If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 11: Дивергенция и ротация (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Производни на функции на много променливи
Дивергенция и ротация (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Дивергенция

Класна стая на Google
Дивергенцията е мярка за промяната на плътността на флуид, чието движение е представено с векторно поле.

Преговор

Основни идеи

  • Тълкуваме векторното поле като поток на флуид.
  • Дивергенцията е оператор, който превръща векторна функция, описваща векторно поле, в скаларна функция, описваща промяната в плътността му във всяка точка.
  • Ето формулата за дивергенция:
    div v⃗=∇⋅v⃗=∂v1∂x+∂v2∂y+⋯\begin{aligned} \quad \text{div}\, \vec{\textbf{v}} = \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial \blueE{x}} + \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial \redE{y}} + \cdots \end{aligned}
където start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, dots са компонентите на вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Промяна в плътността на флуид

Нека разгледаме следното векторно поле:
Това е графиката, но каква е функцията?
v⃗(x;y)=[2x−yy2] \vec{\textbf{v}}(x; y) = \left[ \begin{array}{c} 2x - y \\ y^2 \end{array} \right]
Функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top има два аргумента, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, и стойностите ѝ са също двумерни - по един вектор за всяка двойка аргументи left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis.
Това векторно поле може да бъде разглеждано като поток на флуид. Векторът start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, съответстващ на точката left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, описва движението на частица от флуида в точката left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis. Нещо повече, скоростта на частицата е равна на дължината на този вектор. Следната анимация показва как изглежда флуидът за нашата функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
Обърни внимание, че в някои области флуидът се сгъстява, а в други става по-рядък. Например в горната средна част частиците се разпръскват, а долу вляво от тази област частиците се сгъстяват.
Ключов въпрос: За дадена векторна функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, как измерваме промяната на плътността на частиците около точката left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, когато тези частици се движат спрямо функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis?
Отговорът на този въпрос е: вариация на производната, наречена дивергенция. По-късно ще се върнем към флуидите, а сега само ще въведем това понятие.

Начин на записване и формула за дивергенция

Дивергенцията се означава със същия символ "del", както и градиента. Както при градиента, разглеждаме този символ като вектор от частни производни.
∇=[∂∂x∂∂y⋮]\begin{aligned} \quad \nabla = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}
Дивергенцията на векторната функция start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis е
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left arrow, start text, д, и, в, е, р, г, е, н, ц, и, я, space, н, а, space, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Това е леко безсмислено, тъй като del не е истински вектор. Координатите са оператори, а не числа. Въпреки това този запис е полезен при самото пресмятане на дивергенцията:
∇⋅v⃗=[∂∂x∂∂y]⋅[2x−yy2]=∂∂x(2x−y)+∂∂y(y2)=2+2y\begin{aligned} \quad \\ \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 2x - y \\ y^2 \end{array} \right] \\ \\ &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\blueE{x}-y) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\redE{y}^2) \\ &= 2 + 2y \end{aligned}
В общия случай можем да пресметнем дивергенцията на векторно поле от произволна размерност. Тоест start bold text, v, end bold text, with, vector, on top може да има произволен брой аргументи, стига стойностите на функцията да са със същата размерност (иначе не описва векторно поле). Ако запишем start bold text, v, end bold text, with, vector, on top по следния начин:
v⃗(x1;… ;xn)=[v1(x1;… ;xn)⋮vn(x1;… ;xn)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x_1; \dots; x_n) &= \left[ \begin{array}{c} v_1(x_1; \dots; x_n)\\ \vdots\\ v_n(x_1; \dots; x_n) \end{array} \right] \end{aligned}
то дивергенцията на start bold text, v, end bold text, with, vector, on top е:
∇⋅v⃗=[∂∂x1⋮∂∂xn]⋅[v1⋮vn]=∂v1∂x1+⋯+∂vn∂xn\begin{aligned} \quad \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n} \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{\partial v_1}{\partial x_1} + \cdots + \dfrac{\partial v_n}{\partial x_n} \end{aligned}
Нека обобщим със следната кратка диаграма:

