If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Троен интеграл със сферични координати

Как можем да съставим троен интеграл, когато функцията и границите са представени чрез сферични координати.

Преговор

Различните автори на учебници и сборници използват различни означения за сферичните координати. В тази статия ние ще използваме описаното по-долу определение. (В описанията радиална линия означава права линия, която свързва точката, чиито координати разглеждаме, и началото на координатната система).
  • r указва дължината на радиалната линия.
  • θ е ъгълът спрямо оста z. По-конкретно, ако проектирате радиалната линия в равнината xy, θ е ъгълът, който линията сключва с оста x.
  • ϕ е ъгълът между радиалната линия и оста z.
Следващите две не са задължителни, но може да ни помогнат за разгрявка и упражнение по темата.

Основни идеи

  • При решаване на троен интеграл, ако избереш да опишеш функцията и границите на областта със сферични координати (r;ϕ;θ), малкият обем dV може да се изрази по следния начин:
Rf(r;ϕ;θ)dV=Rf(r;ϕ;θ)(dr)(rdϕ)(rsin(ϕ)dθ)=Rf(r;ϕ;θ)r2sin(ϕ)dθdϕdr
Ключовото нещо, което трябва да се помни (или да се изведе отново), е r2sin(ϕ)
  • Преминаването към сферични координати може да направи тройните интеграли по-лесни за решаване, когато областта, върху която се интегрира, притежава някаква сферична симетрия.

Представяне на малки обеми в сферични координати

Както обсъдихме във въвеждащата статия за тройни интеграли, когато интегрираме върху тримерна област R, е полезно да си представим, че я разделяме на безкрайно много безкрайно малки парченца, всяко от които е с обем dV.
Когато се ползват декартови координати, тези малки парченца се разглеждат като правоъгълни блокчета. При работа със сферични координати можем да си представим, че тези малки блокчета са леко извити и "прилепват" към сферата. Ще начертая една уголемена версия на такова парченце, за да се види добре извивката. Ето как изглежда едно подобно парченце в три измерения:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Причината за тази форма е, че всяка стена представлява константна стойност на някоя от сферичните координати:
  • Един двойка стени съответстват на константна стойност на r (те са леко извити, все едно прилепват по сфера).
  • Един двойка стени съответстват на константна стойност на ϕ.
  • Един двойка стени съответстват на константна стойност на θ.
Защо е важно това? Защото интегралите от по-висок ред действат по такъв начин, все едно отделните интеграли в тях третират всички координати освен една като константи. Следователно, като разглеждаме как интегралът от по-висок ред събира всички части наедно, тогава е много логично да разглеждаме парченца, чийто обем може да се изрази като промяна само на отделни координати. Това ще стане ясно по-нататък в статията.
Когато размерите на тези блокчета клонят към нула, кривината става толкова пренебрежима, че можем да ги разглеждаме като правоъгълни призми. Единият ръб съответства на малка промяна на разстоянието от началото на координатната система dr:
Другите два ръба, които съответстват на малки промени на другите две координати – dθ и dϕ . Понеже θ и ϕ се измерват в радиани, които не са мерна единица за дължина, тези величини трябва да се умножат по единица мярка за дължина, за да представляват дължините на ръбовете на правоъгълната призма.
Например ръбът, който съответства на промяната на ϕ е с дължина rdϕ:
Ръбът, представляващ промяната на дължината на θ е малко по-трудно да се изрази. Той е част от някаква окръжност, която е с център оста z и нейният радиус не е r, а е rsin(ϕ). Това означава, че дължината на дъгата поради малка промяна на θ е rsin(ϕ)dθ.
Отначало това може да ти се стори малко объркващо, но си заслужава да помислиш върху него, за да го разбереш.
Като използваме всичко това, можем да изразим обема на "правоъгълното" блокче чрез dr, dϕ и dθ като произведение на дължините на ръбовете му.
dV=(dr)(rdϕ)(rsin(ϕ)dθ)=r2sin(ϕ)drdϕdθ
С други думи, когато имаме някакъв троен интеграл
RfdV
и изберем да изразим границите и самата функция чрез сферични координати, не можем просто да заместим dV с drdϕdθ. Трябва да помним да добавим и члена r2sin(ϕ):
Rf(r;θ;ϕ)r2sin(ϕ)drdϕdθ
Лично аз никога не мога да си спомня как точно да изразя dV.
"Дали беше sin(ϕ), или беше sin(θ)... а дали беше r, или r2...?"
Тогава аз правя извеждането, което показах по-горе, като си задавам въпроса какви промени в дължините на дъгите се получават в резултат на промените на ϕ и θ.

