Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Формула за кривина на произволна крива, част 5

Обобщение за логиката как свързваме кривината с векторното произведение на първата и втората производна на една параметрична функция. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега да обобщим всичко дотук. Разглеждаме формулата за кривина на произволна крива (записана горе вдясно със зелено) и се опитваме да разберем как тя съответства на кривата, как ни показва колко се извива дадената крива. Най-напред ни направи впечатление, че този числител съответства на едно векторно произведение – векторното произведение на първата производна и на втората производна на функцията на параметричната крива. Начинът, по който разглеждаме това, е да кажем, че функцията, която съответства на параметричната крива, функцията S от t ни дава вектори, чиито върхове проследяват самата крива. Ако разгледаме как преминаваме от върха на един вектор към върха на другия вектор, посоката, в която се движим от този връх към другия връх това представлява първата производна на функцията. Ако разглеждаме едно много малко преместване, получаваме тангенциалните вектори по протежение на кривата, като имаме цяла поредица от видео уроци за това – за производната на една функция на радиус-вектора, като в тях се обяснява защо първата производна на една параметрична функция ни дава тангенциалните вектори на тази крива, но ако начертаем всички тези тангенциални вектори в едно друго пространство, в едно тяхно пространство s прим от t, ако начертаем тук всички тези вектори, като всички те започват от една и съща точка, тогава лесно можем да видим връзките между тях. Начинът, по който се придвижваме от един връх до друг представлява втората производна, която един вид играе същата роля спрямо първата производна, каквато първата производна играе спрямо първоначалната параметрична функция. По-точно, ако имаме случай, в който тангенциалните вектори просто си сменят посоката, единственото нещо, което правят, е да си сменят посоката, това се случва, когато нашата крива се извива, съответства на случая, когато втората производна на функцията е почти перпендикулярна като вектор. Векторът, който е нейната изходна стойност, е перпендикулярен на вектора на първата производна. Това, грубо казано, е причината векторното произведение да бъде добър начин за измерване на кривината, защото ни казва колко вертикални са тези вектори. Но тук има уловка. Оригиналната формула за кривината – причината да я измерваме по отношение на дължината на дъгата, а не по отношение на параметъра t, е това, че кривината не се интересува от това как сме параметризирали функцията. Ако си представиш, че се носим по кривата много бързо, тогава векторите на първата производна ще са много дълги, но това няма значение в сравнение с бавно пълзене със скорост на костенурка. Кривината винаги е една и съща. Но това е проблем, ако се върнем и разгледаме векторното произведение, което имаме ето тук, където намираме векторното произведение на първата производна и на втората производна, защото, ако се движим по тази крива с два пъти по-голяма скорост, това как ще се отрази на вектора на първата производна – ще го начертая тук отново – той ще бъде с два пъти по-голяма дължина, което показва, че се движим два пъти по-бързо. По същия начин векторът на втората производна, един вид за да е в унисон с променящата се скорост, също ще бъде с два пъти по-голяма дължина. В резултат на това успоредникът, който се получава... тук излизам малко извън екрана... Успоредникът, който се получава, ще има четири пъти по-голяма площ. Нали? Защото и двата вектора са два пъти увеличени. Начинът, по който искаме да разсъждаваме, е да вземем не самия тангенциален вектор на производната, а неговата нормализирана версия. Това е логично, защото ние разглеждаме единичните тангенциални вектори за цялата кривина. Така че си представи, че вместо това ние намаляваме вектора, така че да достигне дължина единица. Това означава, че взимаме вектора на производната и го разделяме на неговата собствена дължина, на дължината на този вектор на производната. После по същия начин намаляваме всичко, така че взимаме тези вектори и ги намаляваме до дължината, която искаме. Полученият успоредник, който те очертават, сега ни дава по-добра представа какъв ъгъл сключват те, без да ни интересува тяхната дължина. А този вектор тогава, този вектор на втората