Особености на двумерната ротация

В последните няколко видео клипа разглеждахме ротацията на двумерно векторно поле V, дефинирано чрез функциите на компонентите Р и Q, като казахме, че двумерната ротация на тази функция V представлява нова функция, която отново има на входа си х и у, а нейната формула е частната производна на Q по отношение на х минус частната производна на Р по отношение на у. Надявам се, че за теб това е нещо повече от формула, и че разбираш начина, по който това представя двумерната ротация на флуида. Сега искам да ти покажа как първоначалната логика, която приложих към тази формула, може да се опрости, защото, например, ако разгледаме този компонент частно Q, частно х, аз казах, че можем да си представим, че Q в някаква точка има малка отрицателна стойност, така че у компонентът на изходната стойност е малко отрицателен, и докато го движите в положителната посока на х, става нула, а после става малко положителен, и в това конкретно изображение, надявам се, че е поне малко ясно защо това съответства на въртене на флуида обратно на часовниковата стрелка, но това са само едни много конкретни условия за това как изглежда частно Q, частно х, когато е положително. Може също така Q в началото да е малко положително, после, когато се преместваме в посока х, то да става даже още по-положително, и след това още по-положително. Съгласно формулата това ще допринесе в същата степен за положителната ротация, както този идеален пример за водовъртеж. И за да илюстрирам как може да изглежда това, ако разгледаме това векторно поле тук, ако разгледаме центъра, това е един вид идеалният пример за ротация обратно на часовниковата стрелка. Ако пусна анимацията на флуидния поток, флуидът, естествено, ще се завърти в този участък обратно на часовниковата стрелка. Обратният случай имаме ето тук отдясно. Тук изглежда, че нямаме въртене в този смисъл. Напротив, частиците на флуида просто преминават през участъка. Но на практика ротацията в тази област ще бъде точно толкова голяма, колкото и ето тук, и аз ще ти покажа това с помощта на формулата. Ще изчислим ротацията в този участък след малко, но си представи, че имаме някакво колело, снабдено със загребващи лопатки, и ако си поставиш пръста ето тук в средата, въпреки, че колелото е оставено само на себе си, то просто ще се издигне, така да се каже, но да кажем, че държиш тук долу с пръста си, обаче колелото все още може да се върти. Тогава векторите отляво ще сочат нагоре, но ще са по-малки от векторите отдясно, които са по-големи от тях, така че си представи тази ситуация, в която имаш това колело със загребващи лопатки, а после пускаме анимация на въртенето на флуида, когато държиш с пръст отдолу, но позволяваш на колелото да се върти свободно. То ще се върти точно така, както би се въртяло ето тук, но е по-лесно да видим примера за водовъртеж. Що се отнася до формулата, случаи като този тук, когато Q се променя от отрицателно през нула до положително, трябва да се разглеждат също като такава ситуация, поне по отношение на двумерната ротация, защото формулата за двумерна ротация ще бъде една и съща и за двата случая. Заслужава си да отбележа, между другото, че ротацията не е нещо, което математиците или физиците са извели, докато са се опитвали да обяснят флуидните потоци. Вместо това те разглеждали този член като значим, както и в много други формули и примери, и аз мисля, че вероятно електромагнетизмът е бил първоначалният повод, откъдето идва формулата за ротацията. Но после, в опит да разтълкуват формулата, те осъзнали, че тя дава много добро тълкуване на флуидните потоци, от което произтича много дълбоко разбиране на случващото се, отвъд самите символи. Сега ще продължа с нашия пример, като ще използвам формулата за векторното поле. Всъщност това е една много лесна формула. Значи Р и Q, първият компонент (х) е минус у, а вторият компонент (у) е равен на х. Когато приложим формулата за двумерна ротация, когато намерим частната производна на Q по отношение на х, значи частната производна на втория компонент по отношение на х е просто единица, а после изваждаме частната производна на Р по отношение на у, която е минус 1 в този случай, защото Р е равно просто на минус у. Така двумерната ротация е равна на 2, по-точно е константа, винаги е 2, която не зависи от х и от у, което е доста необичайно. В повечето случаи, когато определяме двумерната ротация на векторно поле, тя е някакъв вид функция от х и от у. Но фактът, че сега е константа, ни казва, че когато разглеждаме този флуиден поток, формулата ни показва, че ротацията, която наблюдаваме около центъра е точно същата като ротацията, която наблюдаваме отдясно, или навсякъде другаде в равнината. Ако пусна тази анимация, и ако си представим, че имаме колело със загребващи лопатки в центъра, то ще се върти със същата скорост като греблото отдясно, въпреки че – не знам, това изглежда донякъде логично, защото за това отдясно си мисля, че може би има малко по-голям въртящ момент в дясната страна, отколкото в лявата страна, което има балансиращо действие, но идеята, че ротацията е същата като в идеалния случай – аз виждам въртенето обратно на часовниковата стрелка с очите си, например в центъра, което изглежда малко необичайно. Но мисля, че е важно да разберем, по какъв друг начин може да изглежда двумерната ротация и какво още може да представя тази формула. Приключвам с това. До скоро!