Формула за тримерна ротация, част 2

Разглеждахме формулата за тримерна ротация, като мястото, на което прекъснахме, е като конструирахме тази детерминанта като матрица 3 по 3, която изглежда абсурдно, защото никой от отделните ѝ елементи всъщност не е число, обаче сега ще ти покажа как, когато намираме детерминанта, получаваме векторна функция, която съответства на ротацията. Нека ти покажа какво имам предвид. Ако изчислим детерминантата, за това поле, което съм показал тук горе вдясно, започваме от елемента на матрицата горе вляво, и го умножаваме по детерминантата на подматрицата, чиито редове не включват реда i, и чиито стълбове не включват стълба с i. В този случай изглежда, че умножаваме единичния вектор i по някаква поддетерминанта, като тази поддетерминанта включва произведението на частно, частно у по R, което е частната производна по отношение на у на функцията на много променливи R. После изваждаме частната производна на Q по отношение на z, изваждаме частната производна по отношение на z на функцията на много променливи Q. После... това е първото нещо, което правим, а после втората част, която ще извадим, представяме си плюс, минус, плюс (т.нар. шахматно правило) за елементите на горния ред, така че ще извадим произведението на j с друга поддетерминанта, която ще включва – този стълб, в който няма j, и този стълб, в който няма j, представи си това като матрица 2 по 2, която съдържа частната производна на R по отношение на х, това е един вид диагоналът, частно, частно х от R, а после изваждаме частната производна на Р по отношение на z, значи частно, частно z от Р. Това са само две от трите неща, които трябва да направим за общата детерминанта, защото последната част, която ще добавим – ще добавим този елемент горе вдясно, k, произведението му с подматрицата, чиито стълбове не включват k, и редовете, които не включват k, така че имаме произведението на k с тази поддетерминанта, което ще бъде – да видим – частно, частно х от Q, частната производна на Q по отношение на х, минус частно, частно у от Р, което е частната производна на Р по отношение на у, на функцията на много променливи Р. Целият израз представлява тримерната ротация на функцията, чиито компоненти са Р, Q и R. Това е нашата векторна функция, векторната функция V, чиито компоненти са Р, Q и R. Когато разгледаме целия процес и си представим векторното произведение на оператора "Del", изразен с този символ набла, и изходния вектор с компоненти Р, Q и R, получаваме този израз, в който използваме запис чрез i, j и k, ако представим това като вектор-стълб – мога да изтрия вече някои от тези неща – ако го представим като вектор-стълб, ще видим, че ротацията (на екрана е означена с "Curl", у нас се означава с "rot") на нашата векторна функция V като функция от х, у и z е равна на – сега като първи компонент ще използваме това тук горе, така че това е частната производна на R по отношение на у, минус частната производна на Q по отношение на z – няма да копирам всичко останало, но по принцип, разбираш, какъвто и да е този компонент j, предполагам, че ще го извадим, значи го изваждаме, ще копирам това като следващ компонент и го поставям тук. Много често, когато се изчислява ротацията, се превключва към използване на запис чрез ijk. Аз лично предпочитам, аз обикновено използвам вектор-стълбове, а други използват ijk. Всъщност това няма значение, стига да знаеш как да преминаваш между двата начина на записване. И сега много бързо искам да се спра на още нещо, преди да разгледаме конкретни примери – искам да обърнеш внимание, че този компонент k ето тук, който е z-компонентът на изходния вектор, всъщност е формулата за двумерната ротация. Ако се върнеш и гледаш отново видео клиповете за двумерна ротация, и си припомниш формулата ѝ, точно това имаме ето тук. Всъщност всички други компоненти един вид са огледални образи на това, но използваме малко по-различни оператори и малко по-различни функции, но ако разглеждаш ротацията, която се извършва в равнината ху, просто двумерната ротация, и че в три измерения тя се описва с вектор по направление k, пак напомням – ако това ти е неясно, е добре да се върнеш и да гледаш видео клиповете, в които описваме ротация с тримерен вектор и правилото на дясната ръка, но векторът сочи точно по посока на z, описваме ротацията в равнината ху, а това, което се случва с другите е съвсем същото, нали? Ротацията, която се извършва изцяло в равнината хz, съответства на вектор на ротацията, който е в направление у – посоката, перпендикулярна на хz – да видим, това тук е равнината хz. Подобно на това, този първи компонент един вид ни дава пълната ротация, която се извършва в равнината уz и векторите в посока i, в посока х на изходната стойност, един вид кореспондират на ротацията в тази равнина. Когато изчислим това, не винаги си представяме, че – досещаш се, това съответства на ротацията в тази равнина и това съответства на ротацията в другата равнина, един вид ние изчисляваме това, за да изведем формулата, но мисля, че е хубаво да разпознаваш логическите връзки, които изграждаме в двумерната ротация и как тя се появява тук. Друго нещо, което искам да изтъкна, е това, че тази формула не е нужно да се помни. Аз не бих я наизустил, ако трябва, да седна и да запомня целия този дълъг израз. Единственото, което трябва да запомниш, е, че ротацията се представя чрез векторното произведение на този оператор "Del" и вектора V, векторното произведение на този символ набла и векторната функция V, защото след това, каквито и да са компонентите, можеш да преминеш през процеса, който току-що ти показах, и колкото по-често го правиш, толкова по-бързо ще се справяш, малко е дълго, но не отнема чак толкова много време, и определено ще допуснеш по-малко грешки, отколкото ако се опиташ да наизустиш нещо, което като тази формула има толкова "движещи" се части. В следващото видео ще разгледаме един конкретен пример. Ще имаме конкретни функции за Р, Q и R и ще преминем през този процес в един по-конкретен контекст. До скоро!