Формула за дивергенция, част 1

Привет! След като вече имаме обща представа какво е дивергенция на векторно поле, сега ще разгледаме какво представлява нейната формула. Първо искам да ограничим нашата гледна точка до функции, които имат само х-компонент, или по-скоро когато у-компонентът на изходната стойност е нула. Това е някакво векторно поле, и щом векторите имат само х-компоненти, това означава, че всички вектори са с направление само наляво или надясно. Един вид никой от тях не сочи нагоре или надолу. В този случай да започнем да разглеждаме положителна дивергенция на нашето векторно поле в някаква точка (х; у). Ако имаме някаква точка, например тази точка (х; у), която се намира някъде в пространството, има два случая, в които дивергенцията в тази точка е положителна и първият е когато изглежда, че в тази точка не се случва нищо. В този случай Р ще е равна на нула в тази точка. След това отляво нещата се движат наляво, което означава, че Р, х-компонентът на нашата векторна функция, е отрицателен. Това е така, защото х-компонентът на този вектор е отрицателен. След това отдясно векторите се движат надясно. Ето тук Р е положителна. Този случай е пример за положителна дивергенция, когато имаме само х-компонент. Тук ще забележиш, че Р отначало е отрицателна, после става нула, а после става положителна. Промяната в посока х е нарастване на Р. Следователно положителната дивергенция съответства на положителна частна производна на Р по отношение на х. Ако всичко това ти изглежда непознато, ако не знаеш как да разглеждаш частните производни на компонентите на едно векторно поле, имаме урок за това и ти препоръчвам да го гледаш и да си припомниш как разсъждаваме за частната производна на Р по отношение на х. След като го направиш, се надявам, че ще разбереш защо примерът за положителна дивергенция на векторно поле съотвества на положителна частна производна на Р. Спомни си, това не е единственият пример за положителна дивергенция. Има други примери, в които – да кажем, че точката (х; у) всъщност е свързана с някакъв вектор. Това отново представлява нашата точка (х; у) В този конкретен случай Р ще е положителна. Р от (х; у) е положителна в тази точка. Друг пример за положителна дивергенция е когато някои вектори сочат по посока на тази точка, а други вектори сочат наобратно, но векторите, които сочат навън, са с по-голяма дължина от тези, които сочат към точката. Това пак е пример, в който стойността на Р нараства. Стойността на Р отначало е малка, има положителен, но малък компонент, а след това става все по-голям и по-голям. Пак имаме пример, в който имаме положителна частна производна на Р по отношение на х, защото промените на х – когато х нараства, тогава нараства и стойността на Р, което съответства на положителна дивергенция. Можем даже да го разглеждаме по друг начин, когато имаме малък отрицателен компонент на Р в началото. Р е малко отрицателно, но отляво на точката е много отрицателно, а после отдясно е по-малко отрицателно. В този случай изглежда, че имаме движение надясно, когато х нараства. Първо стойностите бяха много отрицателни, а после са малко отрицателни, и накрая са много, много малко отрицателни. Това пак съответства на нарастване на стойността на Р, когато х нараства. Можем да очакваме частната производна на Р по отношение на х – този х компонент на изходната стойност – ще бъде включен във формулата за дивергенция на векторното поле в точката (х; у). В следващото видео ще разгледаме по същия начин какво се случва с компонента у.