Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Кривина

Как измерваме колко крива е всъщност една крива?

Основни идеи

  • Радиусът на кривината в дадена точка от кривата е, най-общо казано, радиусът на окръжността, допираща се най-точно до кривата в тази точка.
  • Кривината, обозначена с гръцката буква капа (κ), е реципрочната стойност на този радиус. Забележка: у нас кривината понякога се означава и с "С" (от curvature).
  • Като формула, кривината е равна на абсолютната стойност на производната на тангентния вектор спрямо дължината на кривата:
    κ=||dTds||
    В тази статия ще научим как се пресмята тази стойност.
  • Тангентният вектор представлява посоката, в която кривата се "движи", а нейната "скорост" спрямо отмествания с размер ds по кривата е добър индикатор за нейната кривина.

Шофиране по крива

Разглеждаме произволна крива в равнината. Засега да обърнем внимание само на графиката ѝ:
Представи си, че шофираш по протежение на кривата и искаш да разбереш колко трябва да навиваш волана във всеки даден момент. В някои точки "улицата" е почти права, а в други има остри завои.
Ако в някой определен момент механизъм заключи волана в съответната му позиция, то колата ще продължи да се движи и ще опише окръжност (отбелязана в зелено):
Ако воланът е завъртян повече в момента, в който механизмът се задейства, тази окръжност ще има по-малък радиус. Ако колата се е движела почти направо, то окръжността ще има голям радиус. Следната анимация показва тези окръжности (отбелязани в зелено) в различни точки от кривата. Радиусът на всяка една окръжност е отбелязан в червено.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Радиусът, съответстващ на всяка точка от кривата, се нарича радиус на кривината в точката. Този радиус измерва колко крива е кривата в тази точка.
Другият важен термин в тази статия е кривина, реципрочната стойност на радиуса на кривина. Кривината често се обозначава с гръцката буква κ (капа):
κ=1R
Упражнение: Когато дадена крива е почти права линия, кривината ѝ е
Избери един отговор:

Как пресмятаме кривина

Дадена е графиката на функция в равнината. Например, нека
s(t)=[tsin(t)1cos(t)]
Това е векторен запис на функцията, параметрично зададена чрез уравненията
x(t)=tsin(t)y(t)=1cos(t)
Намирането на кривината на тази функция включва две основни стъпки:

Стъпка 1: Намиране на единичния тангентен вектор

"Единичният тангентен вектор" към кривата в дадена точка е, както бихме предположили, тангентен вектор с дължина 1. За параметрична крива s(t), намирането на един тангентен вектор обикновено включва намиране на всички единични тангентни вектори и заместване на определена стойност на t. Търсим векторна функция T(t), чиито стойности съответстват на единичните тангентни вектори по кривата в точките s(t).

Стъпка 2: Намиране на dTds

При движение по кривата s(t) единичният вектор променя посоката си според кривината. При остри завои се променя много, а в сравнително прави участъци се променя малко. Всъщност дефиницията на кривината κ е производната на тангентния вектор.
Няма особен смисъл да разглеждаме производната по t, тъй като нейната стойност зависи от скоростта, с която се движим по кривата. Вместо това търсим производната спрямо единица дължина на дъга от кривата (обозначена с s).
κ=||dTds||
Обикновено пресмятаме тази стойност като отношението на производната на T спрямо параметъра t и ||dsdt||.
||dTds||=||dTdt||||dsdt||

Намиране на единичния тангентен вектор

Нека се върнем към дадената функция:
s(t)=[tsin(t)1cos(t)]
В статията за производни на векторни функции научихме, че производната на тази функция е вектор на скоростта, с която се движим по кривата.
dsdt=[ddt(tsin(t))ddt(1cos(t))]=[1cos(t)sin(t)]
Например, ако заместим t=π във формулата за производната, получаваме:
[1cos(π)sin(π)]=[20]
С отправна точка s(π), този вектор представлява скоростта на частица, която се движи по кривата, в момента t=π.
Тъй като търсим единични вектори, трябва да нормализираме получената производна. Например тангентния вектор, който току-що пресметнахме, има дължина 2, а 21[това не се нуждае от доказване, нали?].
Упражнение: Според формулата за s(t),
s(t)=[1cos(t)sin(t)]
каква е дължината на тангентния вектор (като функция от времето t)?
Избери един отговор:

Упражнение: Какъв е единичният вектор, успореден на вектора v=[21]? (Отговорът на това упражнение не е свързан с разглежданата задача, това е само упражнение с единични вектори.)
Избери един отговор:

Ключов въпрос: Кой от следните изрази е единичният тангентен вектор към кривата s (като функция от времето t)?
Избери един отговор:

