If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Дивергенция на векторно поле, част 1

Можем да си представим векторните полета като флуиден поток, а дивергенцията е свързана с анализа на промяната на плътността на полето при протичане на флуида. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Привет! Стигнахме до най-любимата ми тема в анализа на функции на много променливи – дивергенция на векторно поле. В следващите няколко видео клипа ще опиша понятието математически и как можем да я изчисляваме. Но сега искам само да ти дам една много нагледна представа какво е това нещо, с което ще се запознаем. Тук виждаме едно векторно поле. Вече казах по-рано, че един много добър начин да разтълкуваме едно векторно поле е да го разглеждаме като поток на някакъв флуид. Имам предвид, че можем да разглеждаме всяка отделна точка в пространството като частица, може би въздушна частица или водна частица, нещо от този вид. Тъй като векторното поле свързва всяка точка в пространството с някакъв вектор – спомни си, че каквото и да представяме с векторно поле, ние показваме само малка част от всички вектори, а по принцип си представяме, че всяка една точка е част от безкрайно много точки в пространството, които са свързани с някой от тези вектори. Фактът, че те един вид се променят равномерно, когато се движим в пространството, означава, че показват много малка крайна извадка от тези безкрайно много на брой вектори, но това все пак ни дава доста добра представа какво се случва. Ако имаме тези флуидни частици и към всяка от тях ако има съответен вектор, е съвсем естествено да се запитаме какво се случва, ако оставим нещата да се променят във времето, като в някакъв момент скоростта на една от тези частици се описва с вектора, който е свързан с нея. Когато се движи, тя ще докосне друг вектор, т.е. друга частица. Скоростта може да се промени. Може да си промени посоката. За всяка частица можем да очертаем път, който се определя от векторите, които тя докосва, докато се движи, и когато разгледаме всички тези вектори едновременно, това прилича на поток на някакъв флуид. Дори не е нужно да си го представяш. Аз предварително подготвих една анимация. Поставяме тук няколко водни молекули или точки, които представляват малка проба от водни молекули в пространството, а после оставяме да се движат, като всяка молекула се движи заедно със своя вектор. Ще пусна анимацията, за да видим как всяка частица се движи по протежение на вектора, който започва от точката, в която се намира тя в момента. Например, ако се върнем и насочим вниманието си само към един вектор, например този, към една частица, извинявам се, тя е свързана с този вектор, така че ще се движи в тази посока, но това е опростено представяне, защото след като се премести малко, на тази частица ще съответства друг вектор. Но ако оставим анимацията да върви и проследим тази конкретна точка, след известно време тя ще се намира на друго място. Мисля, че е ето тази. (показва точката на ново място) Сега частицата се движи по направлене на този вектор, или на този вектор, с който е свързана. Когато разглеждаме едновременно всички частици, получаваме един общ поглед на нашето векторно поле. Ако учиш математика, може би ще попиташ съвсем логично каква е природата на този флуиден поток. Например, може би се чудиш дали можеш да разгледаш дадена област и да преброиш броя на водните молекули, които се намират в тази област, дали този брой се променя, докато върви анимацията, когато се движи този поток във времето. В този конкретен пример можеш да разгледаш и изглежда, че този брой не се променя. Определено не се променя много. Нито се увеличава във времето, нито намалява във времето. Ако ти дам функцията, която определя това векторно поле, ще можеш да ми обясниш защо наблюдаваме, че броят на молекулите в тази област не се променя, но ако можеш да разгледаш друг пример, например вектор, който изглежда ето така, и ако трябва да се фокусираме над това, което се случва в тази област, в тази малка област около началото на координатната система, може би ще можеш да предвидиш, след като стартирам анимацията, след като пусна няколко водни молекули ето тук, и ги оставя да се движат по направление на векторите, плътността в тази област около началото на координатната система намалява. Тук поставям множество вектори и отново пускам бърз пример. Просто все едно има някакъв скок тук. Едно нещо, което характеризира това поле около началото на координатната система е това понижение на плътността. Сега може би ще предположиш, че това, което се случва сега, е, че водните молекули са склонни да се отдалечават от началото на координатната система. Така един вид дивергенцията на векторното поле около началото на координатната система е положителна. Ще видиш какво имам предвид от математическа гледна точка в следващите няколко видео клипа, но ако реша да обърна посоката на тези вектори и след това определя плътността в същата област около началото на координатната система, можем да видим как плътността се увеличава. Когато пусна анимацията на флуидния поток за съвсем кратко, плътността около началото на координатната система се увеличава. Значи тези вектори не се разпръскват (разхождат), те се събират (схождат) по направление началото на координатната система. Този факт е математически значим за функцията, която представя векторното поле около тази точка. Дори ако векторното поле не моделира флуиден поток, ако то моделира магнитно поле или електрично поле, или нещо подобно, пак има някаква логика идеята, че се отдалечаваме от дадена точка или се приближаваме към дадена точка. Друг начин, по който понякога се разглежда дивергенцията, е ако разгледаме някакъв вид векторно поле, което "плува" навън, а не да го разглеждаме като понижение на плътността, като си представим, че този флуид трябва непрекъснато да бъде заместван в тази точка. Така че си представяме началото на координатната система като източник на флуид, и ако тази анимация беше с по-добро качество, още много други точки трябва да са източник на флуид, така че плътността никъде няма да намалява, но представата за тези точки като източник на положителна дивергенция, където нещата се отдалечават (разхождат), тогава трябва да имаме източник на този флуид, за да можем един вид да запазим нещата непроменени. Обратно, ако разглеждаме някакъв поток навътре, това можем да наречем пример за отрицателна дивергенция, и ако искаме това да се случва непрекъснато, тогава ще трябва да си представим тази централна точка като сифон, в който флуидът един вид просто се втича. По същество това е технически термин. Казва се, че векторното поле има сифон в тази и тази точка или че електричното поле има сифон в тази и тази точка, което обикновено е важна характеристика на полето. Ако се върнем към този първоначален пример, където няма промяна на плътността на флуида, може би ти прави впечатление, че то изглежда много повече като действителна вода, отколкото другите примери, защото тук няма промяна на плътността. Ако намерим начин да опишем математически тази липса на промяна на плътността, това е много добър начин да моделираме воден поток. Пак повтарям, дори това да не е воден поток, а електромагнитно поле, често идеята за постоянна плътност е значима. Смятам, че вече достатъчно разглеждахме визуални примери, така че в следващото видео ще ти покажа какво представлява дивергенцията от математическа гледна точка, как се изчислява, както и ще видим няколко примера. До скоро.