Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Формално определение за производна по направление

Определение за производна по направление чрез граници. Това ни помага да разберем по-добре какво се случва по същество.  Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Тук съм записал формалното определение на частната производна по отношение на х на функция с две променливи и сега искам да го надградя до формалното определение на производната по направление на същата функция, като направлението е някакъв вектор v – поставям този малък знак отгоре – това е някакъв вектор в дефиниционното множество на функцията. В друг урок разгледахме формалното определение на частната производна, ако искаш да си го припомниш, а тук само набързо ще го разгледаме. Заслужава си отново да го начертая, ако разглеждаме дефиниционното множество като една равнина ху, и ако си представим, че по някакъв начин тя се изобразява в една числова ос на реални числа, която е множеството на стойностите на нашата функция f, и когато намираме частната производна в точката (а; b), поглеждаме тук и казваме, че може би това е нашата точка, точката (а; b), и си представяме, че се измества мъничко по посока х и тогава си задаваме въпроса как това изместване влияе на стойността на функцията. Може би точката (a; b) се изобразява ето тук, може би се получава изместване, което е леко отрицателно и това ще бъде отрицателна частна производна, като големината на това преместване разглеждаме като частно х, а големината на полученото в резултат изместване на стойността на функцията е частно f. Начинът, по който разбираме това формално определение, е, че разглеждаме тази променлива h, спомни си, означаваме я като делта х, но изглежда, че h е най-използваната променлива, която разглеждаме като тази промяна в дефиниционното множество, това малко преместване, и после търсим как тя влияе на функцията, когато се промени само този компонент х ето тук, променя се само компонента х с това малко преместване и търсим как се променя f, колко е частно f. Ще го запиша по един малко по-различен начин, ще го запиша като вектор. Вместо да кажем частно f, частно х, и вместо да кажем, че входната стойност е (а; b), сега ще кажем, че входната стойност е просто а, а после ще поясним, че това е вектор, вектор, който има две измерения, поставям тази стрелка отгоре, за да покажа, че това е вектор, и ако сега препишем това определение, ще ръзглеждаме границата, когато h колни към нула, границата на нещо, разделено на h, а числителят ще го запишем като вектор, това ще стане f от – първо началната точка а, и плюс какво? Тук горе беше ясно, че просто ще го прибавим към първия компонент, но ако не го записвам чрез компонентите, а ако го разглеждам като сбор на вектори, тогава това, което прибавям, е това h по вектора – по единичния вектор в посока х, като е прието той да се записва като I с тази малка шапчица отгоре, за да представим единичния вектор в посоката х. Така че, когато събираме тези, това на практика е същото. Това h се прибавя само към първия компонент, а втория компонент умножаваме по нула, а това, което изваждаме, е стойността на функцията за първоначалния аргумент, първоначалната двумерна входна стойност, която тук разглеждаме просто като вектор, и когато го запиша по този начин, всъщност е много по-ясно как можем да разширим тази идея за движение в различни посоки. Защото сега цялата информация за посоката, в която се движим, се съдържа в този вектор тук, това по което умножаваме малкото изменение, когато го прибавяме към аргумента. Сега просто ще преработя това в контекста на производната по направление. Можем да кажем, че производната по направление на функцията f в направлението на някакъв произволен вектор, изчислена в някаква точка, като ще разглеждаме тази входна точка като някакъв вектор а... Ще се отърва от това тук. Това е равно на границата... и както винаги, в тези случаи, разглеждаме, че... това не винаги е така, но при производните разглеждаме някаква променлива, която клони към нула, това е в знаменателя; и промяната на функцията, която търсим, ще бъде f, изчислена за този начален входен вектор, плюс h, тази малка промяна на стойността, умножена по вектора, чиято посока ни интересува, а после изваждаме стойността на f за този първоначален аргумент. Това е формалното определение за производната по направление, което виждаш, че е много по-лесно да се напише с векторен запис, защото разглеждаме входната стойност като вектор, а изходната стойност просто като някаква промяна с някаква стойност. Да разгледаме какво означава това тук. Вместо да разглеждаме dx и единствено промяна в посока х – ще изтрия това тук – ние приемаме тази точка като вектор а, само да поясня как я приемаме като вектор – представяме си, че векторът започва в началото на координатната система, а върхът му е в тази точка. След това умножаваме h по v, като v е някакъв вектор, чиято посока не е нито само в посока х, нито само в посока у, но когато го намалим, той става една много малка стъпчица, която е h, тази много малка стойност, по която умножаваме вектор v, така че тази малка стъпка... и сега искаш да разбереш каква е получената като резултат малка промяна в изходната стойност на функцията. Отношението между големината на тази промяна на изходната стойност към големината на самото нарастване h е нашата производна по направление, като най-важното – когато намираме границата на първоначалното изменение, когато то е наистина много малко, това е нашата производна по направление, като вероятно се досещаш, че можем да тълкуваме това като наклонът на графиката. Това ще разгледаме в следващото видео, но тук трябва малко да се внимава, защото наричаме това производна по направление, но обърни внимание, че ако умножим вектор v по две, ако дойдем тук и заместим 2 по v, за да видим какво влияние ще окаже, тогава ще имаме двойна промяна, защото тук, дори когато мащабираме със същата стойност на h, това ще удвои първоначалното малко изменение, което имаме, и ще удвои полученото изменение на стойността на функцията, въпреки че знаменателят h не се променя. Когато намираме отношението, това, което ни интересува, е големината на първоначалното изменение, което е предизвикано. Според някои автори това определение ще бъде променено, като тук ще бъде добавена абсолютна стойност от този вектор, за да е сигурно, че когато мащабираме по нещо друго, това няма да окаже влияние, защото ни интересува само посоката. Но на мен това не ми харесва. Смятам, че това определение е полезно точно по този начин, и че има хубав начин да бъде интерпретирано, защото, когато удвоим размера на вектора, това удвоява размера на производната, но това ще обсъждаме в следващи уроци. Това е формалното определение за производна по направление. До скоро!