Тълкуване на дивергенцията

Да речем, че дивергенцията на полето start bold text, v, end bold text, with, vector, on top в дадена точка left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е отрицателна.
∇⋅v⃗(x0;y0)<0\begin{aligned} \quad \redE{\nabla \cdot \vec{\textbf{v}}(x_0; y_0) < 0} \end{aligned}
Това означава, че флуидът, чието движение описва start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, се сгъстява в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Например следната анимация показва векторно поле с отрицателна дивергенция в центъра на координатната система.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
От друга страна, ако дивергенцията в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е положителна,
∇⋅v⃗(x0;y0)>0\begin{aligned} \quad \greenE{\nabla \cdot \vec{\textbf{v}}(x_0; y_0) > 0} \end{aligned}
флуидът, движещ се според векторното поле, става по-рядък в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Ето пример:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
И накрая, нулевата дивергенция има изключително важно значение в динамиката на флуидите и електродинамиката. Това означава, че когато даден флуид тече свободно, плътността му остава константа. Това е още по-важно, когато става въпрос за несвиваеми флуиди, например вода. Всъщност самата идея, че един флуид е несвиваем, може да бъде изразена чрез следното уравнение:
∇⋅v⃗=0\begin{aligned} \quad \blueE{\nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = 0} \end{aligned}
Такива векторни полета наричаме "соленоидални". Ето как изглежда едно такова поле:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията

Източници и изтичания

Понякога, когато дадена точка от векторното поле има отрицателна дивергенция, вместо за сгъстяване, говорим за "изтичане" на флуида - все едно в точката има дупка, от която флуидът изтича. Ето как изглежда едно такова изтичане:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
Точките с отрицателна дивергенция се наричат "изтичания" (също и "сифон" или "мивка").
Съответно точките с положителна дивергенция можем да разглеждаме като "източници", постоянно генериращи нови частици от флуида.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията

Дивергенция в по-високи измерения

Макар че всички фигури и анимации досега показват двумерно векторно поле, всички дефиниции лесно се обобщават до повече от две измерения.
Опитай следното упражнение, за да затвърдиш знанията си по темата: Представи си тримерно векторно поле с неговите източници, изтичания и точки с нулева дивергенция.

Пример 1: Пресмятане и тълкуване на дивергенцията

Векторно поле за пример 1
Задача: Дадено е следното векторно поле:
v⃗(x;y)=(x2−y2)i^+2xyj^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x; y) = (x^2 - y^2)\hat{\textbf{i}} + 2xy\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
Да се пресметне неговата дивергенция и да се определи вида на точката left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis - източник или изтичане.
Стъпка 1: Пресмятане на дивергенцията.
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals

Стъпка 2: Заместване на left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis.
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, equals

Стъпка 3: Тълкуване. Източник или изтичане е точката left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis?
Избери един отговор:

Объркващи понятия

Обърни внимание, че положителна дивергенция означава отрицателна промяна в плътността на флуида, и съответно отрицателна дивергенция означава положителна промяна в плътността. Объркващо, а? Понятията "източник" и "изтичане" са като че ли по-естествени, тъй като тълкуваме точките с положителна дивергенция като източници на допълнително количество флуид, а точките с отрицателна - като поглъщащи флуида.
Лично аз често се обръщам към примера, в който f е тъждествената функция - функцията, съпоставяща на всяка точка left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis вектора [xy]\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]. Всички елементи на векторното поле, определено от f, сочат в посока, противоположна на началото на координатната система (виждаш ли защо?). Дивергенцията del, dot, f на това поле е
∇⋅f=∂∂x(x)+∂∂y(y)=1+1=2\begin{aligned} \quad \nabla \cdot f = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\redE{y}) = \blueE{1} + \redE{1} = 2 \end{aligned}
Така че всеки път, когато се зачудя "хм, положителна или отрицателна дивергенция означава разреждане на флуида", се обръщам към тази тривиална функция и си казвам "а, да, положителна дивергенция означава разширяващо се векторно поле".

Допълнителен материал

В следващата статия ще разберем каква точно е връзката между дивергенция и поток на флуид.
По-нататък, след като се запознаем с повърхностните интеграли, ще се върнем към дивергенцията и нейната формална дефиниция.

Обобщение

  • Тълкуваме векторното поле като поток на флуид.
  • Дивергенцията е оператор, който превръща векторна функция, описваща векторно поле, в скаларна функция, описваща промяната в плътността му във всяка точка.
  • Формулата за дивергенция е
    div v⃗=∇⋅v⃗=∂v1∂x+∂v2∂y+⋯\begin{aligned} \quad \text{div}\, \vec{\textbf{v}} = \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial \blueE{x}} + \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial \redE{y}} + \cdots \end{aligned}
    където start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, dots са компонентите на вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Имай предвид, че дивергенцията в някои случаи няма нищо общо с флуиди. Както споменахме и по-рано, това понятие намира приложение и в областта на електродинамиката. Въпреки това тълкуването на дивергенцията като свойство на флуиден поток е изключително полезно при изграждането на интуиция зад сухата формула.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.