Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 9: Полярни, сферични и цилиндрични координати

Троен интеграл със сферични координати

Как можем да съставим троен интеграл, когато функцията и границите са представени чрез сферични координати.

Преговор

Тройни интеграли
Сферични координати:

Различните автори на учебници и сборници използват различни означения за сферичните координати. В тази статия ние ще използваме описаното по-долу определение. (В описанията радиална линия означава права линия, която свързва точката, чиито координати разглеждаме, и началото на координатната система).

r указва дължината на радиалната линия.
theta е ъгълът спрямо оста z. По-конкретно, ако проектирате радиалната линия в равнината x, y, theta е ъгълът, който линията сключва с оста x.
\phi е ъгълът между радиалната линия и оста z.

Следващите две не са задължителни, но може да ни помогнат за разгрявка и упражнение по темата.

Основни идеи

При решаване на троен интеграл, ако избереш да опишеш функцията и границите на областта със сферични координати left parenthesis, r, ;, \phi, ;, theta, right parenthesis, малкият обем d, V може да се изрази по следния начин:

\begin{aligned} &\quad \iiint_R f(r; \phi; \theta)\,dV \\\\ &= \iiint_R f(r; \phi; \theta) \,(\blueE{dr}) (\greenE{r\,d\phi})(\goldE{r\sin(\phi)\,d\theta})\\\\ &= \iiint_R f(r; \phi; \theta) \,\redE{r^2 \sin(\phi)}\,d\theta\,d\phi\,dr \end{aligned}

Ключовото нещо, което трябва да се помни (или да се изведе отново), е start color #bc2612, r, squared, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612

Преминаването към сферични координати може да направи тройните интеграли по-лесни за решаване, когато областта, върху която се интегрира, притежава някаква сферична симетрия.

Представяне на малки обеми в сферични координати

Както обсъдихме във въвеждащата статия за тройни интеграли, когато интегрираме върху тримерна област R, е полезно да си представим, че я разделяме на безкрайно много безкрайно малки парченца, всяко от които е с обем d, V.

Когато се ползват декартови координати, тези малки парченца се разглеждат като правоъгълни блокчета. При работа със сферични координати можем да си представим, че тези малки блокчета са леко извити и "прилепват" към сферата. Ще начертая една уголемена версия на такова парченце, за да се види добре извивката. Ето как изглежда едно подобно парченце в три измерения:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Причината за тази форма е, че всяка стена представлява константна стойност на някоя от сферичните координати:

Един двойка стени съответстват на константна стойност на start color #0c7f99, r, end color #0c7f99 (те са леко извити, все едно прилепват по сфера).
Един двойка стени съответстват на константна стойност на start color #a75a05, \phi, end color #a75a05.
Един двойка стени съответстват на константна стойност на start color #0d923f, theta, end color #0d923f.

Защо е важно това? Защото интегралите от по-висок ред действат по такъв начин, все едно отделните интеграли в тях третират всички координати освен една като константи. Следователно, като разглеждаме как интегралът от по-висок ред събира всички части наедно, тогава е много логично да разглеждаме парченца, чийто обем може да се изрази като промяна само на отделни координати. Това ще стане ясно по-нататък в статията.

Когато размерите на тези блокчета клонят към нула, кривината става толкова пренебрежима, че можем да ги разглеждаме като правоъгълни призми. Единият ръб съответства на малка промяна на разстоянието от началото на координатната система start color #0c7f99, d, r, end color #0c7f99:

Другите два ръба, които съответстват на малки промени на другите две координати – start color #0d923f, d, theta, end color #0d923f и start color #a75a05, d, \phi, end color #a75a05 . Понеже start color #0d923f, theta, end color #0d923f и start color #a75a05, \phi, end color #a75a05 се измерват в радиани, които не са мерна единица за дължина, тези величини трябва да се умножат по единица мярка за дължина, за да представляват дължините на ръбовете на правоъгълната призма.

