Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Явна формула за лапласиан

Още един начин, по който се записва оператора на Лаплас. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадена е някаква функция на много променливи, която този път има входни стойности с много голям брой измерения. х1, х2 и така нататък до х с индекс n, като n е някакво голямо число. В последните няколко видео клипа разглеждахме оператора на Лаплас. Когато подадем на входа му нашата скаларна функция f, получаваме на изхода му някаква скаларна функция, която е нещо като втора производна, защото представлява дивергенцията на градиента на нашата функция f. Градиентът на f представлява векторно поле, а дивергенцията на това векторно поле е скаларно поле. Сега искам да ти покажа една друга формула за лапласиан, която може да срещаш. Първо искам да напиша абстрактно как изглежда градиентът. Първо взимаме този оператор набла (Del), който е един вектор, чиито компоненти са оператори за частни производни. Частна производна по отношение на х1, частна производна по отношение на х2, и така нататък до частна производна по отношение на последната входна променлива. Сега си представи, че един вид умножаваме това по нашата функция, така че получаваме всички различни частни производни на f. Частната производна на f по отношение на първата променлива, и така нататък, докато стигнем до частната производна на f по отношение на последната променлива, х с индекс n. Дивергенцията на това – за да си спестя малко писане, ще кажа, че взимаме набла оператора, и после си представяме, че намираме скаларното произведение на този целия оператор и този вектор на градиента, който получихме тук, като получаваме – започваме да умножаваме първите компоненти, което означава, че имаме частна производна относно х1, от този първи компонент, от частната производна на f относно същата тази променлива. Това прилича на втора частна производна на f по отношение на първата променлива. Втората частна производна на f по отношение на х1, тази първа променлива. После си представи, че събираме това с произведението на следващите два члена, като по същата причина ще го разгледаме като втора частна производна на f по отношение на втората променлива, частно х2 на втора степен. Правим това за всички променливи и събираме произведенията, докато накрая стигнем до последната променлива. Имаме плюс и цял куп неща, намираме вторите частни производни на f по отношение на последната променлива, частна производна по отношение на х с индекс n. Това е друг вид, в който може да срещнеш формулата за лапласиан, като често е записана съкратено, така че хората казват, че лапласиан от функцията f равно на – използва се знакът за сума сигма – равно на сумата от i = 1 до...„ досещаш се – 1, 2, 3 до n. Значи сумата от 1 до n, на нашите втори частни производни. Частно на квадрат от f с тази i-та променлива. Ако си представим, че имаме три променливи, често се използва х1, х2 и х3 вместо х, у и z, а общият член се означава като х с индекс i. Това е един вид алтернативна формула, която може да срещнеш за лапласиан. Аз лично винаги предпочитам да го разглеждам като дивергенцията на градиента на f, защото си представям градиентното поле, а дивергенцията му един вид съответства на максимума и минимума на първоначалната функция, което обсъдихме в първото видео за оператор на Лаплас. Но тази формула може би е малко по-лесна за използване, когато се налага да се правят изчисления... о, извинявам се, забравих тук да поставя квадрат, нали? Частно х на квадрат, така че това е втората производна. Значи сумираме всички тези втори частни производни. Може би тази формула ще ти се стори малко по-лесна за използване при изчисляване на примери, когато ти се наложи. Тук също така се вижда, че лапласиан е един вид продължение на концепцията за втора производна. До скоро!