Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Формула за кривина на произволна крива, част 4

След като в предишното видео показахме явната формула за кривината на произволна крива, сега ще разгледаме логиката защо тази формула описва кривината. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

И така, досега разглеждахме кривина на произволна крива. Това означава, че ако имаме някаква параметрична крива, можем да я разглеждаме като параметризирана чрез векторната функция S от t. Кривината на кривата измерва колко се извива дадената крива. Тук тя се извива доста много, значи кривината е голяма. Но ето тук, виждаш, кривата е относително права, значи кривината е малка. В последното видео ти показах една доста сложна формула. Само да припомним обстоятелствата – казах, че тази кривина, която означаваме с малката буква капа, обикновено се изчислява като производната на функцията от единичния тангенциален вектор – става въпрос за някаква функция, която дава единичните тангенциални вектори във всяка отделна точка. Досещаш се, че това е просто вектор, който има дължина единица и лежи върху допирателната към кривата. Това е някаква функция на един и същ параметър. С голямо Т означаваме тангенциалния вектор, а с малка буква t означаваме параметъра, надявам се, че това не те обърква прекалено много. След това намираме производната на тази функция, но не по отношение на параметъра t, а по отношение на дължината на дъгата s. Под дължина на дъгата имам предвид една съвсем малка стъпка по протежение на кривата, която приемаме, че има дължина ds, така че със s обикновено означаваме дължината на кривата, а ds е една съвсем малка промяна на дължината. Задаваме си въпроса колко се променя този единичен тангенциален вектор. По-точно имам предвид, че ако си представим някакви тангенциални вектори, които лежат в някакво собствено пространство, като всички те имат дължини единица, всички тези вектори имат еднакви дължини и да кажем, че започват от една и съща точка. Вместо да ги чертая, че започват от кривата, за да покажа, че са тангенциални, аз просто искам да ги поставя в тяхно собствено пространство. Производната или промяната на тангенциалния вектор е равна на друг вектор, който показва как преминаваме от един от тези вектори към друг, или един вид показва колко се завъртаме. Самата кривина не се представя с този вектор, защото тогава тя ще е векторна величина, а с неговата дължина. В последното видео казах, че се оказва, че тази величина, когато я разглеждаме като векторна функция с компоненти х от t и у от t е равна на една много сложна формула. В това видео ще разгледаме тази формула и ще ти покажа защо тя въобще не е нещо случайно. Тя всъщност е много прецизна като описание на това колко се извива кривата в дадена точка. Първо да разгледаме числителя. Той е х прим от t – първата производна на първия компонент, по втората производна на втория компонент, минус – и след това симетрично в известен смисъл – минус у прим по х прим прим. Може би това ти прилича на векторно произведение. Ако умножим векторно х прим по у прим, които също са функции от t, тогава това е векторното произведение на вектор с друг вектор, който съдържа втори производни. Ако векторното произведение ти е непознато, или ако изпитваш известна неувереност и ако искаш да си ги преговориш, сега е подходящият момент да поставиш видеото на пауза и да гледаш уроците за векторно произведение, за да си припомниш как се изчислява и какво представлява. Защото начинът, по който изчисляваме векторно произведение, е този, че взимаме компонентите по диагонал – този диагонал надясно, и ги умножаваме. От тук се появява този член х прим по у прим прим. После изваждаме произведението на компонентите от другия диагонал – това е един вид като детерминанта на матрица – х прим прим, по у прим. Но начинът, по който разглеждаме този вектор... ще го покажа след малко. Първо искам да напиша какво означава това от гледна точка на функцията S. Първият вектор е просто първата производна на функцията S, така че това е s прим от t, първата производна на функцията S. Умножаваме я по това тук, което е втора производна на векторна функция, което е втората производна на S. Преди да минем нататък искам да помислим какво означават тези два вектора. Как да тълкуваме векторите s прим и s прим прим? Ще направя малко място ето тук. Ще начертая отново