Формула за дивергенция, част 2

Привет! В предишното видео разгледахме едно векторно поле, векторите на което имат само х-компоненти, което по същество означава, че всички вектори сочат точно наляво или точно надясно, изобщо не са насочени нагоре или надолу. Тогава стигнахме до извода, че дивергенцията на V – когато определяме дивергенцията на тази векторна функция, тя определено е свързана с частната производна на Р по отношение на х, което е х-компонентът на изходната стойност. Сега ще разгледаме обратния случай, когато имаме функция, за която компонентът Р, първият компонент, е нула, но има някакъв положителен компонент Q, малко положителен, като той може да не е положителен, а просто е различен от нула, значи положителен или отрицателен у-компонент. Това означава, че вместо да разглеждаме векторите, които са насочени наляво или надясно, сега разглеждаме вектори, които сочат точно нагоре или точно надолу. Ще направим почти същото като миналия път, като ще разгледаме случаи, в които дивергенцията на нашата функция в дадена точка е положителна, и пример за това, когато нищо не се случва в самата точка, така че Q е нула, но точно под точката векторите един вид се отдалечават, сочат надолу, а точно над точката векторите сочат нагоре. В този случай ето тук долу Q е малко по-малко от нула, у-компонентът на този вектор е по-малък от нула, а тук горе Q е по-голямо от нула. Това е пример, в който като отиваме от долу нагоре у-компонентът на изходната стойност нараства, докато се издигаме в пространството, стойността на Q – у-компонентът на изходната стойност също се увеличава, защото се променя от отрицателен през нула на положителен. Сега виждаме, че частната производна на Q по отношение на у – когато се променя у и се движим нагоре в пространството, тогава стойността на Q трябва да е положителна, значи имаме положителна дивергенция, която изглежда, че съответства на положителна стойност ето тук. Разсъжеднията ни са почти еднакви на тези, които бяха свързани с х-компонента в последното видео, защото можем да си представим друг случай, в който имаме някакъв вектор, който е свързан с точката и се случва нещо, даже има някаква сходимост по направление на точката, имаме някакъв флуиден поток насочен към тази точка, но той е значително превъзхождан от още по-голяма дивергенция, още по-силен поток над точката, който се отдалечава от нея, и отново можем да си представим, че Q в началото е малко, може би е близко до нула, а после Q става положително, и после става още по-положително, което означавам тук по този начин, но искам да си представиш нещо малко, което после става средно и след това става голямо, като отново, представата за частната производна на Q по отношение на у, която е по-голяма от нула, изглежда съответства на положителна дивергенция, а ако искаш, можеш да скицираш още много примери и да разгледаш какво се случа, ако векторът сочи надолу, как ще изглеждат тогава положителна, отрицателна и нулева дивергенция. Но изводът от всичко това, до голяма степен по същата логика както в предишното видео, е, че частната производна по отношение на у съответства на дивергенцията. Когато комбинираме това с нашите изводи за компонента х, това е всичко, което е необходимо да знаем за дивергенцията на векторното поле. Само ще запиша всичко това – ако имаме векторна функция от х и у, имаме двата ѝ компонента, Р е х-компонентът на изходната стойност на функцията, първият компонент на изходната стойност, и Q, вторият компонент, тогава разглеждаме двата компонента едновременно, начинът, по който изчисляваме дивергенцията, дефиницията за дивергенция на тази векторна функция, е да кажем, че дивергенцията на v която е функция от х и у, е равна на частната производна на Р по отношение на х, плюс частната производна на Q по отношение на у. Това е формулата за дивергенция, която се надявам, че това не е просто една формула, която изниква ненадейно пред теб, а нещо, което логически разбираш, когато разглеждаш отделните ѝ членове – тази частна производна на Р по отношение на х – разбираш, че това означава, че един вид потокът нараства, когато се движим по посока х, това съответства на движение навън, а частната производна на Q по отношение на у вероятно ти казва, че когато нараства у-компонентът на вектора около тази точка, това съответства на по-малък поток навътре и по-голям поток навън, така че тези двете съответстват на представата за дивергенцията, която ни интересува, и че когато съберем тези две частни производни, това ни дава цялата нужна информация. Едно нещо, което е много хубаво, а може би е и донякъде изненадващо, е, че начинът, по който се запознахме с тази формула и започнахме да разсъждаваме по нея, това е най-простият случай, в който имаме чисто движение по посока х и чисто движение по посока у, но в реалността, досещаш се, векторните полета може да са много по-сложни, възможно е да има случай, в който движението не е само в посока х, а могат да се случват много различни неща, които трябва да отчетем, и, очевидно, само като разглеждаме промяната на компонента х по отношение на х, и промяната на у-компонента на изходната стойност по отношение на у-компонента на входната стойност, това ни дава цялата необходима информация. По същество това, което се случва, е че всеки флуиден поток може да се раздели на своите х и у компонент, когато разглеждаме всеки отделен вектор, всеки произволен вектор, може да се раздели на неговите компоненти х и у, ако искаме да разгледаме конкретно идеята за флуиден поток, и можем да кажем, че за нашата точка, ако разглеждаме някаква точка в пространството, ако си представим една малка област около тази точка, причината, че са ни нужни само х-компонентите и у-компонентите е защото по същество разглеждаме само това, което се случва отляво и отдясно, а после можем да изчислим каква е дивергенцията съответстваща на флуидния поток, който преминава през тези страни, а после разглеждаме движението на флуида от горе надолуу, все едно свиваме тази кутия надолу, и ни интересуват само тези две различни посоки и нищо друго, никое движение, което е един вид по диагонал, а само отделяме това, което е в посока х, което е у-компоентът, как той допринася за общото преместване през тази долна част на кутийката, а после разглеждаме х-компонента и как той допринася за общото преместване през страничната стена на кутийката. Изводът тук е, че формулата за дивергенция на векторното поле включва само тези два компонента х и у.