Пресмятане на кривина с помощта на тангентния вектор

Вече знаем на колко е равен единичният тангентен вектор. От сега нататък ще го обозначаваме с T (главна буква, за разлика от параметъра t):
T(t)=s(t)||s(t)||
Кривината κ е абсолютната стойност на производната на единичния тангентен вектор, обаче спрямо дължината s на кривата, а не на параметъра t.
κ=||dTds||
Най-удобно е да пресметнем този израз като частното на производната на T спрямо параметъра t, и на ||s(t)||, което е просто dsdt.
κ=||dTds||=||dTdt||||dsdt||

Интуиция

Нека спрем за момент и помислим какво означават тези изрази. Производната на T(t) описва изменението на тангентния вектор с времето t. Тъй като този вектор винаги е единичен, се променя само неговата посока, но не и дължината.
В определен момент t0 векторът dTdt(t0) с отправна точка T(t0) представлява вид "указание" за посоката на вектора T(t) след точката T(t0).
Тъй като дължината на T(t0) не се променя, производната винаги е перпендикулярна на T(t0); иначе производната би скъсила или удължила вектора.
Когато производната представлява дълъг вектор, тангентният вектор променя посоката си рязко. Съответно и кривата също променя посоката си, а радиусът на кривината в тази точка е малък. Това означава, че кривината е голяма. И обратното - ако производната е къса, тангентният вектор почти не променя посоката си, кривата почти не се извива и кривината е малка.
Основната идея обаче е, че кривината не трябва да зависи от скоростта, с която се движим по кривата, тъй като кривината е геометрично свойство на кривата, а не на формулата, чрез която е зададена. Затова търсим производната на T спрямо дължината на кривата s, а не на параметъра t.

Пример: Кривина на спирала

Описаният по-горе метод лесно се обобщава и за повече от две измерения. В този пример ще намерим кривината на следната функция:
v(t)=[cos(t)sin(t)t/5]
Анимацията по-долу изобразява кривата, още наричана спирала. Освен това виждаме и радиуса на кривината във всяка една точка като окръжност, оцветена в зелено. Съответния радиус е отбелязан в червено.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Окръжността изглежда като обръч, който се изкачва по кривата.
Първо, виждаме, че радиусът на зелената окръжност не се променя. Това е специален случай и за повечето криви това не е вярно.
Упражнение: Окръжностите, изобразени в анимацията, не променят радиуса си. Какво можеш да кажеш за кривината κ(t)?
Избери един отговор:

Ако искаш да упражниш знанията си по темата, можеш да пресметнеш съответните производни и кривината сам/а преди да провериш отговорите.

Стъпка 1: Производна

Първата стъпка към намирането на кривината е намирането на производната на дадената функция,
v(t)=[cos(t)sin(t)t/5]
Това ще бъде тангентният вектор към кривата, който след това ще трябва да нормализираме. Пресметни производната сам/а.

Стъпка 2: Нормализирай производната

За да получиш единичния тангентен вектор, трябва да нормализираш получената по-горе производна, тоест да го разделиш на дължината. Каква е дължината на векторната производна от предишната стъпка?
За щастие резултатът е константа. На колко е равен единичният тангентен вектор T(t)?

Стъпка 3: Намери производната на тангентния вектор

За да получиш кривината, сега трябва да намериш абсолютната стойност на производната на тази функция спрямо параметъра t. На колко е равна производната на T(t)?

Стъпка 4: Намери абсолютната стойност

Каква е дължината на този вектор?

Стъпка 5: Раздели на ||v(t)||

За да преминеш от dTdt към dTds, трябва да разделиш на абсолютната стойност на производната на дадената в задачата функция.
Отговорът е константа, така че кривината е една и съща във всички точки от кривата.

Обобщение

  • Радиусът на кривината в дадена точка от кривата е, най-общо казано, радиусът на окръжността, допираща се най-точно до кривата в тази точка.
  • Кривината, обозначена с гръцката буква капа (κ), е реципрочната стойност на този радиус. Забележка: у нас кривината понякога се означава и с "С" (от curvature).
  • За да намериш кривината на параметричната функция s:
    • Намери единичния тангентен вектор като нормализираш производната на s:
      T(t)=s(t)||s(t)||
    • Кривината е равна на абсолютната стойност на производната на T(t) спрямо дължината s на кривата. Можеш я пресметнеш по следния начин:
κ=||dTds||=||dTdt||||dsdt||
  • Тангентният вектор представлява посоката, в която кривата се "движи", а нейната "скорост" спрямо отмествания с размер ds по кривата е добър индикатор за нейната кривина.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.