Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Производна на сложна функция на много променливи, опростена версия

Формулата за производна на сложна функция може да бъде адаптирана и за функции на много променливи. В тази статия виждаме как изглежда тази формула, когато композицията е функция само на една променлива.

Основни идеи

  • Дадени са функциите f(x;y), x(t) и y(t). Ето как изглежда формулата за производна на сложна функция на много променливи:
ddtf(x(t);y(t))Производна на сложна функция=fxdxdt+fydydt
  • Ако използваме запис като вектор: v(t)=[x(t)y(t)], формулата може да се изрази чрез градиента на f и производната на v(t).
ddtf(v(t))Производна на сложна функция=fv(t)Скаларно произведение

В общия случай

Формулата за производна на сложна функция на много променливи е просто обобщение на добре познатата ни формула за функции на една променлива, която ни казва как да пресметнем производната на композиция от две функции:
ddtf(g(t))=dfdgdgdt=f(g(t))g(t)
Какво получаваме ако вместо една променлива t, функцията f има две променливи (x;y)?
f(x;y)=някакъв израз, съдържащ x и y
В този случай не можем да композираме със скаларна функция g(t). Вместо това да разгледаме две скаларни функции x(t) и y(t) като аргументи на f. Композицията на тези общо три функции е скаларна функция на една променлива t, чиято (скаларна) стойност е f(x(t);y(t)), както е показано на диаграмата:
една изходяща стойностf(x(t);y(t))две междинни стойностиx(t)y(t)една входна стойностt
Можем да използваме правилото за диференциране на сложна функция, за да намерим производната на тази нова функция на една променлива f(x(t);y(t)), която включва частните производни на f:
Как се променя f в резултатна това как x се променяпоради една малкапоради една малкапромяна на xпромяна на tddtf(x(t),y(t))=fxdxdt+fydydtТова е обикновена производна,Общата промяна на fОбщата промяна на fне е частната производна tпоради влиянието напоради влиянието напонеже сложната функция имаt върху xt върху yедна входна и една изходна стойност.
Изразът fxdxdt е просто съкратен запис на
fx(x(t);y(t))dxdt(t)
И двата множителя са функции на t, но стойността на fx се пресмята в точката (x(t); y(t)).

Векторен запис

Вместо да разглеждаме функциите x(t) и y(t) отделно, можем да ги съберем в една векторна функция:
v(t)=[x(t)y(t)]
Тогава вместо f(x(t);y(t)) имаме f(v(t)).
Използвайки този запис, производната на сложна функция на много променливи е просто скаларното произведение на градиента на f и производната на векторната функция v(t):
ddtf(v(t))=fx(v(t))dxdt+fy(v(t))dydtПредстави сумата като скаларно произведение=[fx(v(t))fy(v(t))]f(v(t))[dxdtdydt]v(t)=f(v(t))v(t)
Вече лесно се вижда аналогията между познатата ни формула за производна на сложна функция и съответната формула за функции на много променливи:
ddtf(g(t))=f(g(t))g(t)=dfdgdgdt
Градиентът f изпълнява ролята на производна на f, а производната v(t) съответства на производната на функцията g.

Интуитивно обяснение на формулата

За загрявка да си припомним обяснението на формулата за производна на сложната функция f(g(t)). Ето как разбираме тази композиция от функции:
  • Първо g приема аргумента t и го превръща в g(t).
  • След това f приема аргумента g(t) и го превръща в f(g(t))
Производната на f(g(t)) описва връзката между малка промяна на аргумента t и съответната промяна на крайната стойност на функцията.
Нека анализираме двата множителя в получената по-горе формула.
ddxf(g(t))=dfdgdgdt
  • Членът dgdt показва влиянието на една малка промяна на t върху междинната стойност g(t).
  • Членът dfdg показва влиянието на една малка промяна на g върху крайната стойност f(g(t)).
  • Общата промяна на f поради малка промяна на t е резултат от тези две влияния.

