Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 8: Производни на векторни функции (уроци)

Производни на векторни функции

Класна стая на Google

Как пресмятаме производни на векторни функции, и по-важно, какво представляват.

Преговор

Основни идеи

Производната на векторна функция е просто векторът от производните на нейните компоненти:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} x(t) \\\\ y(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\\\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}

Ако дадената функция е положението на частица във времето, то производната е векторът на нейната скорост.

Производни на векторни функции

Добри новини! Пресмятането на производна на векторна функция не е нищо ново за теб. Затова и тази статия е толкова кратка. Единственият нов материал е умението да интерпретираш тази производна.

Пример

Дадена е векторната функция start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis в две измерения

\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\\\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}

Производната на start bold text, s, end bold text, with, vector, on top е векторът от производните на двете ѝ компоненти:

\begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(2 \sin(t)) \\\\ \dfrac{d}{dt}(2 \cos(t/3))t \end{array} \right] \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\\\ 2 \cos(t/3) - \dfrac{2}{3}\sin(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}

Производната се означава още с start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis. Това е векторна функция на променливата t, точно както start bold text, s, end bold text, with, vector, on top.

В общия случай, ако функцията start bold text, s, end bold text, with, vector, on top има компоненти x, left parenthesis, t, right parenthesis и y, left parenthesis, t, right parenthesis, нейната производна е

\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\\\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}

Производната като вектор на скоростта.

Как можем да изобразим производната за примера по-горе?

\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t) \\\\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}

Прави впечатление, че стойността на функцията има повече измерения, отколкото аргумента, така че това е параметрична функция.

Всяка точка върху кривата е вектора

\left[ \begin{array}{c} 2 \sin(t_0) \\ 2 \cos(t_0/3)t_0 \end{array} \right]

за определена стойност t, start subscript, 0, end subscript на параметъра. Например, когато t, start subscript, 0, end subscript, equals, 2, този вектор е равен на

\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(2) = \left[ \begin{array}{c} 2 \sin(2) \\\\ 2 \cos(2/3)\cdot 2 \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array}{c} 1{,}819 \\\\ 3{,}144 \end{array} \right] \end{aligned}

Векторите start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis за всички възможни стойности на параметъра t описват следната крива:

Какво получаваме, когато заместим стойност за параметъра t, например 2, в производната?

\begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(2) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(2) \\\\ 2 \cos(2/3) - \dfrac{2}{3}\sin(2/3)\cdot 2 \end{array} \right]\\\\ &\approx \left[ \begin{array}{c} -0{,}832 \\\\ 0{,}747 \end{array} \right] \end{aligned}

Това също е двумерен вектор.

Трудно се вижда какво означава тази производна, ако отправната точка на вектора е началото на координатната система. Но ако поставим началото на вектора в крайната точка точка на вектор start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 2, right parenthesis, тогава тази производна означава скорост:

Ако start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis е местоположението на частица, движеща се в пространството, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е векторът, изобразяващ нейната скорост в момента t, start subscript, 0, end subscript.
Производната е допирателен вектор към кривата.

Посоката на този вектор е допирателна към кривата, и неговата дължина описва скоростта, с която частицата се движи по кривата.

Упражнение: Местоположението на частица в двумерното пространство като функция на времето t е дадено от функцията

\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t^2 \\\\ t^3 \end{array} \right] \end{aligned}

Задача 1

На колко е равна производната start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction?

(Избор А)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 3t^2 \\\\ 2t \end{array} \right] \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2t \\\\ 3t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$
(Избор В)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} t \\\\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$

Задача 2

Каква е скоростта на частицата в момента t, equals, 3?

(Избор А)
square root of, 6, squared, plus, 27, squared, end square root, approximately equals, 27, comma, 659
(Избор Б)
6, squared, plus, 27, squared, equals, 765

Обобщение

Производната на векторна функция е просто векторът от производните на нейните компоненти.
Ако дадената функция е положението на частица във времето, то производната е векторът на нейната скорост.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.