If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Троен интеграл с цилиндрични координати

Как можем да съставим троен интеграл, когато функцията и границите са представени чрез цилиндрични координати.

Преговор

Основни идеи

  • Основното, което трябва да се знае за тройните интеграли с цилиндрични координати, е това, че dV, което представлява един миниатюрен обем, е равно на
    dV=rdθdrdz
    (Не забравяй да включиш r)
  • Използването на цилиндрични координати може значително да опрости един троен интеграл, когато областта, върху която интегрираме, има някаква ротационна симетрия спрямо оста z.

Единственото правило

Когато решаваме двойни интеграли в полярни координати, единственото нещо, което трябва да помним, е да изразим миниатюрната площ dA чрез dr и dθ
Rf(r;θ)dA=Rf(r;θ)rdθdr
Обърни внимание, че променливата r е част от израза. Изразяването на миниатюрния обем dV в тройния интеграл с цилиндрични координати по същество е същото, освен това, че сега присъства член dz:
Rf(r;θ;z)dV=Rf(r;θ;z)rdθdrdz
Запомни, че причината това малко r да присъства в израза чрез полярни координати е това, че един малък "правоъгълник", разрязан от радиални и сферични линии, има дължини на страните rdθ и dr.
Основното, което трябва да запомним тук, е, че θ не е единица за дължина, така че dθ не представлява малка дължина по същия начин като dr и dz. Това са радиани, които трябва да умножим по разстоянието r от началото на координатната система, за да получим дължина.

Пример 1: Обем на сфера

Задача: Да се намери обемът на сфера с радиус 1, като се използва троен интеграл с цилиндрични координати.
За да си улесним работата, да поставим центъра на сферата в началото на координатната система.
Да означим сферата като S и да запишем общия троен интеграл за намиране на обем на сфера.
SdV=Srdθdrdz
Както винаги, трудната част е определянето на границите на интеграла, което е много по-лесно с цилиндрични координати, отколкото с декартови. По-точно r и θ ще се намират в единичния диск, което е много лесно за описване с полярни координати:
Проверка на концепциите: Кои от следните граници за r и θ трябва да използваме, когато интегрираме по единичния диск?
Избери един отговор:

Тъй като границите на z ще зависят от r, избираме най-вътрешния интеграл да бъде спрямо z, докато двата външни интеграла ще бъдат спрямо r и θ. Когато запишем казаното математически, получаваме:
02π01??rdzdrdθ
Спомни си, че е много важно редът на dz, dr и dθ да съответства на подреждането на интегралите.
Следващият въпрос е малко по-сложен.
Проверка на концепциите: За дадена стойност на r кои от следните варианти съдържат правилния интервал за стойностите на z?
Избери един отговор:

Прилагаме тези граници в най-вътрешния интеграл и получаваме нещо, с което можем да работим.
Проверка на концепциите: Реши този троен интеграл.
02π011r21r2rdzdrdθ=

Така намерихме обема на единичната сфера!
Нещо повече, този инструмент прави нещо повече от това да намираме обема на сферата. Можем, например, да интегрираме функция на три променливи f(r;θ;z) вътре в сферата,
02π011r21r2f(r;θ;z)rdzdrdθ
Трудната част отново е намирането на границите, но изчисляването на интегралите (независимо дали на ръка или с компютър) сега е различно.

Пример 2: Интегриране върху област с формата на парче торта

За този пример интегрираме в област, която изглежда като парче торта:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
В задачата тази област може да е описана с помощта на списък от характеристики:
  • x0
  • y0
  • z0
  • yx
  • x2+y24
  • zyx
Този път няма да намираме само обемът на тази област. Вместо това искаме да интегрираме цялата тримерна функция:
f(x;y;z)=zx2y2
Това може да ти се стори сякаш няма връзка с интегрирането с цилиндрични координати, тъй като всичко тук ни е дадено с декартови координати. Естествено, можеш да съставиш троен интеграл, като използваш декартови координати, ако искаш. Но има един факт, който предполага, че може значително да си облекчим живота, ако първо преобразуваме в цилиндрични координати:
  • Изразът x2+y2 се появява във функцията f, както и в описанието на границите. Това ни подсказва, че е налице ротационна симетрия спрямо оста z, което означава, че е много удачно да използваме цилиндрични координати.
Да разгледаме интервалите на стойностите на x и на y:
  • x0
  • y0
  • yx
  • x2+y24
Описанието с два интеграла спрямо dx и dy е наистина трудно. Обаче с полярни координати става много лесно:
  • 0θπ4
  • 0r2
Това означава, че границите на интегралите спрямо dθ и dr ще са константи. Какво по-хубаво от това!
Относно другия критерий, например
  • zyx
Тъй като преминаването към полярни координати включва свойството
tg(θ)=yx
Границите на z могат да се превърнат в
  • 0ztg(θ)
Когато използваме всичко това, тройният интеграл ще изглежда по следния начин:
0π/4020tg(θ)fdV
Обърни внимание колко прости са границите. Ако не се притесняваш от малко повече усилия, можеш да опиташ да определиш границите на съответния троен интеграл с декартови координати, за да видиш колко страшни могат да бъдат нещата.
Сега записваме функцията f с полярни координати.
f(x;y;z)=zx2y2f(r;θ;z)=zr2
И използваме основното от тази статия, което е начинът да представим dV с полярни координати:
dV=rdθdrdz
Като използваме всичко дотук, получаваме нашия троен интеграл във вид, в който е напълно решим.
Допълнително упражнение: Реши следния интеграл:
0π/4020tg(θ)(zr2)rdzdrdθ=

Обобщение

  • Основното, което трябва да се знае за тройните интеграли с цилиндрични координати, е това, че dV, което представлява един миниатюрен обем, е равно на
    dV=rdθdrdz
    (Не забравяй да включиш r)
  • Използването на цилиндрични координати може значително да опрости един троен интеграл, когато областта, върху която интегрираме, има някаква ротационна симетрия спрямо оста z.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.