Кривина на спирала, част 1

Да изчислим кривината на една тримерна параметрична крива, като съм си намислил една крива, която си има специално наименование. Това е спирала, на която първите два компонента един вид описват окръжност. х-компонентът е косинус от t, а у-компонентът е синус от t. Кривата е тримерна, защото описва нещо малко по-различно от окръжност. Последният компонент е t делено на 5. Можем много добре да онагледим тази крива. Тук отстрани ще покажа илюстрация. Това се нарича спирала и виждаш как, ако гледаме от перспективата на равнината ху тя изглежда все едно описва окръжност, като в действителност всички тези линии са подравнени, но когато ги гледаме така, заради перспективата те изглеждат по-малки, когато се отдалечават. Но това реално е просто описване на окръжност, а после компонентът z – когато z нараства, когато нараства параметърът t, един вид това се издига като една спирална стълба. Преди да изчислим кривината, да видим какво ще правим, какво представлява това. Представи си, че може би това е един път, но това е един вид космическа магистрала, по която летиш, твоят космически кораб се движи по нея и блокира в някаква точка, по-точно не корабът блокира, а блокират уредите за управление. Воланът или джойстикът блокират, или това, с което управляваш, просто всичко блокира, и ти започваш да описваш кръгове в пространството. Тези кръгове може би изглеждат ето така. Например си завивал/а, докато се движиш по тази спирала, но след това вече не можеш да смениш курса, така че описваш един огромен кръг. Искаме да изчислим радиуса на този кръг. Ако разделим 1 на този радиус, това е търсената кривина. Ще означим кривината с малката буква капа. (У нас се означава с С) Начинът, по който изчисляваме тази кривина, ние още не разглеждаме този кръг, но е добра идея да не забравяме за него. Начинът, по който изчисляваме това, е първо да намерим функцията на единичния тангенциален вектор със същия параметър t, и това означава, че ако си представиш как се извива спиралата в тримерното пространство... Аз не съм толкова добър художник, колкото компютърът, когато трябва да се чертае спирала. Функцията на единичния тангенциален вектор е функция, която ще ти даде тангенциалния вектор във всяка отделна точка, един вид това е посоката на твоя космически кораб, в която той се движи. За да намериш това, намираш производната на твоята параметрична функция. Тази производна ще ти даде тангенциалния вектор, но това може да не е единичен тангенциален вектор, затова ще разделим на дължината на вектора. Така получаваш единичния тангенциален вектор. Това, което искаме да намерим, е производната на този тантенциален вектор по отношение на дължината на дъгата. Първата стъпка е да намерим производната на нашата параметрична функция. Когато намираме производната – за наше щастие тук няма много непознати неща. Търсим s прим, това е обикновено диференциране на функция с една променлива, просто намираме производните на всеки от компонентите. Производната на косинус е минус синус от t. Производната на синус е косинус от t. После производната на t върху 5 е просто константа. Това е 1 върху 5. Много е трудно да повтаряш непрекъснато думичката "производна". Например пет пъти. Значи това е s прим от t, а сега трябва да намерим големината на s прим от t. Това означава, че разглеждаме s прим от t като вектор. Намираме корен квадратен от сумата на квадратите на всички негови компоненти. Минус синус от t, на квадрат, това е просто синус на квадрат. Синус на квадрат, от t. Косинус на квадрат от t. 1/5 на квадрат дава 1 върху 25. Вероятно забелязваш, че получаваме двойки синус-косинус, защото се описва окръжност, а винаги е забавно, когато работим с окръжности. Освен това е приятно, защото нещата често се опростяват, особено когато търсим дължината, защото синус на квадрат плюс косинус на квадрат дават едно. Така че целият израз се опростява до корен квадратен от (1 плюс 1/25). Сега можем да дойдем тук отстрани – това е 25 върху 25, плюс 1 върху 25. Ще си направя още малко място, това е равно на... корен квадратен от 26/25. Понеже 25 е точен квадрат, можем да опростим още малко, ще преобразувам това като корен квадратен от 26, върху 5, което беше корен квадратен от 25. Ето това е големината на нашата производна. Имаме голям късмет, че това беше константа, защото, както сме виждали в общата формула, иначе е много трудоемко за пресмятане. Но в този случай имаме константа, което е хубаво, понеже, когато дойдем тук горе, и когато разгледаме каква е нашата векторна функция от единичния тангенциален вектор за нашата спирала, сега само трябва да намерим производната и да разделим всеки член на дължината. Ще изглежда почти идентично. Това е минус синус от t. Само че ще го разделим на дължината, която е корен квадратен от 26, делено на 5. Идваме тук горе и казваме, че делим това на корен квадратен от 26, върху 5. Това е цялото количество. После по същия начин компонентът у е косинус от t, делено на корен квадратен от 26, върху 5. Последният компонент е една пета, което мога да поставя в скоби, значи делено на същата стойност. Корен квадратен от 26, върху 5. Сега взимаме целия вектор и го делим на дължината му, като отново имаме късмет, че този вектор изобщо е функция, и зависи от t, а дължината не зависи. Така че единичният тангенциален вектор, който получихме, и резултатът е относително прост. Ще спра дотук и ще продължа от същото място в следващия видео клип.