Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Формула за тримерна ротация, част 1

Как се изчислява тримерна ротация, ако си я представим като един вид векторно произведение. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последните няколко видео клипа се запознахме с това какво представя тримерната ротация. Сега ще говорим за това как можем да я изчислим. Тримерната ротация е понятие, което е свързано с тримерно векторно поле. При нея взимаме една тримерна точка като входна стойност, а изходната стойност е тримерен вектор. Прието е компонентите на този вектор да се представят като функциите Р, Q и R. Всеки от компонентите е скаларна функция, която на входа има точка в тримерното пространство, а изходната стойност е число. Отново ще разгледаме точка в три измерения с координати х, у и z. Когато имаме едно тримерно векторно поле като това, може би си представяш нещо като това, където към всяка точка (показва модел на тримерно векторно поле) в тримерното пространство е свързан някакъв вектор. Когато я разгледаме, тук има много информация, но по принцип това, което се случва по същество е, че с тази точка в пространството е свързан някакъв вектор. Точката в пространството е входната стойност, а векторът е изходната стойност. Просто ги свързваме едно с друго. Естествено, между трите измерения на входната стойност и трите измерения на изходната стойност имаме шест измерения, което е изключително сложно да си представим. Въпросът е как можем да изчислим стойността на ротацията, за която говоря. Ротацията на нашата векторна функция. Само да си припомним какво трябва е тя – тук имаме някакъв тримерен флуиден поток, причинен от това векторно поле, като можеш да си представиш, че имаме въздух, който се движи успоредно на всеки вектор. Търсим функция, която да ни покаже във всяка отделна точка каква е ротацията, причинена от флуидния поток около тази точка. Понеже ротацията е описана с тримерен вектор, очакваме тя да е векторна величина. Това ще е нещо, което ще има векторна изходна стойност. Ако това ти се струва нелогично, ако не ти е познато, можеш да гледаш видеото за това как представяме тримерна ротация с вектор. Тази ротация тук има на входа си (х; у; z). На входа имаме тримерна точка, а на изхода имаме вектор, който описва ротацията. Съществува и друг начин за записване, който е много удобен, когато трябва да изчислим ротацията. Записваме набла, този обърнат триъгълник, който използвахме при дивергенцията и градиента, и си представи, че намираме векторното произведение на набла и нашия вектор V. Само да напомня, че набла можем да си представим като вектор, който съдържа операторите за частна производна. Това е едно от тези неща, които звучат много странно – вектор, който съдържа операторите за частна производна, но това означава просто, че тук ще запиша куп символи. Това частно, частно х е нещо, което взиме една функция на много променливи и ни дава нейната частна производна. Строго погледнато, това е безсмислено – как може един вектор да съдържа тези оператори за частна производна? Но като поредица от действия със символи това е много удобно, защото, когато умножаваме тези оператори по нещо, това по същество не е умножение. Подаваме някаква функция на много променливи, например Р, Q и R, функциите на компонентите на нашето векторно поле, и пресмятаме векторното произведение. Само като разгрявка за това, да видим как става това, когато имаме две измерения, за което вече знаем формулата на двумерната ротация. В този случай тук имаме само две измерения, имаме само частно, частно х, частно, частно у в този оператор. Намираме векторното произведение на този символ набла и двумерен вектор, който съдържа просто функциите на компонентите Р и Q. В този случай Р и Q ще бъдат просто функции от х и у. Тук става много претрупано, но тук имаме двумерно векторно поле, за което казваме, че Р и Q са скаларни функции с двумерен аргумент, а ето тук използваме Р и Q, за да представим функции с тримерен аргумент. Можеш да си представиш, че това са различни функции, но е прието да се използват еднакви означения. Това ще ни помогне да илюстрираме точка с повече измерения. Когато изчисляваме нещо като това векторно произведение, обикновено разглеждаме това като произведението на компонентите по диагоналите, така че това е частно, частно х, "умножено" по Q, което просто означава, че намираме частната производна на Q по отношение на х. После изваждаме компонентите по този диагонал тук, което е частно... извинявам се, тук трябва да е у. Това трябва да е частно, частно у. Извинявам се. Трябва ни частно, частно у от Р, което ще извадим. Значи частно, частно у от Р, това е просто частната производна на функцията Р по отношение на у. Надявам се, че това ти е познато. Това е двумерната ротация. Ние разгледахме какво представлява тя логически, защото искам за теб това да е нещо повече от формула, и се надявам, че когато използваш този оператор "Del" (английско означение), този символ набла, и намираш векторното произведение със самата векторна функция, ще можеш да си представиш ротацията на векторното поле. Когато правим това в случая с три измерения, ще намерим тримерно векторно произведение на това нещо, което прилича на тримерен вектор, и тази тримерна функция. Ако не ти е напълно ясно как се намира векторно произведение, как се изчислява и как се тълкува, може би сега е подходящият момента да намериш съответните видео уроци, които Сал е направил по темата и да научиш какво представлява векторното произведение и как се намира то. Защото на този етап аз ще приема, че ти знаеш как се намира векторно произведение, тъй като ще го използваме в този странен контекст с операторите за частна производна и функции, така че е важно да имаш основата. Начинът, по който изчисляваме тези векторни произведения, е да конструираме детерминанта. Ще се преместя ето тук. Детерминанта на матрица 3 по 3. В горния ред са всички единични вектори в различните посоки на тримерното пространство. Това са единичните вектори i, j и k, като i е единичният вектор в посока х, така че това е i равно на – неговият х компонент е 1, а другите му два компонента са нули. По същия начин векторите j и k са единичните вектори в посоките у и z, като пак казвам – ако ти е непознато това, което правя и използвам тук, гледай отново видеото за векторно произведение. Поставяме тези единични вектори в горните редове. Това е начин за намиране на векторното произведение, защото, пак казвам, когато поставим един вектор в една матрица, това е просто начин на записване. Сега ще вземем първия вектор, и ще намерим векторното произведение с него, като ще запиша компонентите му в следващия ред. Това означава, че в следващия ред ще имаме частно, частно у, о, извинявам се, продължавам да бъркам, това е х, първо умножаваме по първия компонент, второ умножаваме по втория компонент, а после по третия компонент, по z – по частно, частно z. Не знам защо допускам тази грешка. В последния ред поставяме втория вектор, което в този случай е векторната функция P, Q и R. Това е функция на много променливи, P, Q и R. Заслужава си да се върнем и да разгледаме това. Това изглежда нещо абсурдно. Обикновено, когато разглеждаме матрици и намираме детерминантата, всички компоненти са числа, защото умножаваме числа по числа. Но тук използваме един трик за записване, насложен върху друг трик за записване, така че един от редовете съдържа вектори, един от редовете съдържа оператори за частни производни, а последният ред – всеки от тези елементи е функция на много променливи. Това изглежда абсурдно, объркано, безкрайно далеч от матрица, която съдържа числа, но по същество това е много удобно за изчисляване. Ако разгледаш процеса на изчисляване на детерминантата и се запиташ какво означава това, това, което ще осъзнаеш, е че това е формулата за тримерната ротация. За да не стане прекалено дълго това видео, сега ще приключа дотук, а в следващото видео ще разгледам тази операция.