Пример за изчисляване на тримерна ротация

Сега да решим един конкретен пример, в който да намерим ротацията. Дадена е векторната функция V, която е функция на х, у и z, значи тя е тримерна функция, и е дефинирана с функциите – да видим – нека първият компонент да е х по у. Вторият компонент е косинус от z, а последният компонент е z на квадрат плюс у. Да видим. Ако е дадена тази функция, как можем да изчислим ротацията на тази векторна функция? Както казах в предишното видео, ще си представим, че намираме векторното произведение на оператора "Del" и нашата векторна функция. Това означава, че когато прилагаме формулата, просто взимаме оператора "Del" (набла) и попълваме в него операторите за частна производна, но всъщност това са просто символите частно, частно х, частно, частно у и частно, частно z. Те един вид просто чакат да им бъде подадена някаква функция. Намираме векторното им произведение с функцията, която ни е дадена. Просто ще я копирам и ще я поставя ето тук. Малък остатък. За да намерим това векторно произведение ни е нужна определена детерминанта. Ще запиша детерминантата ето тук, това е матрица 3 по 3, като можем да сложим матрица в кавички, защото нейните компоненти са доста необичайни. В горния ред, точно както при всяко друго векторно произведение, което сме намирали, ще имаме i, j, k – единичните вектори на тримерното пространство. Във втория ред ще имаме всички тези оператори за частни производни, тъй като това е първият вектор на векторното ни произведение. Така че това е частно, частно х, частно, частно у... повтарям отново, че всички тези оператори един вид чакат да получат функция, на която да дадат производната. После в третия ред ще бъде функцията, която разглеждаме. Първият компонент ще бъде х по у, втория компонент е косинус от z, последният компонент е z на квадрат плюс у. Ще направя малко място тук, за да се вижда по-добре. Това е детерминантата, която искаме да изчислим. Можем да я разделим на три отделни части. Първата част – взимаме горния компонент i и го умножаваме по детерминантата на тази подматрица – когато определяме тази поддетерминанта, намираме частната производна по отношение на у на функцията z на квадрат плюс у. По отношение на у z изглежда като константа. Значи z на квадрат е константа, а частната производна на цялото това тук е 1. Значи тук е 1. После изваждаме частната производна по отношение на z на функцията косинус от z, което е същото като производната на косинус от z, което е минус синус от z. Това е първият елемент. Следващият елемент – взимаме j, само че тук вадим, защото винаги прилагаме шахматното правило – плюс, минус, плюс и т.н., когато решаваме тези детерминанти. Просто ще извадим j, умножено по неговата собствена поддетерминанта, като този път поддетерминантата ще включва двата стълба, в които няма j. Така че си представи, че този първият стълб и вторият стълб са част от една матрица. Първото нещо, което правим, е да намерим частната производна по отношение на х на z на квадрат плюс у. Тук няма хиксове, нали? Това е z на квадрат и у. И двете са константи по отношение на х. Значи това е нула. След това намираме частната производна по отношение на z на х по у. Тук няма z, така че производната е нула, все едно вадим нула. И накрая добавяме последния компонент. Добавяме последния компонент k, умножен по детерминантата на тази подматрица, чиито стълбове не съдържат z. Това включва частната производна по отношение на х от косинус от z. Тук няма хиксове, значи производната е нула. Това е просто нула. После изваждаме частната производна по отношение на у на функцията х по у. Тук х е константа, а у е променлива, затова частната производна е просто х. Изваждаме х. След като опростим този израз, ротацията на нашето векторно поле, което е функция от х, у и z, е равна на – този първи компонент, компонентът i, за него получихме 1 минус минус синус от z, минус минус дава плюс, това е 1 плюс синус от z. Компонентът j, който вадим, е нула. Когато изваждаш, винаги трябва да внимаваш да обърнеш знака вътре, но тук имаме две нули, така че целият компонент j, или у-компонента на изходния вектор, е нула. Последно – компонентът k е 0 минус х, така че става минус х. Това е ротацията на функцията. Ето това е начинът, по който я изчисляваме. Разглеждаш по какъв начин е дефиниран всеки компонент на функцията, представяш си, че намираш векторното произведение на този символ "Del" (или набла), това частно, частно х, частно, частно у и частно, частно z, намираме векторното произведение между него и нашата функция, което означава да намерим шест различни частни производни. Това изисква методичност и внимание, за да не се допускат грешки. И накрая получаваме вектор, подобен на този.