Формула за кривина на произволна крива, част 3

Продължаваме от там, където прекъснахме предишното видео – търсим функцията на този единичен тангенциален вектор, който е параметризиран. Конкретният пример, който имаме, е функция, която е уравнение на окръжност с радиус R, като паралелно искам да покажа как изглеждат нещата за общия случай. Тук ще напиша абстрактната половина на това, което направихме тук за единичния тангенциален вектор. По същество тук имаме същото нещо, където единичния тангенциален вектор трябва да е производната на функция, която знаем, че дава допирателна. Но може да не е единица. Тогава ще я нормализираме. Намираме големината на тази функция от тангенциалния вектор. В конкретния пример с окръжността, след като направим това и повдигнем на квадрат х-компонента и у-компонента, после малко опростяваме и получаваме функцията R. В общия случай обаче може да нямаме такъв късмет. Големината на тази производна е корен квадратен от х прим от t, на квадрат. Нали така? Това е х-компонентът на производната. Плюс у прим от t на квадрат. Просто намираме дължината на този вектор. Когато разделим цялата функция на това, полученото не се опростява по начина, по който се опрости в примера с окръжността. Вместо това получаваме х прим от t, което е х-комопентът, на нашето s прим от t, и трябва да разделим на цялата дължина, която е ето този израз, нали? Трябва да разделим на целия този израз с корен квадратен. Просто ще напиша едно многоточие, което означава, че това е този израз тук с корен квадратен. По същия начин ето тук имаме у прим от t, делено на този целият израз отново, нали? Опростяването не винаги е възможно. Беше една щастлива случайност в примера с окръжността. Сега искаме – след като получихме единичния тангенциален вектор като функция от този същия параметър, това, което се надяваме, да получим, е производната на този единичен тангенциален вектор по отношение на дължината на дъгата s, и да намерим дължината му. Това е кривината. Начинът, по който правим това, е да намерим производната по отношение на параметъра t, така че това е d голямо T, d малко t, и после делим на производната на нашата функция s по отношение на t, която вече намерихме. Причината да правя това е, че, досещаш се, грубо казано, ако разглеждаме означенията, можем да кажем, че един вид съкращаваме тези dt във всеки член. Друг начин да го разглеждаме е да кажем, че когато имаме нашата функция от тангенциалния вектор като функция от t, не сме сигурни как се променя параметърът t по отношение на s, нали? Това е нещо, което не го знаем пряко. Но знаем пряко промяната му по отношение на една малко промяна на този параметър. Ако просто коригираме това, като се запитаме колко се променя дължината на кривата, колко далеч се преместваме по тази крива, когато се промени този параметър? Ако се върнеш и разгледаш чертежа ето тук, това ds/dt ни показва малко изместване във времето, тогава какво е отношението на това преместване тук по отношение на този кратък момент? Причината да получаваме тук вектор с голяма дължина, това не е нещо малко, и така, защото намираме отношението. Може би тази малка промяна е просто един миниатюрен вектор, но ние го делим на 1 върху 1 000 000, или какъвто е размерът на това dt, което разглеждаме. В конкретния пример за тази окръжност виждаме, че големината на този вектор, ако разгледаме дължината на този вектор, тя е равна на R. Тук се получи нещо като поема, нали? Дължината на вектора на производната е същата като разстоянието от центъра. Това означава, че в този конкретен случай, ако искаме да приложим това към примера с окръжността, взимаме dT, функцията на тангенциалния вектор, ще го напиша ето тук – имаме производната на нашия тангенциален вектор по отношене на параметъра, и сега отивам нагоре и виждаме че единичният тангенциален вектор е с формула минус синус от t и косинус от t. Производната на минус синус от t е минус косинус. Значи тук трябва да бъде минус косинус от t. Другият компонент, у-компонентът, производната на косинус от t, когато диференцираме нашата функция от единичния тангенциален вектор, получаваме минус синус от t. Това означава, че дължината на тази производна на тангенциалния вектор по отношение на t – колко е дължината на този вектор? Получихме косинус и получихме синус. Тук няма нищо друго. Получаваме косинус на квадрат плюс синус на квадрат. Значи тази дължина е равна на единица. Когато направим това, което трябва, ето тук, и като разделим на дължината на производната – разделяме ето това на дължината на производната ds/dt. Но ние вече изчислихме дължината на производната. Тя е R. Ето така получаваме това R, като намерим производната ето тук, а после взехме дължината и го намерихме. Получихме, че в конкретния пример с окръжността кривината на кривата на функцията, която търсим, е просто константата 1 върху R. Което е чудесно и много полезно, защото казах в първото видео за кривина, че тя се определя като 1 делено на радиуса на окръжността, която най-плътно пасва на кривата. Ако кривата е окръжност, това буквално е окръжност, тогава кривата, която най-плътно пасва на окръжността, е самата тя. Така че трябва да очаквам, че нейната кривина ще бъде 1 върху R. В общия случай, ако разгледаме какво трябва да е това, можем да си представим колко ужасяващо ще бъде да изчислим това. Имаме нашата функция на тангенциалния вектор, която самата е твърде дълга, че да мога да я напиша. Просто сложих многоточие там, където трябва да напиша х прим от t на квадрат, плюс у прим от t на квадрат. Трябва да вземем това и да намерим производната му по отношение на t. Това няма да е никак лесно – намирането на тази производна. Взимаме дължината на това и го разделяме всичко това на големината на производната на нашата първоначална функция. Това, което смятам да направя, е да не правя нищо от това. Това е твърде трудоемко и не съм сигурен, че ще ни е полезно, за да преминем през всички тези стъпки. Но за всички, които се интересуват и са любопитни, ще направя отделна статия, в която всеки ще може да премине през всички тези стъпки със собствената си скорост и да види как се извежда формулата. Сега само ще ти кажа, че – малко развалям изненадата – ще ти кажа каква е формулата: тя е х прим, производната на първия компонент, умножена по у прим прим, втората производна на втория компонент, минус у прим, първата производна на втория компонент, умножена по х прим прим. Всичко това е разделено на компонента на дължината, х прим на квадрат плюс у прим на квадрат. Целият израз е повдигнат на степен две трети. Може би виждаш защо получаваме такива членове. Защото намираме производната, когато намерим производната на функцията на единичния тангенциален вектор, имаме корен квадратен в нея, корен квадратен от х прим и у прим, така че ето от тук получаваме х прим прим и у прим прим, вторите производни. Правилото за диференциране на сложна функция ни довежда до тук. Може би разбираш защо целият този член х прим на квадрат, у прим на квадрат се запазва и в крайна сметка идва ето тук на степен три втори. В следващото видео смятам да продължа и да опиша логиката за това, че тази формула не е случайна. Защо, ако разтълкуваме какво означава този израз, той ни дава представа за кривината. Големината на кривината на кривата, която искаме да измерим. Това е един вид трети начин да се разглежда това. Първият – казах ти, че е окръжността, която най-плътно покрива кривата, като разглеждаме 1 върху радиуса на тази окръжност. Вторият начин е да разгледаме dt/ds, промяната на единичния тангенциален вектор по отношение на дължината на дъгата и да вземем неговата дължина. Разбира се, всички тези стойности са еднакви, но един вид има три начина да се разглеждат, или да се заместят разни неща, когато имаме някаква функция. Ще използвам пример, ще разгледаме пример, за който ще изчислим наистина кривината на крива, която не е обикновена окръжност. Засега е това, до скоро!