Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Производна по направление

Производната по направление ни показва как се променя дадена функция на много променливи, когато се движим по направление на някакъв вектор във входното пространство.  Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Привет! Днес ще разгледаме производната по направление, което е един начин да разширим понятието частна производна. Частната производна, ако си спомняш, е свързана с функции, които имат аргументи, съдържащи много променливи. Ще използвам аргумент с две променливи, защото това е най-лесният начин за разглеждане, а стойността на функцията, изходът, да бъде една скаларна променлива. Също така тя може да бъде и с векторна изходна стойност. Но още не сме стигнали до това. Така че ще разглеждаме само една една променлива, изходната стойност е някакво реално число, някакъв израз, съдържащ х и у, и частната производна. Един от начините, по които бихме могли да разсъждаваме, е да разгледаме дефиниционното множество, което е равнината ху. Това е оста х. Това е оста у. И си представяме, най-общо, че множеството от стойностите е някаква числова ос, изходните стойности на тази функция са просто реални числа. Можеш да си представиш трансформация, която ги изобразява там, или може би си казваш: "Това е дефиниционното множество. Това са изходните стойности." Когато намерим частната производна, в някаква точка... Ще го запиша по следния начин: частната производна на f по отношение на х в точка (1; 2). Да разгледаме тази точка. х е равно на 1, у е равно на 2. Ако диференцираме по отношение на х, ако си представим едно малко преместване в посока х, тогава ще видим каква е получената в резултата на това малка промяна в множеството от стойностите на функцията. Отношението между големината на тази предизвикана промяна към промяната, която я е причинила, отношението между – знаеш, между частно f и частно х – това е, което търсим. Когато диференцираме по отношение на у, тогава разглеждаме преместването в различна посока, например малка промяна точно нагоре. И може би се чудиш сега как това влияе на изходната стойност. Въпросът при производните по направление е: ако имаме някакъв вектор v – ще поставя една малка шапчица отгоре – тогава, знаеш... да кажем, че това е вектор [–1; 2]. Разглеждаме този вектор като стъпка минус 1 в посока х и после 2 в посока у. Значи този вектор ще завършва ето тук. Това е вектор v. Можеш да си представиш, че този вектор v тръгва от първоначалната точка. И сега се чудиш: "Тази малка промяна в тази посока как влияе на стойността на самата функция?" Спомни си, че тези първоначални "стъпчици" в посока х и в посока у ние всъщност не ги разглеждаме като някакви големи стъпки. Ние си ги представяме като нещо много, много малко. Знаем, че те не са равни на това изменение, а са нещо много, много малко, затова формално разглеждаме границата, когато те са много малки и клонят към нула. Това става много, много малко и клони към нула, но тогава към какво клони отношението на тези две малки промени? По същия начин за у, не си представяме, че промяната на стойността на функцията е някаква голяма, а тя е нещо много, много малко. Производната по направление е нещо подобно. Не разглеждаме действителния вектор, който прави ето тази стъпка, а една съвсем малка стъпчица в тази посока. Да кажем, че това е h по този вектор, като h е някакво много, много малко число. Може би е нещо като 0,001, например. И когато прилагаш тази формула, си представяш границата като h, клонящо към нула. Производната по направление казва, че когато правиш една миниатюрна стъпка по посока на този вектор – като резултат каква е промяната на изходната стойност? Един начин да разглеждаме това е да кажем: "Това малко изменение на този вектор..." Всъщност, ако разширим нещата и разгледаме самата дефиниция, това ще бъде отрицателно h, минус 1 по този компонент, а после тук 2 по h. Все едно правим малка стъпка с минус 1 в посока х, а после 2 малки стъпки в посока у. Досещаш се, каквато и да е стъпчицата в посока v, това е стъпка с минус 1 по х и после с 2 нагоре в посока у. Когато запишем това... Начинът на записване, между другото, е да използваме знака набла за градиент, а после тук, долу, поставяме вектора. Това е производната по направление в посоката на вектор v. Има и много други начини за записване. Може да запишем като производната на f по отношение на този вектор, това е един от начините, по които се разглежда. Може също да се запише като частна производна с долен индекс вектор. Има най-различни начини за записване, но аз харесвам този начин. Ако вземем този начин с набла с долен индекс f, извинявам се, долен индекс v за вектора – набла от f с долен индекс v, това пак е функция от х и у. Причината да харесвам този начин на записване е, че той показва как изчисляваме производната по направление, което ще разгледаме в края на този урок. За този конкретен пример с основание можеш да предположиш, че правим отрицателна стъпка в посока х. Можеш да си го представиш като промяната, която е причинена от една такава стъпка в посока х, когато стъпката е отрицателна, а после правим две стъпки в посока у. Промяната, която е предизвикана от малка стъпка в посока у, но тук имаме две такива стъпки. Две по частно f, частно у. Това е начинът, по който изчисляваме производната по направление. Ако искаме да разгледаме общия случай, например, ако имаме някакъв вектор w. Ще го разгледаме като общ случай, затова ще означа компонентите с а и b, а не с конкретни числа. Тогава производната на f по направлението на вектор w, каквото и да е това направление, е равна на а по частната производна от f по отношение на х, плюс b по частната производна на f по отношение на у. Това е. Тази формула се използва за намиране на производна по направление. Начинът, по който разсъждаваме, е че си казваме, че разглеждаме една малка стъпка "а" в посока х и "b" в посока у. Това изглежда логично. Може да срещнеш това записано не по отношение на самите частни производни и компонентите а и b на вектора, а по отношение на градиента. Причината е, че тогава записът е много по-кратък, по-общ, ако работиш с различен брой измерения. Ще го напиша ето тук. Ако разгледаш този израз, той прилича на скаларно произведение. Ако намерим скаларното произведение на вектор [a; b] и вектора, чиито компоненти са частните производни на f. Това, което съответства на а е частната производна по отношение на х – частно f, частно х, а това, което съответства на b е частната производна по отношение на у. Когато разгледаш това, виждаш, че [a;b] е просто първоначалният вектор. Това е векторът w. Умножаваме скаларно този вектор w по вектор, единият компонент на който е частната производна по отношение на х, а другият му компонент е другата частна производна на f, който умножаваме по другия компонент на w. Това е просто градиентът на f. Тук виждаш, че това е знакът набла без този индекс w отдолу, затова предпочитаме този начин на записване, защото той подсказва по какъв начин да изчислим производната по направление. Точно това ще виждаш в учебниците, (огражда го в жълто) като един кратък начин за записване. Също така ще видиш, че този начин е по-гъвкав по отношение на измеренията. Ако разглеждаме функция, чиито входни стойности са с пет измерения, а векторът на посоката, в която се премества, има пет различни компонента. Този запис е гъвкав. Когато го развием, градиентът ще има пет компонента, и самият вектор ще има пет компонента, Това е производната по направление и как да се изчисли. Начинът, по който я интерпретираме, е, че се преместваме по посока на този вектор с малка, малка стъпка, много малка стойност, умножена по този вектор. И тогава се питаме: Как се променя изходната стойност на функцията и какво е отношението на получената промяна? В следващото видео ще поясня това с помощта на формалното определение на самата производна по направление.