трябва да чертая и малки обеми dv тук. Но както и да е, ще се постарая. За да намерим обема – всъщност, понеже използваме троен интеграл и искаме да покажем, че ни е нужен троен интеграл, вместо да определяме обема, нека да изчислим масата, когато имаме нееднородна плътност. Да кажем, че плътността на този обем, който ни интересува, функцията на плътността е функция от х, у и z. Може да е всякаква. Сега не това е целта на нашия урок. Но ще дам някакво определение за функцията на плътността. Да кажем, че е х на квадрат, по у, по z. Целта ни е просто да съставим интегралите. Първото нещо, което правя, е да визуализирам – ще направя тук един малък куб в интересуващия ни обем. Ако имам... ще използвам ярък цвят, така че да можеш да го виждаш – имаме един куб – може би ще го направя с кафяво, то не е толкова ярко, но е достатъчно различно от другите цветове. Ако имаме един малък куб в този обем, който ни интересува, това е малък куб, който ще разглеждаме като dv. Обемът на този куб е един вид диференциален обем. Той е равен на dx... извинявам се, това е dy. Ще го направя с жълто, или даже още по-добре със зелено. Значи dy е ето това. dy по dx, по dz. Това е обемът на този малък куб. Ако искам да намеря масата на това малко кубче, ще умножа функцията на плътността в тази точка по dv. Значи масата, която можем да означим с dm – диференциалът на масата ще е равен на това по това. Значи х на квадрат по у по z, dy, dx, dz. Обикновено можем да разменяме тази последователност, в зависимост от това относно какво ще интегрираме първо, така че да не се объркваме. Да направим това. Да съставим този интеграл. Да го направим по традиционния начин. При последните тройни интеграли, които разглеждахме, първо интегрирахме относно z. Да го направим. Значи ще интегрираме първо по отношение на z. Взимаме този куб и ще интегрираме сумата от всички кубове по оста z. Първо разглеждаме посоката нагоре и надолу, нали? Когато направим това, каква е долната граница? Когато сумираме всичко нагоре и надолу, тези кубове ни дават колони, нали? Какво е най-отдолу на колоната, долната граница? Коя е повърхнината? Това е повърхнината, дефинирана ето тук. Ако искаме да изразим долната граница чрез z, просто решаваме това, за да намерим z. Ще извадим. И какво получаваме? Ако искам да изразя границата чрез z, получаваме 3 по z равно на 6 минус 2 по х, минус у. Значи z е равно на 2 минус 2/3 по х, минус у върху 3. Това е същото като това. Но когато разглеждаме z, когато дефинираме явно z, това е начинът да го получим чрез алгебрични преобразувания. Значи долната граница – можеш да си я представиш, нали? Долните части на тези колони се променят нагоре и надолу. Искаме да сумираме обемите на всички тези колони които са по посока надолу и нагоре, нали? Представи си, че сумираме обемите им. Долната граница е тази повърхнина. z е равно на 2 минус 2/3 по х, минус у върху 3. А коя е горната граница? Горната част на колоните ще бъде тази равнина в зелено, а какво казахме, че е уравнението на тази равнина? Тя е z равно на 2. Това е тази равнина, тази повърхнина ето тук. z равно на 2. Какъв е обемът на тази колона? Той е равен на функцията на плътността – х на квадрат, по у, по z, по диференциала на обема, само че ние интегрираме първо по отношение на z. Ще запиша тук dz. Не знам, да кажем, че искаме да интегрираме относно... да кажем, че после ще интегрираме относно х. В последните няколко урока интегрирахме след това по отношение на у. Сега да изберем относно х, само за да покажем, че е без значение. Ще интегрираме относно х. Сега имаме тези колони, нали? Когато интегрираме относно z, получаваме обема на всяка от тези колони, където горната граница е тази равнина. Да видим ще успея ли да го начертая прилично. Горната граница е тази равнина. Долната граница е тази повърхнина. Сега ще интегрираме относно х. Ще съберем всички тези dx. Коя е долната граница за х? Тази повърхнина е дефинирана за... обемът, който търсим, е дефиниран чак до х = 0. Ако се объркваш, а тук не е толкова трудно да се обърка човек, когато си представя тези триизмерни обекти, така че, можем да кажем, че вече интегрирахме относно z. Двете променливи, които ни останаха, са х и у. Ще начертая проекцията на нашия обем в равнината ху, и как ще изглежда тя? Ще начертая проекцията, защото това реално много ще опрости нещата. Ако завъртя това, ако вземем това у и го завъртим ето така, а х ето така, ще получим един вид традиционния начин, който учихме, когато учихме алгебра в началото. Това е равнината ху. Това е оста х, това е оста у. А какво е тази точка? Или тази точка? Какво е това? Това е х равно на 3. Значи 1, 2 и 3. Това е х равно на 3. Тази точка ето тук е у равно на 6. Значи 1, 2, 3, 4, 5, 6. В равнината ху, един вид дефиниционното множество – можеш да го разглеждаш така – изглежда ето така. Един начин да разсъждаваме е да намерим тези колони – интегрирахме нагоре-надолу по оста z. Но когато разглеждаме това, като гледаме отгоре право надолу, това е равнината ху, в която всяка от тези колони ще изглежда по този начин, където колоните излизат от екрана ти в посока z. Но основата на всяка колона е dx в тази посока и dy нагоре и надолу, нали? Решихме сега да интегрираме по отношение на х. Ще съберем обемите на всички тези колони в посока х, в хоризонтална посока. Въпросът беше коя е долната граница в посока х. Тя е х равно на 0. Ако тук имаше права, тогава това щеше да е тази права вероятно като функция от у, да, точно като функция от у. Значи долната ни граница е х равно на 0. Коя е горната граница? Виждам, че вече времето много напредва. Горната граница е тази зависимост, но тя трябва да е изразена чрез х, нали? Значи е тази зависимост. Можеш да го разглеждаш все едно казваме ,че ако z е равно на нула, тогава какво е уравнението на тази права? Какво е уравнението на тази права? То е z равно на 0. Имаме 2 по х плюс у равно на 6. Искаме да изразим зависимостта относно х. Получаваме 2 по х равно на 6, минус у, като оттук х е равно на 3 минус у върху 2. Накрая ще интегрираме относно у. Това е лесната част. Интегрирахме нагоре-надолу, за да получим колона. Това са основите на колоната, така че интегрирахме в посока х. Сега просто отиваме нагоре-надолу по отношение на у, или в равнината ху по отношение на у. Каква е долната граница за у? Тя е нула. у е равно на 0. Горната граница е у равно на 6. И сме готови. Съставихме интеграл и сега е въпрос просто да се реши математически. Но ми свърши времето, а не искам това видео да получи отказ за публикуване. Затова спирам дотук. Ще се видим в следващото видео.