кривата. Това е равнината ху, в която е дадена някаква крива. Самата функция S представлява вектори, чиито върхове очертават тази крива, нали? Когато Т се променя, върховете на тези вектори проследяват кривата. Първата производна, векторът на първата производна s прим от t ни показва как се движи този връх по протежение на кривата – когато отиваме от един вектор s към друг каква трябва да е посоката на този връх. Това означава, че в някаква конкретна точка, когато един вид разглеждаме границите на това, когато разглеждаме само много малки промени на първоначалния вектор, тогава винаги получаваме някакъв тангенциален вектор, нали? Всички тези вектори са тангенциални вектори, като не е задължително да са единични вектори, може да имаме много дълъг тангенциален вектор, което показва, че се движим много бързо в това пространство. Как можем да обясним значението на вектора на втората производна, s прим прим от t? Начинът да отговорим е да разглеждаме всички тангенциални вектори в някакво тяхно собствено пространство. Ако това тук е S от t, искам просто да разгледам отделно как изглежда S прим от t. Всеки един от тези вектори – представи си, че този първият вектор е някакъв гигантски, много дълъг вектор, което показва, че се движим много бързо. След това тук имаме нещо друго, друг вектор, който може би сочи малко надолу. И ти разглеждаш как се променят всички тези вектори на производната, но искам те всички да започват от една точка. Само за да видим какво се случва, когато те започват от едно начало, защото това ни дава възможност да разглеждаме как изглежда промяната на вектора. По-конкретно, когато се движим от този вектор към този вектор, върхът трябва да се движи в тази посока, нали? Значи стойността на втората производна ще ни покаже как трябва да се движи върхът на вектора на първата производна. По същия начин ето тук това ни показва как трябва да се движи върхът на този вектор. Само като пример и един вид подсказка – защо това е свързано с кривината – ако имаме крива, която се извива много остро, ще имаме тангенциален вектор, който сочи нагоре и надясно, а после много бързо ще се насочи надолу надясно. Така че ако начертаем тези вектори самостоятелно, като всички вектори започват от една и съща точка, тогава виждаш, че векторът на втората производна един вид ни показва да се обърнем в тази посока. И ако разгледаме не само тези два вектора, а много, много малка промяна, тогава, когато се преместваме от единия вектор до другия ще получим този вид кръгообразно движение за всички тези вектори. Векторът на втората производна ще бъде перпендикулярен на вектора на първата производна като един вид да го накара да се завърти. Ако начертаем това отделно, ако имаме векторът на първата производна, и после векторът на втората производна е перпендикулярен към нея, той показва как да се завърти по някакъв начин. Но ако той не е идеално перпендикулярен, ако е насочен към него, тогава това означава, че този вектор, векторът на първата производна ще се смали. Така че това показва, че не само се върти, но и се смалява, което означава, че вероятно траекторията на S вероятно се забавя. Ако пък го завърта, но сочи навън, това означава, че векторът на първата производна нараства. Той не само се премества по кривата, но и също така имаме забързване. Това, което ни интересува най-много, е да определим колко вертикален е той, нали? Тук идва на помощ векторното произведение, защото, ако се замислиш как тълкуваме това векторно произведение, по същество това е площта, ако един вид умножим тези два вектора, начало към край, както са, и ако разгледаме успоредникът, който се получава от тях. Да видим, това е тази синя прекъсната линия, която трябва да е успоредна на синия вектор. Площта на този успоредник, очертан за всеки от векторите, това е, което ни казва как да тълкуваме това векторно произведение, векторното произведение на s прим и s прим прим. Това векторно произведение, като определим това лице, това е един вид мярката колко вертикални са двата вектора, нали? Понеже, ако някой от тях, ако сочи твърде много в същата посока, а те са слабо вертикални, това означава, че успоредникът, който образуват, ще има много малка площ. Той ще има сравнително по-малка площ. Понеже не искам това видео да става прекалено дълго, ще спра дотук и ще продължа в следващото същите разсъждения, за да получим търсената формула.