Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Пример за изчисляване на тримерна ротация

Решаваме пример за намиране на тримерна ротация на векторно поле. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега да решим един конкретен пример, в който да намерим ротацията. Дадена е векторната функция V, която е функция на х, у и z, значи тя е тримерна функция, и е дефинирана с функциите – да видим – нека първият компонент да е х по у. Вторият компонент е косинус от z, а последният компонент е z на квадрат плюс у. Да видим. Ако е дадена тази функция, как можем да изчислим ротацията на тази векторна функция? Както казах в предишното видео, ще си представим, че намираме векторното произведение на оператора "Del" и нашата векторна функция. Това означава, че когато прилагаме формулата, просто взимаме оператора "Del" (набла) и попълваме в него операторите за частна производна, но всъщност това са просто символите частно, частно х, частно, частно у и частно, частно z. Те един вид просто чакат да им бъде подадена някаква функция. Намираме векторното им произведение с функцията, която ни е дадена. Просто ще я копирам и ще я поставя ето тук. Малък остатък. За да намерим това векторно произведение ни е нужна определена детерминанта. Ще запиша детерминантата ето тук, това е матрица 3 по 3, като можем да сложим матрица в кавички, защото нейните компоненти са доста необичайни. В горния ред, точно както при всяко друго векторно произведение, което сме намирали, ще имаме i, j, k – единичните вектори на тримерното пространство. Във втория ред ще имаме всички тези оператори за частни производни, тъй като това е първият вектор на векторното ни произведение. Така че това е частно, частно х, частно, частно у... повтарям отново, че всички тези оператори един вид чакат да получат функция, на която да дадат производната. После в третия ред ще бъде функцията, която разглеждаме. Първият компонент ще бъде х по у, втория компонент е косинус от z, последният компонент е z на квадрат плюс у. Ще направя малко място тук, за да се вижда по-добре. Това е детерминантата, която искаме да изчислим. Можем да я разделим на три отделни части. Първата част – взимаме горния компонент i и го умножаваме по детерминантата на тази подматрица – когато определяме тази поддетерминанта, намираме частната производна по отношение на у на функцията z на квадрат плюс у. По отношение на у z изглежда като константа. Значи z на квадрат е константа, а частната производна на цялото това тук е 1. Значи тук е 1. После изваждаме частната производна по отношение на z на функцията косинус от z, което е същото като производната на косинус от z, което е минус синус от z. Това е първият елемент. Следващият елемент – взимаме j, само че тук вадим, защото винаги прилагаме шахматното правило – плюс, минус, плюс и т.н., когато решаваме тези детерминанти. Просто ще извадим j, умножено по неговата собствена поддетерминанта, като този път поддетерминантата ще включва двата стълба, в които няма j. Така че си представи, че този първият стълб и вторият стълб са част от една матрица. Първото нещо, което правим, е да намерим частната производна по отношение на х на z на квадрат плюс у. Тук няма хиксове, нали? Това е z на квадрат и у. И двете са константи по отношение на х. Значи това е нула. След това намираме частната производна по отношение на z на х по у. Тук няма z, така че производната е нула, все едно вадим нула. И накрая добавяме последния компонент. Добавяме последния компонент k, умножен по детерминантата на тази подматрица, чиито стълбове не съдържат z. Това включва частната производна по отношение на х от косинус от z. Тук няма хиксове, значи производната е нула. Това е просто нула. После изваждаме частната производна по отношение на у на функцията х по у. Тук х е константа, а у е променлива, затова частната производна е просто х. Изваждаме х. След като опростим този израз, ротацията на нашето векторно поле, което е функция от х, у и z, е равна на – този първи компонент, компонентът i, за него получихме 1 минус минус синус от z, минус минус дава плюс, това е 1 плюс синус от z. Компонентът j, който вадим, е нула. Когато изваждаш, винаги трябва да внимаваш да обърнеш знака вътре, но тук имаме две нули, така че целият компонент j, или у-компонента на изходния вектор, е нула. Последно – компонентът k е 0 минус х, така че става минус х. Това е ротацията на функцията. Ето това е начинът, по който я изчисляваме. Разглеждаш по какъв начин е дефиниран всеки компонент на функцията, представяш си, че намираш векторното произведение на този символ "Del" (или набла), това частно, частно х, частно, частно у и частно, частно z, намираме векторното произведение между него и нашата функция, което означава да намерим шест различни частни производни. Това изисква методичност и внимание, за да не се допускат грешки. И накрая получаваме вектор, подобен на този.