Например ръбът, който съответства на промяната на start color #a75a05, \phi, end color #a75a05 е с дължина start color #a75a05, r, d, \phi, end color #a75a05:

Ръбът, представляващ промяната на дължината на start color #0d923f, theta, end color #0d923f е малко по-трудно да се изрази. Той е част от някаква окръжност, която е с център оста z и нейният радиус не е start color #0c7f99, r, end color #0c7f99, а е start color #0c7f99, r, end color #0c7f99, sine, left parenthesis, start color #a75a05, \phi, end color #a75a05, right parenthesis. Това означава, че дължината на дъгата поради малка промяна на start color #0d923f, theta, end color #0d923f е start color #0c7f99, r, end color #0c7f99, sine, left parenthesis, start color #a75a05, \phi, end color #a75a05, right parenthesis, start color #0d923f, d, theta, end color #0d923f.

Отначало това може да ти се стори малко объркващо, но си заслужава да помислиш върху него, за да го разбереш.

Като използваме всичко това, можем да изразим обема на "правоъгълното" блокче чрез start color #0c7f99, d, r, end color #0c7f99, start color #a75a05, d, \phi, end color #a75a05 и start color #0d923f, d, theta, end color #0d923f като произведение на дължините на ръбовете му.

d, V, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, d, r, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, start color #a75a05, r, d, \phi, end color #a75a05, right parenthesis, left parenthesis, start color #0d923f, r, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, d, theta, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start color #bc2612, r, squared, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612, d, r, d, \phi, d, theta

С други думи, когато имаме някакъв троен интеграл

$\begin{aligned} \iiint_R f \,dV \end{aligned}$

и изберем да изразим границите и самата функция чрез сферични координати, не можем просто да заместим d, V с d, r, d, \phi, d, theta. Трябва да помним да добавим и члена start color #bc2612, r, squared, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612:

$\begin{aligned} \iiint_R f(r; \theta; \phi) \: \redE{r^2 \sin(\phi)}\,dr\,d\phi\,d\theta \end{aligned}$

Лично аз никога не мога да си спомня как точно да изразя d, V.

"Дали беше sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, или беше sine, left parenthesis, theta, right parenthesis... а дали беше r, или r, squared...?"

Тогава аз правя извеждането, което показах по-горе, като си задавам въпроса какви промени в дължините на дъгите се получават в резултат на промените на \phi и theta.

Пример 1: Обем на сфера (преговор)

Това е възможно най-лесният пример за решаване на троен интеграл в сферични координати, но нека да изчислим обем на сфера.

Въпрос: Колко е обемът на сфера с радиус R?

Поставяме центъра на сферата в началото на координатната система.

Ако решаваме този интеграл с използване на декартови координати, ще попаднем в една много неприятна ситуация, в която границите на вътрешните интеграли са функции от външните променливи. Сферичните координати обаче са много подходящи за описание на реални сфери, чиито граници са константи.

Проверка на концепциите: Кои от следните граници за координатите r, \phi и theta точно описват всички точки в сфера с радиус R (без да обикаляме сферата многократно)?

(Избор А)
0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, R
0, is less than or equal to, \phi, is less than or equal to, 2, pi
0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, 2, pi
(Избор Б)
0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, R
0, is less than or equal to, \phi, is less than or equal to, pi
0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, 2, pi
(Избор В)
0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, R
0, is less than or equal to, \phi, is less than or equal to, pi
0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, pi

[Отговор]

Като използваме тези граници заедно с факта, че

d, V, equals, start color #bc2612, r, squared, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, d, r, d, \phi, d, theta, end color #bc2612

можем да съставим интеграла по следния начин:

\begin{aligned} \iiint_{\text{сфера}} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin(\phi) \,dr \,d\phi \,d\theta \end{aligned}

Проверка на концепциите: Разгледай този интеграл и оцени колко по-приятен е в сравнение с другите трудни тройни интеграли, които може би си срещал/а.

\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin(\phi) \,dr \,d\phi \,d\theta = \end{aligned}

[Отговор]

Ако се осмеляваш, опитай да решиш същия интеграл с декартови координати. Това е истински кошмар! Така че стигаме до един важен извод:

Основен извод Ако интегрираме върху област с някаква сферична симетрия, преминаването към сферични координати може да направи границите на интегриране много по-приятни за работа.

