If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Детерминанта на Якоби

Как можем да интерпретираме детерминантата на матрицата на Якоби и някои конкретни примери.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео искам да разгледаме така наречената детерминанта на Якоби. Тя е точно това, което изглежда че е. Това е детерминантата на матрицата на Якоби, която ти показах в последните няколко видео клипа. Преди да преминем към детерминантата на Якоби, ще направя един бърз преговор на това какво е детерминанта, съвсем обикновен материал от курса по линейна алгебра. Ако търсим детерминантата на някаква матрица, да кажем, че матрицата е [3; 0;1;2], нещо подобно, за да намерим нейната детерминанта, умножаваме членовете по единия диагонал, умножаваме три по две, а после изваждаме произведението на членовете в другия диагонал, изваждаме едно по нула. В този случай детерминантата е равна на шест. Като тук смисълът е много по-дълбок от това просто изчисление. Тук има дълбока геометрична логика. По-точно, ако разгледаме тази матрица [3; 0; 1; 2] като линейна трансформация, като нещо, което изобразява първия базов вектор във вектор с координати [3; 0], а втория базов вектор изобразява във вектор с координати [1; 2]. Когато разглеждаме тези вектор-стълбове, можем да си представим, че детерминантата измерва в каква степен тази трансформация разтяга или свива пространството. По-конкретно, забележи, че съм оцветил тази област в жълто, като тази област в началото е единично квадратче, квадрат с дължина на страните единица и площ единица. Тази област не е нищо особено. Това е просто една канонична фигура, площта е единица, така че можем да сравним с това, което се случва след трансформацията. Задаваме си въпроса колко се разтяга тази площ? Отговорът е, че тази площ се мащабира с мащабиращ коефициент, равен на детерминантата. Ето това означава детерминантата – тя показва в каква степен площите, ако трябва да начертаем някаква фигура, не само това малко квадратче, тази фигура ще се увеличи шест пъти. Можем да проверим това, като разгледаме успоредника, в който се превръща това квадратче. Основата му е три, а височината му е две. Три по две дава шест. Това е изцяло свързано с факта, че детерминантата съдържа това три и това две в себе си. Сега да видим какво може да означава това в контекста на това, което разглеждахме в последните няколко видео клипа. Ако си спомняш, беше дадена функция на много променливи, която записахме като f1, функция на две променливи а после вторият компонент f2, също е функция на две променливи. Функцията, която разглеждам, която един вид анализираме, за да видим какво представлява якобиан, има първи компонент х плюс синус от у, а вторият компонент е у плюс синус от х. Идеята беше, че тази функция не е линейна. Тя е много сложна и накъдря цялата графика. Обаче, ако разгледаме нещата под лупа в една определена област, която е тази оцветена в жълто кутийка, ако я разгледаме под лупа, тук нещата приличат на линейна трансформация. Всъщност, ако пусна анимацията, виждаме, че макар всичко да е много сложно, вътре в увеличената под лупа област нещата изглеждат като при линейна функция. Ще ти направи впечатление, че тази оцветена в жълто вътрешна област и тази жълта кутийка вътре съответства на единичното квадратче, което показах в последната анимация. Пак повтарям, това е просто едно означено място, което да следим, за да видим в каква степен площта на тази област се променя. В този конкретен случай, когато пуснем анимацията, областите всъщност не се променят особено. Те малко се разтягат, но това не е кой знае колко много. Ако знаем коя е матрицата, която описва тази трансформация, която наблюдаваме под лупа, детерминантата на тази матрица ще ни каже какъв е мащабиращият коефициент, с който тези площи се променят. По-точно можеш да разглеждаш тази малка жълта кутийка и коефициентът, с който тя се мащабира. Само да припомня, че матрицата, описваща тази трансформация "под лупа" е матрица на Якоби. Това е матрица, която съдържа всички частни диференциали. Намираме частната производна на f относно х, извинявам се, частно f1 от първия компонент, а после