Запознаване с тримерна ротация на векторно поле, част 2

В края на предходното видео разглеждахме двумерното векторно поле V, което съм изобразил като това жълто векторно поле, което поставих в три измерения, малко странно го поставих в равнината ху и казах, че ще приемем, че то е в три измерения. После описахме ротацията във всяка точка по начина, по който го правим в две измерения, и така получихме това векторно поле, което не е точно тримерно векторно поле, понеже разглеждаме само точки в равнината ху, които свързваме с тримерни вектори, а не свързваме всяка точка в пространството с вектор. Но скоро ще разгледаме и това. Нека всъщност да надградим този пример до пълно тримерно векторно поле, като първо ще почистя малко екрана от изчисленията, които направих в предишната част. Докато почиствам, да започнем да разсъждаваме как можем да надградим векторното поле, което виждаме и което е до голяма степен двумерно, как да го надградим до тримерно. Един начин е един вид – ще махна тези кръгчета и равнината – един начин е да взема това векторно поле и после просто да го копирам в различни нива. Ще се получи нещо подобно. Направих всеки слой малко по-нарядко, "по-беден" от първоначалния, така че технически първоначалното поле, ако разгледаме равнината ху, в него съм показал много повече вектори, но на практика това е същото векторно поле. Сега просто казвам, че всеки слой в пространството е просто копие на същото векторно поле. Ако погледнеш отгоре, може би ще видиш, че това наистина е съвсем същото векторно поле, копирано много пъти, и ако разгледаме всеки слой по същия начин като този в равнината ху, получаваме това векторно поле, което е в съответния слой, като всяка друга част от пространството има същия слой. И въпреки че тук имаме само шест или седем слоя, които съм показал, по принцип си представяме ,че всеки един от безкрайно многото слоеве на пространството е копие на това векторно поле. Как можем да изразим това аналитично? Това означава, че входните ни точки не са само (х; у), а сега отчитаме и z-компонент. Казваме, че входните точки имат и z-компонент.. Значи сега ще разглеждаме тези вектори като тримерни, че те имат не само х и у компоненти, но ще приемем, че те имат и z-компонент, който просто в случая е нула. Фактът, че входните стойности имат z-компонент, а изходните стойности не зависят от z, съответства на факта, че всички тези слоеве са еднакви, така че когато се преместваме по направление на z векторите няма изобщо да се променят, те са просто идеални копия едни на други. Фактът, че изходната стойност има z-компонент, който обаче е нула, съответства на това, че това изглежда така плоско, досещаш се, нито един вектор не сочи нагоре или надолу в посока z, те са изцяло в посоките х и у. Когато разглеждаме тримерно векторно поле, това поле тук е тримерно векторно поле в малка степен, то един вид се преструва на такова, доколкото става въпрос за тримерно векторно поле, но то е много подходящо за дадения пример, защото ако си представим, че това поле съответства на тримерен флуиден поток, тогава по-скоро вместо флуидния поток, който съм показал ето тук, където имаме водни молекули, които се движат в две измерения, когато е много лесно да се разбере ротацията по посока или срещу часовниковата стрелка, докато сега в този случай имаме някакъв хаотичен тримерен флуиден поток, но понеже е толкова плосък, ако го гледаме отгоре, това донякъде пак напомня ротация срещу часовниковата стрелка тук отдясно, и по посока на часовниковата стрелка тук отгоре, така че ако го начертая като една колона, можеш да си я представиш като някакво торнадо, или като някаква водна струя, в която всичко един вид се върти заедно в една и съща посока. Ако свържем вектор с всяка точка от пространството, за да опишем ротацията, която се наблюдава около всяка от тези точки в пространството, можем да очакваме, че в тази колона, вътре в нея имаме торнадо, което се върти обратно на часовниковата стрелка, значи обратно на часовниковата стрелка, но ако го разглеждаме отдолу нагоре, тогава изглежда по посока на часовниковата стрелка. Това е трудната част при тримерната ротация и затова трябва да я описваме с вектори, чиято посока определяме с правилото на дясната ръка, когато свиваме пръстите на дясната ръка по посока на въртенето, и тогава очакваме векторите да сочат по направление на оста z, на положителната посока на оста z, и ако направим това, ако покажа как изглеждат всички вектори на ротацията, получавам това, което е нещо доста хаотично, защото се случват много неща в тази точка. Така че за момента аз един вид ще премахна първоначалното векторно поле и