Пример 2: Интегриране на функция

Интегрирай функцията

f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y, plus, 3, z

в областта на първи октант, където

x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, is less than or equal to, 3

[Какво означава "първи октант"?]

Стъпка 1: Изрази областта със сферични координати.

Как разбираме, че трябва да преминем към сферични координати? Можем да решим този интеграл и с декартови координати, нали? Цилиндричните координати също ще свършат работа.

Фактът, че границата включва условието x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, is less than or equal to, 3 е описание на разстоянието между точките от нашата област и началото на координатната система. Тъй като сферичната координата r изразява прецизно тази идея, можем спокойно да опишем границата на областта с помощта на r, което ще направи границите и на трите интеграла по-прости, отколкото ако са изразени чрез x, y и z.

Това условие става

\begin{aligned} x^2 + y^2 + z^2 &\le 3 \\\\ r^2 &\le 3 \\\\ r &\le \sqrt{3\,} \end{aligned}

Проверка на концепцията: А какво можем да кажем за theta and \phi? Какви граници трябва да поставим на тези две координати, за да ограничим интегрирането до първи октант?

is less than or equal to, theta, is less than or equal to

is less than or equal to, \phi, is less than or equal to

[Отговор]

Стъпка 2: Изрази функцията със сферични координати

Сега да преобразуваме функцията

f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y, plus, 3, z

в сферични координати. За целта ще преобразуваме всяка отделна декартова координата.

x, equals, r, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis
y, equals, r, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis
z, equals, r, cosine, left parenthesis, \phi, right parenthesis

Като ги заместим, получаваме

$\begin{aligned} f(x; y; z) &= x + 2y + 3z \\\\ &= r\sin(\phi)\cos(\theta) + 2r\sin(\phi)\sin(\theta) + 3r\cos(\phi) \\\\ &= r\Big(\sin(\phi)\cos(\theta)+2\sin(\phi)\sin(\theta)+3\cos(\phi)\big) \\\\ \end{aligned}$

Може да ти се стори, че това прави нещата по-сложни, отколкото бяха с декартови координати. Така е. Но когато решаваме тройни интеграли по-сложните функции по-лесно ни дават граници, които са константи.

Стъпка 3: Изчислете тройния интеграл

Проверка на концепциите: Като обобщим предходните две стъпки, кой е интегралът, който трябва да решим?

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^3 r\Big( \sin(\phi)\cos(\theta)+ 2\sin(\phi)\sin(\theta)+ 3\cos(\phi) \Big) r^2\sin(\phi) \,dr \,d\theta \,d\phi \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{3}} r\Big( \sin(\phi)\cos(\theta)+ 2\sin(\phi)\sin(\theta)+ 3\cos(\phi) \Big) r^2\sin(\phi) \,dr \,d\theta \,d\phi \end{aligned}$
(Избор В)
$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{3}} r\Big( \sin(\phi)\cos(\theta)+ 2\sin(\phi)\sin(\theta)+ 3\cos(\phi) \Big) \,dr \,d\theta \,d\phi \end{aligned}$

За самостоятелна работа: Реши този интеграл!

Интегралът от предишния въпрос:

[Отговор]

Обобщение

При решаване на троен интеграл, ако избереш да опишеш функцията и границите на областта със сферични координати left parenthesis, r, ;, \phi, ;, theta, right parenthesis, малкият обем d, V може да се изрази по следния начин:
$\begin{aligned} &\quad \iiint_R f(r; \phi; \theta)\,dV \\\\ &= \iiint_R f(r; \phi; \theta) \,(\blueE{dr}) (\greenE{r\,d\phi})(\goldE{r\sin(\phi)\,d\theta})\\\\ &= \iiint_R f(r; \phi; \theta) \,\redE{r^2 \sin(\phi)}\,d\theta\,d\phi\,dr \end{aligned}$
Ключовото нещо, което трябва да се помни (или да се изведе отново), е start color #bc2612, r, squared, sine, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612
Преминаването към сферични координати може да направи тройните интеграли по-лесни за решаване, когато областта, върху която се интегрира, притежава някаква сферична симетрия.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.