частната производна на втория компонент относно х, след това за другия стълб – имаме частната производна на първия компонент относно у, и частната производна на втория компонент относно у. И ако... Да видим, ще затворя тук. Затварям нашата матрица. Ако пресметна всяка от тези частни производни в някаква конкретна точка, в точката, около която наблюдаваме под лупа, в този случай това е точката (–2; 1). След като заместим тези стойности на х и на у, получаваме матрица, която съдържа само числа. Оказва се, че нещо много полезно по-нататък в анализа на функции на много променливи, е намирането на детерминантата на тази матрица, за да анализираме в каква степен пространството се разтяга или се свива в тази област. В последното видео ние разгледахме това за един конкретен пример, в който горната функция вляво се оказа константа – 1 – защото частната производна на този елемент относно х беше просто едно. По същия начин, долу вдясно, получихме константна функция 1. Останалите елементи бяха функции от косинус. Това беше косинус от х, защото намираме частната производна на втория компонент относно х. Горе вдясно в матрицата беше косинус от у. Това, принципно, са функции от х и от у, защото, досещаш се, в тях ще заместим координатите на точката, около която разглеждаме под лупа. Когато мислим за детерминатата тук – нека просто да намерим детерминантата в този вид, във вид на функция. Интересува ме детерминантата на тази матрица, или можем да си я представим като една матрична функция. В този случай правим същото нещо. Имам предвид, че технически ние знаем как се намира детерминанта. Умножаваме елементите по диагонала, така че това е просто едно по едно, а после изваждаме произведението на елементите в другия диагонал, изваждаме косинус от х, умножено по косинус от у. Като конкретен пример, да заместим с тази точка, около която разглеждаме под лупа – точката (–2; 1). Замествам х равно на минус 2, и у равно на 1. Когато заместим, косинус от минус 2 е равно приблизително на 0,42. Когато заместим у в косинуса, косинус от 1 в този случай е равно приблизително на 0,54. Когато умножим тези две числа, а после извадим от 1 полученото произведение, което е приблизително минус 0,227. Всичко това можеш да сметнеш с калкулатор, ако желаеш. Това означава, че цялата детерминанта, изчислена в тази точка – детерминантата на Якоби в точката (–2; 1), е равна приблизително на 1,227. Това означава, че площите ще се увеличат с този мащабиращ коефициент около тази точка. Това съответства на това, което наблюдаваме. Виждаме, че площите се разтягат малко, но не твърде много, нали? Мащабиращият коефициент е около 1,2. Сега да видим нещо различно. Ако разгледаме под лупа точката, в която х е равно на 0, а у е равно на 1, тогава идваме ето тук и всичко, което ще се промени, е, че х е равно на нула, а у пак е равно на 1. Това означава, че това косинус от х, вместо да е минус 0,42 – колко е косинус от нула? Равно е точно на 1, нали? Няма нужда да закръгляваме това 1, което означава, че ги умножаваме, 1 по 0,54, което е равно на приблизително 0,54, нали? Това едно, тук реално имаме изваждане, и когато извадим 0,54 от 1, получаваме 0,46. Даже преди да гледаме анимацията, понеже стойността на детерминантата на Якоби около точката (0; 1) е по-малка от 1, това означава, че можем да очакваме, че площите ще бъдат свити, смалени. Това е точно така, те се мащабират с коефициент 0,46. Да видим как изглежда това. Разглеждаме под лупа областта около тази точка, като площите тук се свиват около точката по този начин. Разбира се, че се смаляват. Виждаме, как се смаляват, което изглежда предвидимо, защото от нашите изчисления ние правим извод, че те се мащабират с коефициент 0,46. Ето това е смисълът на детерминантата. Както казах, това е нещо много удобно в анализа на функции на много променливи, да можем да разгледаме една малка област около дадена точка, и ако искаме да придобием обща представа за функцията като трансформация, дали тя смалява тази област или я разтяга, колко се променя площта в този малък участък, точно това ни показва детерминантата на Якоби, тя е създадена за тази цел. Това е всичко засега. До скоро!