Описание на тримерна ротация с вектор

Как можем да опишем ротация в три измерения? Например тук виждаме едно кълбо, което се върти по някакъв начин и има някаква посока на въртене и скорост на въртене. Въпросът е как можем да дадем количествена оценка, която да описва точно това въртене. Ако ми съобщиш някакво число, аз да мога да кажа каква е скоростта и каква е посоката на въртене, и всичко свързано с него. Преди да обсъдим това, само искам да си припомним как разглеждаме двумерната ротация. Тук виждаме Господин Пи, който започва да се върти, и начинът, по който описваме неговото въртене, е като просто измерваме неговата скорост. Тази скорост може да се представи като брой завъртания в секунда, или някакъв друг период от време. Нека да е обороти в секунда. В този случай мисля, че съм програмирал това така, че да прави един оборот на всеки пет секунди. Значи скоростта на въртене е равна на 0,2. Но това е малко неточно, защото ако просто кажем: "Господин Пи се върти с 0,2 оборота в секунда", веднага ще ни попитат дали се върти по посока на часовниковата стрелка или срещу нея. Така че това не е изчерпателно. Прието е да се казва: "Ако ти дам едно положително число, ако това число е положително, това означава, че въртенето е по посока обратно на часовниковата стрелка, но ако числото е отрицателно, не казваме, че нещо се върти с отрицателен брой обороти в секунда, а казваме, че се върти по посока на часовниковата стрелка. Така е прието. Просто хората така са приели. Това е много хубаво, защото с помощта на едно число, просто едно число, което може да е положително или отрицателно, можеш да опишеш съвсем точно двумерното въртене. Тук има една особеност, че обикновено във физиката и математиката ние не използваме обороти в секунда, а вместо това описваме нещата чрез брой радиани за секунда. Само да припомня набързо какво означава това – ако си представиш някаква окръжност, произволна окръжност, като размерът ѝ е без значение, ако начертаем радиуса и после попитаме докъде по обиколката трябва да стигна, така че дължината на дъгата, тази част от обиколката, да е дълга точно колкото този радиус? Ако радиусът е R, искаме да знаем докъде трябва да стигнем, за да може дължината на дъгата също да бъде R. Тогава този ъгъл, с който се изместваме, е равен на един радиан. А понеже това е точно два пи радиана на всяко въртене, за да преобразуваме обороти в секунда в радиани в секунда, трябва да умножим тук по 2 по пи. Значи тази стойност умножаваме по 2 по пи. Конкретните стойности не са важни. Основното е, че едно единствено число, положително или отрицателно, може идеално да опише двумерната ротация. Но когато разглеждаме случая с три измерения, тук реално има повече информация от едно число, която ни е необходима. Първо – интересува ни около коя ос се извършва въртенето, тоест правата, която можем да начертаем, около която се извършва въртенето. После искаме да опишем действителната скорост на въртене. Бавно или бързо е това въртене? Така че ни интересува посоката и дължината. Може би се чудиш: "Щом има посока и дължина, това не е ли вектор?" Точно така. Използваме някакъв вектор, чиято дължина съответства на скоростта на въртене, обикновено се измерва в радиани в секунда, и се нарича ъглова скорост. Посоката описва самата ос на въртене. Но точно както при две измерения имаме неяснота по отношение на посоката на въртене по часовниковата стрелка и срещу нея, ако това е единственото нещо, което приемаме, то няма да е ясно дали трябва да използваме този вектор, или векторът, който сочи в обратната посока. Начинът, по който избрах да начертая тези вектори, между другото, няма значение къде се намират те, спомни си, че векторът се определя само от дължина и посока, и можем да го поставим навсякъде в пространството. Смятам, че е съвсем естествено, просто да поставим векторите при полюсите, така че да можем да ги виждаме при самата ос на въртене. Въпросът е кой вектор да използваме. Дали да използваме вектора, който сочи в тази посока? Дали да не използваме зеления вектор, който сочи в обратна посока? По този въпрос е прието така нареченото правило на дясната ръка. Ще ти покажа една картинка, с която да илюстрирам правилото на дясната ръка. Представи си, че свиваш пръстите на дясната си ръка така, че да сочат по посока на въртенето. Имам предвид, че това са върховете на пръстите ти, които сочат към посоката, в която се премества повърхнината на тази сфера. Тогава, когато изправиш палеца си, това е посоката, в която сочи векторът, който описва ротацията. В този конкретен пример, който виждаме, когато изправиш десния си палец, това съответства на белия вектор, а не на зеления вектор. Ако нещата са наобратно... опа, преместих го малко, Искам да си остане на мястото. Ако въртенето е в другата посока, например ротацията е в обратната посока, тогава, когато си представиш, че свиваш пръстите на дясната си ръка по направление на тази посока, тогава палецът ти ще сочи по направлението на зеления вектор. За първоначалната ротация, която започнах да илюстрирам, векторът е белият вектор, който избираме. Това е много интересно, нали? Защото този вектор съдържа толкова много информация. Показва ни оста на въртене. Показва ни скоростта на въртене чрез своята дължина. После, за да изберем в коя посока на тази ос е въртенето, векторът ни показва дали кълбото се върти по единия начин, или по другия начин. Значи с тези три числа, чрез тримерните координати на този вектор, можем да опишем идеално всяка тримерна ротация. Причината да разглеждаме това, между другото, в тази поредица от видео клипове за ротация на векторно поле е защото ще разгледаме тримерна ротация, която е свързана с флуиден поток в три измерения и как това създава въртене във всяка отделна точка от пространството. Това, което ще направим, е да свържем вектор с всяка отделна точка в пространството, за да отговорим на въпроса каква ротация в тази точка се предизвиква от определен флуиден поток. Но аз малко избързвам. В момента искам просто да се фокусираме на една точка на ротация и върху един вектор, който съответства на нея. Но е важно да осъзнаеш как точно представяме тази ротация с вектор, преди да преминем към значително по-сложната тема за тримерна ротация. Приключвам дотук. До скоро!