Формално определение за производна по направление

Тук съм записал формалното определение на частната производна по отношение на х на функция с две променливи и сега искам да го надградя до формалното определение на производната по направление на същата функция, като направлението е някакъв вектор v – поставям този малък знак отгоре – това е някакъв вектор в дефиниционното множество на функцията. В друг урок разгледахме формалното определение на частната производна, ако искаш да си го припомниш, а тук само набързо ще го разгледаме. Заслужава си отново да го начертая, ако разглеждаме дефиниционното множество като една равнина ху, и ако си представим, че по някакъв начин тя се изобразява в една числова ос на реални числа, която е множеството на стойностите на нашата функция f, и когато намираме частната производна в точката (а; b), поглеждаме тук и казваме, че може би това е нашата точка, точката (а; b), и си представяме, че се измества мъничко по посока х и тогава си задаваме въпроса как това изместване влияе на стойността на функцията. Може би точката (a; b) се изобразява ето тук, може би се получава изместване, което е леко отрицателно и това ще бъде отрицателна частна производна, като големината на това преместване разглеждаме като частно х, а големината на полученото в резултат изместване на стойността на функцията е частно f. Начинът, по който разбираме това формално определение, е, че разглеждаме тази променлива h, спомни си, означаваме я като делта х, но изглежда, че h е най-използваната променлива, която разглеждаме като тази промяна в дефиниционното множество, това малко преместване, и после търсим как тя влияе на функцията, когато се промени само този компонент х ето тук, променя се само компонента х с това малко преместване и търсим как се променя f, колко е частно f. Ще го запиша по един малко по-различен начин, ще го запиша като вектор. Вместо да кажем частно f, частно х, и вместо да кажем, че входната стойност е (а; b), сега ще кажем, че входната стойност е просто а, а после ще поясним, че това е вектор, вектор, който има две измерения, поставям тази стрелка отгоре, за да покажа, че това е вектор, и ако сега препишем това определение, ще ръзглеждаме границата, когато h колни към нула, границата на нещо, разделено на h, а числителят ще го запишем като вектор, това ще стане f от – първо началната точка а, и плюс какво? Тук горе беше ясно, че просто ще го прибавим към първия компонент, но ако не го записвам чрез компонентите, а ако го разглеждам като сбор на вектори, тогава това, което прибавям, е това h по вектора – по единичния вектор в посока х, като е прието той да се записва като I с тази малка шапчица отгоре, за да представим единичния вектор в посоката х. Така че, когато събираме тези, това на практика е същото. Това h се прибавя само към първия компонент, а втория компонент умножаваме по нула, а това, което изваждаме, е стойността на функцията за първоначалния аргумент, първоначалната двумерна входна стойност, която тук разглеждаме просто като вектор, и когато го запиша по този начин, всъщност е много по-ясно как можем да разширим тази идея за движение в различни посоки. Защото сега цялата информация за посоката, в която се движим, се съдържа в този вектор тук, това по което умножаваме малкото изменение, когато го прибавяме към аргумента. Сега просто ще преработя това в контекста на производната по направление. Можем да кажем, че производната по направление на функцията f в направлението на някакъв произволен вектор, изчислена в някаква точка, като ще разглеждаме тази входна точка като някакъв вектор а... Ще се отърва от това тук. Това е равно на границата... и както винаги, в тези случаи, разглеждаме, че... това не винаги е така, но при производните разглеждаме някаква променлива, която клони към нула, това е в знаменателя; и промяната на функцията, която търсим, ще бъде f, изчислена за този начален входен вектор, плюс h, тази малка промяна на стойността, умножена по вектора, чиято посока ни интересува, а после изваждаме стойността на f за този първоначален аргумент. Това е формалното определение за производната по направление, което виждаш, че е много по-лесно да се напише с векторен запис, защото разглеждаме входната стойност като вектор, а изходната стойност просто като някаква промяна с някаква стойност. Да разгледаме какво означава това тук. Вместо да разглеждаме dx и единствено промяна в посока х – ще изтрия това тук – ние приемаме тази точка като вектор а, само да поясня как я приемаме като вектор – представяме си, че векторът започва в началото на координатната система, а върхът му е в тази точка. След това умножаваме h по v, като v е някакъв вектор, чиято посока не е нито само в посока х, нито само в посока у, но когато го намалим, той става една много малка стъпчица, която е h, тази много малка стойност, по която умножаваме вектор v, така че тази малка стъпка... и сега искаш да разбереш каква е получената като резултат малка промяна в изходната стойност на функцията. Отношението между големината на тази промяна на изходната стойност към големината на самото нарастване h е нашата производна по направление, като най-важното – когато намираме границата на първоначалното изменение, когато то е наистина много малко, това е нашата производна по направление, като вероятно се досещаш, че можем да тълкуваме това като наклонът на графиката. Това ще разгледаме в следващото видео, но тук трябва малко да се внимава, защото наричаме това производна по направление, но обърни внимание, че ако умножим вектор v по две, ако дойдем тук и заместим 2 по v, за да видим какво влияние ще окаже, тогава ще имаме двойна промяна, защото тук, дори когато мащабираме със същата стойност на h, това ще удвои първоначалното малко изменение, което имаме, и ще удвои полученото изменение на стойността на функцията, въпреки че знаменателят h не се променя. Когато намираме отношението, това, което ни интересува, е големината на първоначалното изменение, което е предизвикано. Според някои автори това определение ще бъде променено, като тук ще бъде добавена абсолютна стойност от този вектор, за да е сигурно, че когато мащабираме по нещо друго, това няма да окаже влияние, защото ни интересува само посоката. Но на мен това не ми харесва. Смятам, че това определение е полезно точно по този начин, и че има хубав начин да бъде интерпретирано, защото, когато удвоим размера на вектора, това удвоява размера на производната, но това ще обсъждаме в следващи уроци. Това е формалното определение за производна по направление. До скоро!