Обобщение за повече измерения

Ще използваме същите аргументи, но приложени в многомерното пространство. Векторът v съпоставя точка в равнината на всяка стойност на аргумента t, а f(v(t)) превръща тази точка в равнината отново в скаларна стойност. Въпросът тук е: какъв е ефектът на малка промяна в стойността на t върху стойността на f(v(t))?
Нека разделим на части формулата за производна на сложна функция на много променливи, като покажем компонентите ѝ спрямо функциите x(t) и y(t):
ddtf(v(t))=ddtf(x(t);y(t))=fxdxdt+fydydt
  • Членът dxdt показва как малка промяна на t влияе на междинната стойност x(t).
  • Съответно членът dydt показва как една малка промяна на t влияе на втората междинна стойност y(t).
  • fx е ефектът на малка промяна на координатата x на аргумента на f върху стойността на функцията и, съответно, fy е ефектът на малка промяна на координатата y на аргумента върху стойността на f.
  • Малка промяна на параметъра t съответства на промяна на f(x(t);y(t)) по два начина - първо се променя стойността на x(t), която на свой ред променя крайната стойност на f. Този ефект е равен на fxdxdt.
  • Вторият начин, по който t променя стойността на f(x(t);y(t)) е чрез втората координата y(t). Тази промяна е равна на fydydt.
  • Сборът от тези два ефекта е общата промяна на стойността на функцията f.

Връзка с производната по направление

Може би си забелязал/а, че скаларното произведение във формулата за производна на сложна функция на много променливи прилича на формулата за производна по направление:
f(v(t))v(t)
Това не е случайност! Производната v(t0) в точката t0 е вектор в дефиниционната област на f:
v(t0)=[x(t0)y(t0)]
Ако разгледаме v(t) като параметрична крива в тази дефиниционна област, например траекторията на дадена частица, то производната в определен момент t0 е векторът на скоростта, с която частицата се движи по кривата.
Тогава според формулата за производна на сложна функция, производната на f(v(t)) е производната на f по направление, зададено от v(t).
Малка промяна "dt" в стойността на t индуцира промяна dv в стойността на v(t). А самата дефиниция на производната по направление е че промяна dv в аргумента на f съответства на промяна df в крайната стойност на f, дадена чрез формулата fv=vf.

Пример 1: Със или без формулата за производна

Дадена е функцията f(x;y):
f(x;y)=x2y
Нека v(t) е следният вектор:
v(t)=[cos(t)sin(t)]
Да се намери производната ddtf(v(t)).
Решение без формулата за производна:
Преди да използваме току-що научената формула, нека отбележим, че можем да решим тази задача и просто като запишем f като функция на t:
f(v(t))=f(cos(t);sin(t))=cos(t)2sin(t)
Сега просто пресмятаме производната на този израз:
=ddtcos(t)2sin(t)=cos(t)2(cos(t))+2cos(t)(sin(t))sin(t)=cos3(t)2cos(t)sin2(t)
Разбира се, целта на този пример е да демонстрираме формулата за производна на сложна функция.
Решение с помощта на формулата за производна:
Първо, компонентите на функцията v(t) са
x(t)=cos(t)y(t)=sin(t)
Формулата за търсената производна е
ddtf(v(t))=fxdxdt+fydydt
Заместваме двете частни производни на f(x;y)=x2y и производните на x(t)=cos(t) и y(t)=sin(t) и получаваме
x(x2y)ddt(cos(t))+y(x2y)ddt(sin(t))=(2xy)(sin(t))+(x2)(cos(t))
Искаме да изразим тази производна като функция на t, така че заместваме x=cos(t) и y=sin(t).
(2xy)(sin(t))+(x2)(cos(t))(2cos(t)sin(t))(sin(t))+(cos(t)2)cos(t)=2cos(t)sin2(t)+cos3(t)
Неслучайно отговорът е същия като предишния. Решението чрез формулата за производна на сложна функция е всъщност по-дълго от директното пресмятане, но в следващия пример ще видим, че всъщност е изключително полезна в различен тип задачи.
В следващия пример ще използваме формулата за производна на сложна функция за да преобразуваме уравнение спрямо неизвестна функция.

Пример 2: Неизвестна функция

Температурата в даден двумерен регион е изразена чрез функцията T(x;y), която не знаем. Експериментално намираме температурата в различни точки и изразяваме координатите им x и y като функции от времето:
x(t)=30cos(2t)y(t)=40sin(3t)
Оказва се, че температурата не се променя при тези измервания. Какво можеш да кажеш за частните производни на T?

Обобщение

  • Дадени са функциите f(x;y), x(t) и y(t). Ето как изглежда формулата за производна на сложна функция на много променливи:
ddtf(x(t);y(t))Производна на сложна функция=fxdxdt+fydydt
  • Ако използваме запис като вектор: v(t)=[x(t)y(t)], формулата може да се изрази чрез градиента на f и производната на v(t).
ddtf(v(t))Производна на сложна функция=fv(t)Скаларно произведение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.