Пример 1: Обем на сфера (преговор)

Това е възможно най-лесният пример за решаване на троен интеграл в сферични координати, но нека да изчислим обем на сфера.
Въпрос: Колко е обемът на сфера с радиус R?
Поставяме центъра на сферата в началото на координатната система.
Ако решаваме този интеграл с използване на декартови координати, ще попаднем в една много неприятна ситуация, в която границите на вътрешните интеграли са функции от външните променливи. Сферичните координати обаче са много подходящи за описание на реални сфери, чиито граници са константи.
Проверка на концепциите: Кои от следните граници за координатите r, ϕ и θ точно описват всички точки в сфера с радиус R (без да обикаляме сферата многократно)?
Избери един отговор:

Като използваме тези граници заедно с факта, че
dV=r2sin(ϕ)drdϕdθ
можем да съставим интеграла по следния начин:
сфераdV=02π0π0Rr2sin(ϕ)drdϕdθ
Проверка на концепциите: Разгледай този интеграл и оцени колко по-приятен е в сравнение с другите трудни тройни интеграли, които може би си срещал/а.
02π0π0Rr2sin(ϕ)drdϕdθ=

Ако се осмеляваш, опитай да решиш същия интеграл с декартови координати. Това е истински кошмар! Така че стигаме до един важен извод:
Основен извод Ако интегрираме върху област с някаква сферична симетрия, преминаването към сферични координати може да направи границите на интегриране много по-приятни за работа.

Пример 2: Интегриране на функция

Интегрирай функцията
f(x;y;z)=x+2y+3z
в областта на първи октант, където
x2+y2+z23

Стъпка 1: Изрази областта със сферични координати.

Как разбираме, че трябва да преминем към сферични координати? Можем да решим този интеграл и с декартови координати, нали? Цилиндричните координати също ще свършат работа.
Фактът, че границата включва условието x2+y2+z23 е описание на разстоянието между точките от нашата област и началото на координатната система. Тъй като сферичната координата r изразява прецизно тази идея, можем спокойно да опишем границата на областта с помощта на r, което ще направи границите и на трите интеграла по-прости, отколкото ако са изразени чрез x, y и z.
Това условие става
x2+y2+z23r23r3
Проверка на концепцията: А какво можем да кажем за θ and ϕ? Какви граници трябва да поставим на тези две координати, за да ограничим интегрирането до първи октант?
θ
ϕ

Стъпка 2: Изрази функцията със сферични координати

Сега да преобразуваме функцията
f(x;y;z)=x+2y+3z
в сферични координати. За целта ще преобразуваме всяка отделна декартова координата.
  • x=rsin(ϕ)cos(θ)
  • y=rsin(ϕ)sin(θ)
  • z=rcos(ϕ)
Като ги заместим, получаваме
f(x;y;z)=x+2y+3z=rsin(ϕ)cos(θ)+2rsin(ϕ)sin(θ)+3rcos(ϕ)=r(sin(ϕ)cos(θ)+2sin(ϕ)sin(θ)+3cos(ϕ))
Може да ти се стори, че това прави нещата по-сложни, отколкото бяха с декартови координати. Така е. Но когато решаваме тройни интеграли по-сложните функции по-лесно ни дават граници, които са константи.

Стъпка 3: Изчислете тройния интеграл

Проверка на концепциите: Като обобщим предходните две стъпки, кой е интегралът, който трябва да решим?
Избери един отговор:

За самостоятелна работа: Реши този интеграл!
Интегралът от предишния въпрос:

Обобщение

  • При решаване на троен интеграл, ако избереш да опишеш функцията и границите на областта със сферични координати (r;ϕ;θ), малкият обем dV може да се изрази по следния начин:
    Rf(r;ϕ;θ)dV=Rf(r;ϕ;θ)(dr)(rdϕ)(rsin(ϕ)dθ)=Rf(r;ϕ;θ)r2sin(ϕ)dθdϕdr
    Ключовото нещо, което трябва да се помни (или да се изведе отново), е r2sin(ϕ)
  • Преминаването към сферични координати може да направи тройните интеграли по-лесни за решаване, когато областта, върху която се интегрира, притежава някаква сферична симетрия.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.