Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Логическо тълкуване на формулата за дивергенцията

Защо сборът на определени частни производни има връзка с движението на флуида навън?

Преговор

За загрявка

В предишната статия научихме как се пресмята дивергенция и каква роля играе тя във физиката на флуидите. В тази статия ще придобием интуиция защо дивергенцията на векторно поле описва плътността на флуида, описан от полето. Преди това нека започнем с няколко задачи за загрявка.
Въпрос за размисъл: Дадено е двумерно векторно поле v с компоненти v1 и v2:
v(x;y)=[v1(x;y)v2(x;y)]
Дадени са няколко вектора около точката (x0;y0):
  • Какъв е знакът на v1(x0;y0)?
    Избери един отговор:

  • Какъв е знакът на v2(x0;y0)?
    Избери един отговор:

  • Какъв е знакът на v1x(x0;y0)?
    Избери един отговор:

  • Какъв е знакът на v2y(x0;y0)?
    Избери един отговор:

Интуиция зад формулата за дивергенция

За двумерното векторно поле
v(x;y)=[v1(x;y)v2(x;y)]
имаме следната формула за неговата дивергенция:
v=v1x+v2y
Какво общо има това с промяната в плътността на флуид, следващ закона на полето v(x;y)?
Нека обърнем внимание на всяка от двете компоненти поотделно.
Например, ако v1(x0;y0)=0, тоест ако векторът в точката (x0;y0) е вертикален, и ако производната v1x(x0;y0) е положителна, полето около точката (x0;y0) изглежда така:
  • Стойността на v1(x;y0) се увеличава с увеличаване на стойността на x.
  • Стойността на v1(x;y0) намалява, когато x намалява.
Следователно векторите отляво на (x0;y0) ще сочат наляво, а векторите отдясно на (x0;y0) ще сочат надясно (виж фигурата по-горе). Това предполага, че флуидът тече "навън", поне според координатата x.
От друга страна, ето как изглежда полето, когато производната v1x(x0;y0) е отрицателна:
  • Векторите отляво на (x0;y0) ще сочат надясно.
  • Векторите отдясно на (x0;y0) ще сочат наляво.
Това показва, че флуидът тече "навътре", поне според x-координатата.
Същите разсъждения можем да направим и когато v1(x0;y0) е различно от нула. Например, ако стойността на v1(x0;y0) е положителна и v1x(x0;y0) също е положително, то всички вектори около (x0;y0) ще сочат надясно, но тяхната x-координата ще расте от ляво надясно. Това означава, че флуидът ще се движи бавно към точката (x0;y0) отляво, и ще се отдалечава от тази точка след като я подмине. Тъй като повече частици от флуида се отдалечават от точката, отколкото се приближават към нея, плътността на флуида в тази точка намалява.
Анализът на другата частна производна, v2y, е подобен. Тук става въпрос за промяната на вертикалната компонента на векторите, v2, при движение от долу нагоре (увеличаване на стойността на y).
Например, ако v2(x0;y0)=0, тоест ако векторът в точката (x0;y0) е изцяло хоризонтален, и ако производната v2y(x0;y0) е положителна (вертикалната компонента на векторите се увеличава от долу на горе),
получаваме следната картинка:
  • Векторите под (x0;y0) сочат надолу.
  • Векторите над (x0;y0) сочат нагоре
Това предполага, че флуидът се отдалечава от точката, поне ако разглеждаме само y-координатата.
Съответно, ако производната v2y(x0;y0) е отрицателна, поне вертикално, флуидът се движи към точката (x0;y0).

Дивергенцията е сумата от тези две влияния

Сумата на v1x и v2y е общото влияние на движението на флуида в посоките x и y и знакът ѝ определя дали плътността на флуида се увеличава или намалява в дадената точка.
v=v1xПромяна в плътносттав посока x+v2yПромяна в плътносттав посока y

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.