If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 9: Полярни, сферични и цилиндрични координати
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Полярни, сферични и цилиндрични координати
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Троен интеграл с цилиндрични координати

Класна стая на Google
Как можем да съставим троен интеграл, когато функцията и границите са представени чрез цилиндрични координати.

Преговор

Основни идеи

  • Основното, което трябва да се знае за тройните интеграли с цилиндрични координати, е това, че start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, което представлява един миниатюрен обем, е равно на
    start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r, d, z
    (Не забравяй да включиш r)
  • Използването на цилиндрични координати може значително да опрости един троен интеграл, когато областта, върху която интегрираме, има някаква ротационна симетрия спрямо оста z.

Единственото правило

Когато решаваме двойни интеграли в полярни координати, единственото нещо, което трябва да помним, е да изразим миниатюрната площ start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 чрез d, r и d, theta
∬Rf(r;θ) dA=∬Rf(r;θ) r dθ dr\begin{aligned} \iint_R f(r; \theta)\,\redE{dA} = \iint_R f(r; \theta)\,\redE{r\,d\theta\,dr} \end{aligned}
Обърни внимание, че променливата r е част от израза. Изразяването на миниатюрния обем d, V в тройния интеграл с цилиндрични координати по същество е същото, освен това, че сега присъства член d, z:
∭Rf(r;θ;z) dV=∭Rf(r;θ;z) r dθ dr dz\begin{aligned} \iiint_R f(r; \theta; z)\,\redE{dV} = \iiint_R f(r; \theta; z)\,\redE{r\,d\theta\,dr\,dz} \end{aligned}
Запомни, че причината това малко r да присъства в израза чрез полярни координати е това, че един малък "правоъгълник", разрязан от радиални и сферични линии, има дължини на страните r, d, theta и d, r.
Основното, което трябва да запомним тук, е, че theta не е единица за дължина, така че d, theta не представлява малка дължина по същия начин като d, r и d, z. Това са радиани, които трябва да умножим по разстоянието r от началото на координатната система, за да получим дължина.

Пример 1: Обем на сфера

Задача: Да се намери обемът на сфера с радиус 1, като се използва троен интеграл с цилиндрични координати.
За да си улесним работата, да поставим центъра на сферата в началото на координатната система.
Да означим сферата като S и да запишем общия троен интеграл за намиране на обем на сфера.
∭SdV=∭Sr dθ dr dz\begin{aligned} \iiint_S \redE{dV} = \iiint_S \redE{r\,d\theta\,dr\,dz} \end{aligned}
Както винаги, трудната част е определянето на границите на интеграла, което е много по-лесно с цилиндрични координати, отколкото с декартови. По-точно r и theta ще се намират в единичния диск, което е много лесно за описване с полярни координати:
Проверка на концепциите: Кои от следните граници за r и theta трябва да използваме, когато интегрираме по единичния диск?
Избери един отговор:

Тъй като границите на z ще зависят от r, избираме най-вътрешния интеграл да бъде спрямо z, докато двата външни интеграла ще бъдат спрямо r и theta. Когато запишем казаното математически, получаваме:
∫02π∫01∫??r dz dr dθ\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{?}^{?} r \,dz \,dr \,d\theta \end{aligned}
Спомни си, че е много важно редът на d, z, d, r и d, theta да съответства на подреждането на интегралите.
Следващият въпрос е малко по-сложен.
Проверка на концепциите: За дадена стойност на r кои от следните варианти съдържат правилния интервал за стойностите на z?
Избери един отговор:

Прилагаме тези граници в най-вътрешния интеграл и получаваме нещо, с което можем да работим.
Проверка на концепциите: Реши този троен интеграл.
∫02π∫01∫−1−r21−r2r dz dr dθ=\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} r \,dz \,dr \,d\theta = \end{aligned}

Така намерихме обема на единичната сфера!
Нещо повече, този инструмент прави нещо повече от това да намираме обема на сферата. Можем, например, да интегрираме функция на три променливи f, left parenthesis, r, ;, theta, ;, z, right parenthesis вътре в сферата,
∫02π∫01∫−1−r21−r2f(r;θ;z)r dz dr dθ\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} f(r; \theta; z) r \,dz \,dr \,d\theta \end{aligned}
Трудната част отново е намирането на границите, но изчисляването на интегралите (независимо дали на ръка или с компютър) сега е различно.

Пример 2: Интегриране върху област с формата на парче торта

За този пример интегрираме в област, която изглежда като парче торта:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
В задачата тази област може да е описана с помощта на списък от характеристики:
  • x, is greater than or equal to, 0
  • y, is greater than or equal to, 0
  • z, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, x
  • x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 4
  • z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Този път няма да намираме само обемът на тази област. Вместо това искаме да интегрираме цялата тримерна функция:
f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, z, minus, x, squared, minus, y, squared
Това може да ти се стори сякаш няма връзка с интегрирането с цилиндрични координати, тъй като всичко тук ни е дадено с декартови координати. Естествено, можеш да съставиш троен интеграл, като използваш декартови координати, ако искаш. Но има един факт, който предполага, че може значително да си облекчим живота, ако първо преобразуваме в цилиндрични координати:
  • Изразът x, squared, plus, y, squared се появява във функцията f, както и в описанието на границите. Това ни подсказва, че е налице ротационна симетрия спрямо оста z, което означава, че е много удачно да използваме цилиндрични координати.
Да разгледаме интервалите на стойностите на x и на y:
  • x, is greater than or equal to, 0
  • y, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, x
  • x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 4
Описанието с два интеграла спрямо d, x и d, y е наистина трудно. Обаче с полярни координати става много лесно:
  • 0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction
  • 0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, 2
Това означава, че границите на интегралите спрямо d, theta и d, r ще са константи. Какво по-хубаво от това!
Относно другия критерий, например
  • z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Тъй като преминаването към полярни координати включва свойството
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Границите на z могат да се превърнат в
  • 0, is less than or equal to, z, is less than or equal to, t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis
Когато използваме всичко това, тройният интеграл ще изглежда по следния начин:
∫0π/4∫02∫0tg⁡(θ)f dV\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \int_0^{\operatorname{tg}(\theta)} f\,\redE{dV} \end{aligned}
Обърни внимание колко прости са границите. Ако не се притесняваш от малко повече усилия, можеш да опиташ да определиш границите на съответния троен интеграл с декартови координати, за да видиш колко страшни могат да бъдат нещата.
Сега записваме функцията f с полярни координати.
f(x;y;z)=z−x2−y2⇓f(r;θ;z)=z−r2\begin{aligned} f(x; y; z) &= z - x^2 - y^2 \\ &\Downarrow \\ f(r; \theta; z) &= z - r^2 \end{aligned}
И използваме основното от тази статия, което е начинът да представим start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 с полярни координати:
start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r, d, z
Като използваме всичко дотук, получаваме нашия троен интеграл във вид, в който е напълно решим.
Допълнително упражнение: Реши следния интеграл:
∫0π/4∫02∫0tg⁡(θ)(z−r2)r dz dr dθ=\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \int_0^{\operatorname{tg}(\theta)} (z - r^2)r \,dz \,dr \,d\theta = \end{aligned}

Обобщение

  • Основното, което трябва да се знае за тройните интеграли с цилиндрични координати, е това, че start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, което представлява един миниатюрен обем, е равно на
    start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, start color #bc2612, r, d, theta, d, r, d, z, end color #bc2612
    (Не забравяй да включиш r)
  • Използването на цилиндрични координати може значително да опрости един троен интеграл, когато областта, върху която интегрираме, има някаква ротационна симетрия спрямо оста z.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.