Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Дивергенция на векторно поле, част 2

Като подготовка за извеждането на формулата за дивергенция на векторно поле разглеждаме точки, в които се наблюдава положителна, отрицателна или нулева дивергенция. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Привет! В предишното видео разгледахме дивергенцията и необходимата логика за нейното разглеждане. Когато допуснем, че едно векторно поле представя някакъв вид флуиден поток, в който частиците се движат по направление на векторите, които съответстват на точките, в които се намират в дадения момент, като се преместват в други точки, на които съответстват различни вектори, и тяхната скорост се променя по някакъв начин. Ключовият въпрос, върху който ще разсъждаваме, е дали в определена точка някъде в пространството флуидът демонстрира тенденция да се влива в тази точка, или да се отдалечава от тази точка? Дали се отдалечава, т.е. разхожда от тази точка? Сега ще започнем един вид да разглеждаме тази логика по-задълбочено, като ще опитаме да намерим формула за самата дивергенция, защото точно това е нещото, което искам да изведем – формула за дивергенцията. Но аз не искам просто да ти покажа тази форму,ла, а искам, по същество, да я разнищим до основи. Дадено ни е едно векторно поле, което е изобразено тук, което е дефинирано като функция на много променливи, аргументите на която са двумерни, тъй като това е едно двумерно векторно поле, а после имаме двумерни изходни стойности. Прието е да означаваме с Р и Q функциите, които представляват двата компонента на изходната стойност. Р и Q са просто скаларни функции, които си представи като компонентите на векторната изходна стойност на функцията. Дивергенцията може да се сравни с производна, като я означаваме с div, и точно както при производната, използваме този оператор, на чийто вход имаме една функция, а на изхода имаме изцяло нова функция. Представи си, че операторът div има на входа си някакво векторно поле, а на изхода има нова функция. Тази нова функция е скаларна, което означава, че просто на входа на тази функция са точките от пространството, а на изхода имаме числа, защото, както се досещаш, това, което тази функция прави, е да вземе някаква конкретна точка с координати (х; у) и ни дава някакво конкретно число, което отговаря на въпроса: "Дали този флуид се отдалечава (разхожда) от тази точка? Ако е така, в каква степен, или приближава ли се, или се отдалечава от тази точка?" Ето това видът, който търсим. Сега просто ще разгледаме случаите, в които тази дивергенция е положителна, или отрицателна, или нула, както и как изглеждат те. Например, да кажем, че имаме случаи, в които разодимостта на нашето векторно поле в дадена точка (х; у) е положителна. Как изглежда визуално това? Един случай е когато в тази точка не се случва нищо, като тогава векторът в тази точка е нулев, а всички точки наоколо се отдалечават. Това е граничен случай на положителна дивергенция. Аз показах анимация на процеса в предишното видео, когато всички вектори се отдалечаваха от началото на координатната система, и ако разгледаме областта около началото на координатната система, всички флуидни частици сякаш напускат тази област. Това е най-яркият пример за положителна дивергенция. Но не е задължително тя да изглежда по този начин. По същество може да имаме известно отдалечаване в разглежданата точка и освен това да има и движение по посока към същата точка, като векторите един вид сочат към нея, от една страна но същевременно се отдалечават даже още по-бързо, от друга страна, така че, ако разгледаме една конкретна област около тази точка, можем да кажем, че флуидът наистина малко се насочва към тази точка, но това се компенсира от това колко бързо се отдалечава от нея. Такива ситуации са характерни за положителната дивергенция. Сега да разгледаме отрицателната дивергенция. Да разгледаме примери за това как изглежда тя. Дивергенцията на V в дадена точка – това е нещо, което се отнася за всички точки в равнината, но ние ще разгледаме само някои отделни точки, така че ако имаме отрицателна дивергенция, един типичен пример за нея е когато нищо не се случва в нашата точка, но всички вектори около нея един вид се "вливат" в тази точка. Точно това показах на анимацията, където всички вектори бяха в обратна посока и казахме, че ако анимираме флуидния поток, тогава плътността във всяка произволна област около началото на координатната система се увеличава значително, всички частици на флуида се събират в този център. Пак повтарям, че това не е единственият възможен пример. Може да имаме някаква малка активност и в самата точка, може би тогава тези частици се отдалечават от нея малко, когато се отдалечаваме от тази точка. Някои флуидни частици се отдалечават, но в този случай просто флуидните частици, които се приближават от друга посока, значително превишават техния брой. Защото в този случай, ако разгледаме някаква област около тази точка, ще видим, че флуидните частици се приближават много бързо, втичат се много частици за единица време, а, от друга страна, частиците не напускат областта толкова бързо. Така че грубо казано, логически, това е пример как изглежда отрицателната дивергенция. Накрая, друг случай, който ще разгледаме, когато се задълбочим в разглеждането на това, което се случва, е какво се случва или как изглежда случаят, когато дивергенцията на нашата функция в дадена точка е нула, ако тя е просто нула. Един пример как би могло да изглежда това, досещаш се, е когато има движение, но нищо не се променя в резултат на него, когато целият флуид един вид се втича и после се оттича, и нещата се балансират. Ако разгледаме някаква област, количеството, което се влива, се уравновесява от количеството, което се отлива. Това може да изглежда така, сякаш флуидът се влива от едно измерение, но в същото време се компенсира като се оттича от тази точка по такъв начин, че един вид се уравновесява напълно с вливането в другата посока. Искам да познаваш тези общи илюстрации, когато започнем да разглеждаме самата формула за дивергенция. В следващите един или два видео клипа ще разгледаме тези функции Р и Q и ще разсъждаваме за частните производни, които съответстват на нагледната представа за положителна дивергенция, която да имаш предвид, или за отрицателна дивергенция, които можеш да си представиш. Спирам дотук. До скоро!