Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Формула за кривина на произволна крива, част 2

Продължение на обяснението как се изчислява кривина на произволна крива с използване на уравнение на окръжност като водещ пример. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последното видео разгледахме формулата за изчисляване на кривината на произволна крива. Само да си припомним – представи си, че е дадена някаква произволна крива в едно двумерно пространство, което избирам за простота. Кривата е параметризирана чрез функцията S от t. Всяка стойност t съответства на някаква точка от кривата. За да намерим кривината на тази крива разглеждаме единичните тангенциални вектори. Как изглежда единичният тангенциален вектор във всяка отделна точка? Самата кривина, която означаваме с гръцката буква капа, (а у нас често със "С"") е скоростта на изменение на тези единични вектори – един вид колко бързо те си променят посоката, но не по отношение на параметъра t, а по отношение на дължината на дъгата ds. Тук под дължина на дъгата имам предвид една малка стъпка – представи си размера на една малка стъпчица по кривата, която е ds. Задаваме си въпроса дали една такава малка стъпка променя значително единичния тангенциален вектор или го променя по-малко. Малко схематично казано, но можеш да си представиш едно съвсем отделно пространство, в което всеки един от тези единични тангенциални вектори – поставяме тези вектори в това пространство, което може да изглежда приблизително по следния начин – този вектор сочи надолу и надясно, така че той изглежда приблизително по този начин. Този вектор сочи много надолу. Задаваме си въпроса: когато правим тези малки стъпки с размер ds, тогава каква е промяната на единичния тангенциален вектор – тази промяна също ще бъде някакъв вектор. Понеже кривината по същество е просто стойност, едно число, нас ни интересува само дължината на този вектор. Големината на промяната на тангенциалния вектор, когато правим една малка стъпка ds. Това е доста абстрактно, нали? Имаме тези две напълно различни неща, които не са първоначалните функции, които разглеждаме. Разглеждаме тази функция от единичните тангенциални вектори, а после разглеждаме понятието дължина на дъгата. Причината, между другото, да използвам s тук, както и тук за параметричната крива е, че всъщност тези две неща са свързани. Но ще обсъдим това малко по-късно. За да стане ясно какво имам предвид, ще разгледаме един пример, в който параметричната крива по отношение на t е двойка косинус-синус. Косинус от t е х-компонентът, а синус от t е у-компонентът. За да не бъде много скучно, да умножим двата компонента по константата r. Това означава – може би го разпознаваш – двойката косинус-синус означава, че в тази равнина ху всъщност чертаем една окръжност с радиус r. Това е някаква окръжност с радиус r. Докато разглеждаме този пример, искам да обърна внимание как биха изглеждали нещата малко по-абстрактно. Ако имаме просто s от t равно – но не на някаква конкретна функция, както съм дал тук, а равно просто на някаква функция като х-компонент и като у-компонент... Искам да разгледаме пример с конкретна функция, защото така е по-разбираемо и лесно, нещо, с което можем да работим, но е толкова просто, че не ни показва цялата сложност в общия случай, който е по-сложен, така че по същество ще обърка нещата твърде много. Затова е хубаво да разгледаме двата случая паралелно. Първата стъпка е да разберем какъв е този единичен тангенциален вектор. Каква е тази функция, която във всяка отделна точка ни дава единичния тангенциален вектор към кривата. Първо трябва да разберем, че вече имаме представа какво ще ни даде тангенциалния вектор – производната на на нашата векторна функция като функция от t, посоката, в която сочи, е посоката на допирателната. Ще се преместя ето тук и ще изчисля производната, ще кажа, че s прим от t, тук просто трябва да намерим производните на двата компонента, така че производната на косинус е минус синус от t, умножено по r, а производната на синус е косинус от t, умножен по r. В общия случай, това ще бъде просто – винаги, когато имаме функция с два компонента, просто намираме производните на всеки от компонентите ѝ. Надявам се, че това ти е познато, но ако не е, можеш да гледаш уроците за намиране на производна на функция от радиус-вектор. Това можем да интерпретираме като този тангенциален вектор, но това може и да не е единичен вектор, нали? Трябва ни единичен тангенциален вектор, защото той ни показва само посоката. Сега ще го нормализираме и получаваме функция от единичния тангенциален вектор, която ще означа с главно Т от малко t, което е малко объркващо, нали? Главно Т е тангенциалният вектор, а малко t е параметър. Ще се опитам да не ги обърквам. Това е стандратният начин за обозначаване, но той крие опасност да се получи объркване. Равно на нашата векторна производна s прим от t, но нормализирана. Така че трябва да разделим на дължината на вектора като функция от t. В този случай, в един конкретен пример тази дължина... ако вземем минус синус от t, умножено по R, а после косинус от t, умножено по R, получаваме дължината на целия вектор, и получаваме... ще си направя още място тук – получаваме корен квадратен от синус на квадрат, минус синус на квадрат е просто синус на квадрат, така че синус на квадрат от t, умножено по R на квадрат, а след това тук косинус на квадрат по R на квадрат, квадрата на косинус от t по R на квадрат, можем да изнесем това R на квадрат извън корена, изнасям го и то става R. Под корена остава синус на квадрат плюс косинус на квадрат. В момента ме мързи да напиша t, защото независимо какво е това t, всичко това тук е просто равно на 1. Цялото това нещо е равно просто на R. Това означава, че нашият единичен тангенциален вектор ето тук е нашата първоначална функция, но разделена на R. Това е просто една константа, което обикновено не е така, но в този случай това е константа. Как изглежда това, ако нашата първоначална функция е минус синус от t по R и косинус от t по R. Делим на R и крайната функция, която получаваме, е просто минус синус от t и после косинус от t. Понеже се опасявам, че клипът стана твърде дълъг, мисля да спра дотук и да продължа разсъжденията в следващото видео.