Запознаване с тримерна ротация на векторно поле, част 1

Привет! Ще разгледаме тримерната ротация на векторно поле. За да го направим, ще започна с един двумерен пример, който използвах в началото, когато се запознахме с понятието ротация. Тогава говорихме за флуиден поток и аз направих анимация на едно конкретно векторно поле, където видяхме ротация срещу часовниковата стрелка отдясно и по посока на часовниковата стрелка отгоре. Ще взема това векторно поле, което се надявам, че донякъде ни е познато, и ще го поставя в едно тримерно пространство в равнината ху. Ако просто взема цялото векторно поле и го копирам върху равнината ху, то ще изглежда по следния начин. Разстоянието между векторите може да се промени, в зависимост от това каква извадка от точки използваме, за да покажем векторите, може да се получи известна разлика, но това е същото векторно поле, като е хубаво да запиша как е дефинирано в две измерения. Това е функция от х и от у, това е една векторна функция от х и от у, а компонентите ѝ са – първият компонент е у на трета степен минус 9 по у, а вторият компонент е х на трета степен минус 9 по х. Ако разгледаме това поле и започнем да разсъжадаваме каква флуидна ротация е свързана с него, защото сега е в три измерения, логично е да опишем тази ротация не само като число за всяка точка, досещаш се, като коефициент или като стойност, както при двумерната ротация, а вместо това сега с всяка точка ще свържем вектор. Когато го направим, когато свържем вектор към всяка различна точка в пространството, който съответства на ротацията на флуида, която наблюдаваме в примера, тогава ще получим нещо, което изглежда по следния начин. Това е малко сложно, защото тук имаме две векторни полета. Едното от тях включва всички вектори, които са перпендикулярни на равнината ху. Да го разгледаме стъпка по стъпка и да видим какво ще разберем. Имаме четири различни оградени участъци, като един от тях е този тук отдясно, където наблюдаваме ротация обратно на часовниковата стрелка. Ако използваме правилото на дясната ръка – сега ще покажа илюстрация на правилото на дясната ръка, когато си представяме, че свиваме пръстите си по посоката на въртене, пръстите на дясната ръка, а после изправяме палеца и посоката, в която сочи палецът, е посоката на векторите, които описват тази ротация. Ако приложим това тук, ако си представим как свиваме пръстите на дясната ръка ето тук, изправяме палеца и получаваме, че векторите сочат по направление на положителната посока на оста z. Ето защо тази в област имаме вектори, които сочат нагоре, към положителната посока на оста z. Те ни казват, че когато погледнем тази равнина ху от отгоре, въртенето е обратно на часовниковата стрелка. А какво се случва в някоя друга точка? Какво става тук отгоре, където имаме въртене по посока на часовниковата стрелка? Ако си представиш, че пръстите на дясната ти ръка се свият по направление на посоката на въртене, тогава палецът ти ще сочи право надолу. Това е отрицателната посока на оста z, което наблюдаваме при това векторно поле ето тук. Под този кръг, под тази точка, имаме вектори, които сочат право надолу, което показва посоката на ротацията в тази област. Ако разгледаме по този начин всяка отделна точка и разберем каква е ротацията във всяка отделна точка, ако свържем вектор, това е полето, което ще получим. Хайде да опишем това с една функция. Ние знаем как да опишем двумерната ротация в тази точка. Ако на това нещо... ако означим функциите, които представляват отделните компоненти, ако ги означим с Р и Q, тогава двумерната ротация на това векторно поле V е функция от х и у и е равна на частната производна на втория компонент по отношение на х, минус частната производна на първия компонент по отношение на у. Значи минус частната производна на Р по отношение на у. Това, което получаваме, като пресметнем това, е частната производна на Q по отношение на х – намираме частната производна на Q по отношение на х, която изглежда като производна, тъй като съдържа само х, и получаваме 3 по х на квадрат минус 9. Всъщност аз показах това в друго видео, в което използвах същия пример, където намерихме частната производна на Р по отношение на у, първо намираме частната производна на горния компонент по отношение на у, която е 3 по у на квадрат минус 9. Тогава казваме, че това минус 9 си променя знака, знаеш, минус минус 9 дава плюс 9. Тези се съкращават и накрая получаваме 3 по х на квадрат плюс 3 по у на квадрат. Какво означава това за векторното поле, което разглеждаме? Защото този аналитичен израз съответства на показаното от мен векторно поле, където тези сини вектори показват ротация – това тук са вектори. Тъй като ротацията се извършва изцяло в равнината ху, която е перпендикулярна на оста z, всички тези вектори имат някакъв z-компонент. Тогава можем да кажем, че ротацията – няма да кажа двумерна ротация, а ротацията на V е функция от х и у, която не е някаква числена стойност, а е вектор, който описва тези сини вектори по направление на оста z. И понеже те сочат право в посока z, техните компоненти х и у са нули. Но последният компонент е изразът, който намерихме, и той описва големината на ротацията. Три по х на квадрат минус 3 по у на квадрат, и тук... свършва ми мястото... можеш да си представиш това като един вид първообраз на тримерната ротация. Защото това векторно поле V не е напълно тримерно векторно поле, нали? То се намира само в равнината ху, входните му стойности са само х и у. Така че ние ще надградим това, като се опитаме да разгледаме това поле като тримерно векторно поле, за да можем да разгледаме ротацията като тримерна векторна величина. Това ще направим в следващия видео клип.