Формула за определяне на двумерна ротация

След като те запознах с представата за ротация на флуид във връзка с векторно поле като това, сега да го разгледаме по-задълбочено, за да можем да изведем съответната формула. Векторно поле като това, което имам ето тук, е двумерно и то е дефинирано от функция, която има двумерен аргумент и двумерни изходни стойности. Прието е да бележим компонентите на изходната стойност на функцията като функциите P и Q. Всяка една от тези функции Р и Q има две различни променливи в аргументите си. Р и Q. Сега искам да разгледаме ротацията на векторното поле, което може да се запише просто като ротация от V, ротация от векторното поле V. Операторът има същите входни стойности като векторното поле. Понеже разглеждаме пример за двумерно векторно поле, мога да запиша – само за да го отличим от тримерната ротация, която ще разгледаме по-късно – записвам 2d (двумерна) ротация от V. Можеш да си представиш, че това е някакъв вид диференциал, по същия начин, както – досещаш се – производната d, dx има на входа си някаква функция. Подаваме една функция на диференциала и той ни връща друга функция – производната. Тук тази 2d ротация я разглеждаме като оператор, на който подаваме някаква функция, някаква векторна функция, и той ни връща друга функция, която в този случай е скаларна. Причината на изхода да имаме скаларна функция е защото всяка отделна точка ще свържем с някакво число. Ако се върнем и разгледаме векторното поле, което имаме изобразено тук, искаме в точка като тази, където има много голяма ротация обратно на часовниковата стрелка, искаме функцията за ротацията да ни даде положителна стойност. Но в точка като тази, където имаме ротация по посока на часовниковата стрелка, искаме операторът ротация да ни даде отрицателно число. Да помислим какво може да означава това. Добър начин да разберем двумерната функция ротация и да схванем логиката, е да си представим идеалния случай на двумерна ротация. Да кажем, че имаме точка, нека това да е нашата точка (х; у), която се намира някъде в пространството. Да кажем, че към тази точка няма вектор, защото стойностите на Р и на Q, както и на х и на у са нули. Нека отдясно на тази точка има вектор, който сочи право нагоре. Отгоре във векторното поле има вектор, който сочи точно наляво, после вляво от нея има вектор, който сочи право надолу, а под точката има вектор, който сочи точно надясно. По отношение на функциите това означава, че този вектор отдясно, за точката, в която го разглеждаме, стойността на Q ще е по-голяма от нула. Значи функцията Q, която съответства на у-компонента, Р и Q са горния и долния компонент на всеки вектор, когато изчисляваме функцията в тази точка, която е отдясно на точката (х; у), тук стойността на Q е по-голяма от нула. Докато, ако изчислим Q за точката отляво, стойността на Q ще е по-малка от нула в този пример за идеална положителна ротация. След това тези вектори тук отдолу, ако разгледаме какво означава това за тях, например векторът отдолу, който сочи надясно, и векторът отгоре, който сочи наляво, този вектор отдолу, в която и да е точка да го разглеждаме, неговият компонент Р, който един вид е компонентът, показващ стойностите в посока наляво и надясно за тези вектори, тъй като това е първият компонент на изходния вектор, той трябва да е положителен. После тук отгоре, когато изчислим Р в тази точка, стойността трябва да е отрицателна. Докато Р, ако изчислим стойността в точките отляво и отдясно, ще е равно на нула, защото нямаме х-компонент. По същия начин за Q, изчислено за точките отгоре и отдолу, тъй като няма компонент в посока нагоре и надолу за тези вектори, тук Q ще е нула. Това е един много конкретен, изкуствено създаден случай, който разглеждаме. И сега искам да кажа, че ако това е положителна ротация, може би ако разгледаме тази информация, по-точно частните производни на Р и на Q в случай като този, това ще ни даде начин да определим количествено ротацията. Да разгледаме Р. Р първо е положително, а когато у нараства, когато у стойността на аргумента нараства, Р се променя от положително през нула до отрицателно. Можем да очакваме, че частната производна на Р по отношение на у, когато се променя компонентът у при движението нагоре в равнината, а ако разгледаме компонента х на векторите, то трябва да е отрицателно. Трябва да е отрицателно при условие, че искаме ротацията да е положителна. Всички тези разсъждения се отнасят за случаи, в които имаме идеалния случай на положителна ротация. Очевидно, това са условията, които съответстват на положителна ротация. Сега да разгледаме Q. Той първо е отрицателен, когато сме отляво. После става нула и после става положителен. Когато х нараства, нараства и Q. Можем да очакваме, че частната производна на Q по отношение на х ще бъде положителна. Или поне случаите, в които частната производна на Q по отношение на х е положителна, съответстват на положителна двумерна ротация. Наистина, оказва се, че тези два компонента ни дават цялата необходима информация. Можем да кажем, че формулата – че двумерната ротация на векторното поле V като функция от х и от у е равна на частната производна на Q по отношение на х, а после от нея изваждаме частната производна на Р по отношение на у. Понеже искам, когато това е отрицателно, то да съответства на по-положителна двумерна ротация. Затова изваждаме частната производна на Р по отношение на у. Ето това е формулата за двумерната ротация. Можеш принципно да я разглеждаш като мярка във всяка отделна точка на това в каква степен информацията около тази точка съответства на това положение, когато имаме идеален случай на ротация обратно на часовниковата стрелка. Колкото повече прилича на този случай, толкова тази стойност ще е по-голямо положително число. Колкото по-близо сме до противоположния случай на този, ако всички тези вектори сочат наобратно и имаме въртене по часовниковата стрелка, всяка от тези стойности ще бъде предишната стойност със знак минус. Тогава двумерната ротация ще бъде отрицателна. В следващото видео ще ти покажа няколко примера за използването на тази формула.