производна, не го нормализираме спрямо собствената му дължина, но го разделяме – това, на което го разделяме, когато го намаляваме, отново е дължината на вектора на първата производна. Така че това векторно произведение, ако намерим векторното произведение на нормализираните вектори s прим и s прим прим, о, не, не, извинявам се, на самия s прим, трябваше да кажа, че това са вектори, всичко това са вектори. Ако намерим векторното произведение на този вектор с вектор s прим прим, като вторият вектор е мащабиран със същата стойност като s прим, значи той не е нормализиран, той просто е мащабиран с коефициента на s прим. Това ни дава по-чисто измерване на това колко вертикален е векторът на втората производна спрямо вектора на първата производна. Причината да не искаме да нормализираме вектора на втората производна е – ако това е случаят, както се досещаш, втората производна е много, много силна и не е непременно единичен вектор, така че тя просто ни казва, че тангенциалният вектор се върти много по-бързо и следователно кривината е по-голяма. Всъщност, се оказва, че целият този израз е производната на единичният тангенциален вектор Т, този единичен тангенциален вектор, който често споменавам, производната му по отношение на параметъра t. Независимо какъв е параметърът на нашата първоначална функция. Сега, ако се върнем тук, не съм сигурен дали в предишното видео, или във видеото преди него, но споменах, че когато вземем... когато разглеждаме тази производна на тангенциалния вектор по отношение на дължината на дъгата, начинът, по който го изчисляваме, е първо да намерим производната по отношене на параметъра, което можем да направим, защото всичко е изразено чрез този параметър, а след това да го разделим на – по същество на промяната на дължината на дъгата по отношение на този параметър, което е размерът на тази функция първа производна. Ако това цялото нещо е производната на тангенциалния вектор по отношение на t, това означава, че когато я намерим и разделим цялото това нещо на производната, на s прим, това ще ни даде кривината, което си заслужава да го запиша. Това е кривината. Кривината е равна на... сега аз ще взема... имаме три пъти големината на s прим – виждаме големината на s прим ето тук, големината на s прим тук и големината на s прим ето тук. Понеже я виждаме три пъти, ще дойда ето тук и ще поставя това в знаменателя, но на трета степен, значи s прим – векторът на производната, дължината на този вектор на производната, на трета степен. После отгоре пак имаме s прим, векторното произведение на s прим и на s прим прим, този вектор тук. Можеш да разглеждаш това като друга формула за кривината, което мисля, че вече е четвърта формула. Или можеш да я разглеждаш като същото нещо, защото ако погледнем назад към първоначалната формула, която се опитвам да разтълкуваме, това е просто една обяснена нейна версия, защото – какъв е този компонент в знаменателя? Ако вземем х прим на квадрат плюс у прим на квадрат, ако разгледаме квадратния корен от този сбор, това е все едно, че е повдигнат на степен 1/2, това е дължината на вектора на производната, което донякъде показахме в предишните видеа. След това повдигаме това на трета степен, така че цялата формула, която е много явна по отношение на х и на у, така че ние просто изразяваме идеята, че това е векторното произведение на първата производна и на втората производна. После, понеже нормализираме това, нормализираме по отношение на първата производна, тогава просто мащабираме втората производна със същия коефициент, и този успоредник, който разглеждаме, той един вид се смалява и всичко остава пропорционално. Тогава отново делим на s прим, защото се предполага, че кривината трябва да е изразена чрез s, а не по отношение на t. Така че това е един вид коригиращ коефициент за това каква грешка ще допуснем, ако разглеждаме това по отношение на параметъра t, вместо по отношение на малки изменения на дължината на дъгата. Надявам се, че това прави първоначалната формула малко по-логична, досещаш се, в този пример с две измерения. Това също така ни дава друг теоретичен инструмент за разбиране на друг начин, по който можем да разглеждаме колко се извива една крива. Мисля, че направих достатъчно видеа и разгледахме различните формули за кривина на произволна крива. В следващите едно или две видеа ще разгледаме някои по-специални криви, за да видим как можем да изчислим кривината им.