равнината ху, за да можем да се фокусираме над новото векторно поле, което съм изобразил тук. Вътре в тази колона, където се върти това торнадо, което описвам, всички вектори тук сочат към положителната посока на оста z, но ако разгледаме на друго място, например ето тук в тази област, тези вектори сочат към отрицателната посока на оста z. Ако изпънем палеца си по посока на всички тези вектори в отрицателната посока z, това ни показва, че посоката на флуида – можеш да си го представиш като въздух, който нахлува в стаята – представи си как флуидът се върти в три измерения. Ротацията тук може да изясни нещата – имам формулата от миналия път, която надявам се, че не ти е пречила, докато разглеждахме това, тази формула описва ротацията на двумерно векторно поле, ако си представим, че то не приема само х и у като входни стойности, защото сега имаме тримерно векторно поле. Но ако си представим, че входните стойности са (х; у; z), това е едно нормално тримерно векторно поле, а изходните стойности ще ни покажат във всяка точка от пространството каква е ротацията, която съответства на дадената точка. В следващото видео ще ти покажа формулата и ще ти кажа как на практика можеш да изчисляваш тази ротация за произволна функция, но сега искам да видим само каква е визуалната логика, като се опитваме да разберем какво ще представя тази ротация. В това векторно поле, което един вид е просто копие на двумерното поле по-горе, което е изкуствено създадено, защото ротацията се случва само по този идеален, подобен на торнадо начин, който по същество не се променя, когато се движим нагоре или надолу по посока ху, но по принцип може векторното поле да е по-сложно от това. Ще изтрия формулата, тъй като в момента малко ни пречи, ще изтрия и това тук. Ако си представиш някакви произволни тримерни векторни полета, например като това тук, не знам за теб, обаче за мен е много трудно да си представя флуиден поток, който е свързан с него, имам някаква груба идея, че флуидът изтича от този ъгъл и се влива ето тук, но ми е трудно да обхвана всичко едновременно, и определено, ако започна да мисля за ротация, ми е трудно да погледна някаква точка и да кажа че в нея има някаква обща ротация по някакъв определен начин и да свържа вектор с нея. Но като една много приблизителна и обща идея мога да кажа, че ако това е някакъв странен въздушен поток, който наблюдаваме тук, може би ще можем да определим в една конкретна точка че ще имаме някакъв вид ротация, като сега ще я изобразя така, че тя да прилича на топка или на кълбо, което се намира в пространството, и може би си представяме нашето ново векторно поле и можем да се запитаме каква ротация предизвиква то върху тази топка, която просто се носи в пространството? Можем да си представим това като топка за тенис, която по някакъв начин сме задържали в пространството с магнити или с магия или нещо подобно, и сме оставили вятърът да я върти свободно, и се чудим в каква посока се върти тя. После, когато топката се върти и имаме тази ротация, можем да опишем тази ротация с някакъв тримерен вектор, който в този случай е вектор, сочещ в тази посока, понеже един вид свиваме пръстите си на дясната ръка в тази посока – ако не знаеш как можем да опишем тримерната ротация с вектор, то имаме специален урок за това и можеш да се върнеш и да гледаш видеото, но идеята е, че когато имаме някакъв сложен флуиден поток, който е причинен от някакво векторно поле, и направим това за всяка точка и се запитаме каква е ротацията във всяка отделна точка, това ще ни даде ротацията, това е ротацията на тримерното векторно поле, което искаме да представим. Ако това изглежда объркващо, ако ти изглежда като нещо, което е трудно да проумееш, не се тревожи, напълно те разбирам – тримерната ротация е сред най-сложните неща в анализа на функции на много променливи, което ще разглеждаме. Според мен ключът към разбирането на такива концепции е търпеливо да разсъждаваме и да осмислим добре какво е двумерна ротация, да помислим за това как да разширим тази представа в три измерения, и бавно да стигнем до идеята, че един вид имаме някакви въртящи се торнада, което е донякъде логично, и ако разбереш как можем да представим тримерната ротация около една точка с вектор, тогава ще разбереш, че тримерната ротация се свежда до това да разгледаме какво се случва във всяка отделна точка в пространството по отношение на някаква ротация, която въздушният поток в тази точка ще предизвика. Както казах, това е сложно, но не е проблем, ако не ти стане ясно от първия път, на мен определено ми отне известно време, за да проумея какво е тримерна ротация. Приключвам с това. До скоро!